[摘 要]組合數(shù)學(xué)它在生活中的應(yīng)用方面還有基礎(chǔ)理論的方面都發(fā)揮著它越來(lái)越重要的作用。 它不但在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的研究中具有重要的地位，而且，在其他學(xué)科之中也有著非常重要的應(yīng)用。比如在信息科學(xué)，物理學(xué)，生物學(xué)中等。伴隨著組合數(shù)學(xué)在基礎(chǔ)理論的方面以及生活應(yīng)用方面的作用越發(fā)明顯，因此需要我們要對(duì)其進(jìn)行更加深層次的研究。

[關(guān)鍵詞]組合數(shù)學(xué)；哥尼斯堡七橋問題

一、引言

隨著電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展普及，組合數(shù)學(xué)這門古老的學(xué)科逐漸煥發(fā)出了蓬勃的生機(jī)。它是一門研究?jī)?nèi)容豐富，應(yīng)用廣泛的學(xué)科。同時(shí)它也是一門比較講究方法技巧的學(xué)科。它的魅力在于能夠找到巧妙的解法去完善并解決一個(gè)組合數(shù)學(xué)的問題。計(jì)算機(jī)強(qiáng)大的計(jì)算能力也為尋求組合數(shù)學(xué)問題的巧妙解法提出了無(wú)限的可能，同時(shí)也反過來(lái)有效地推動(dòng)了計(jì)算科學(xué)的發(fā)展。

組合數(shù)學(xué)在國(guó)外已較快發(fā)展，而且在很多大學(xué)已經(jīng)設(shè)立組合數(shù)學(xué)與優(yōu)化理論的專業(yè)去培養(yǎng)專門的人才，我國(guó)對(duì)組合數(shù)學(xué)的研究也具有一定的基礎(chǔ)，特別是圖論研究與區(qū)組設(shè)計(jì)等方面已經(jīng)取得了一定的成果。

組合數(shù)學(xué)的發(fā)展很顯然已經(jīng)改變了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的分析和代數(shù)所占統(tǒng)治地位的局面，它奠定了本世紀(jì)計(jì)算機(jī)革命的基礎(chǔ)。因此我們需要對(duì)它進(jìn)行更加深入的理論探討與實(shí)踐?；谶@種思想，我希望借以簡(jiǎn)單的闡述能引起人們對(duì)它更深層次的理解，并能夠?qū)⑺`活應(yīng)用到生活中。

二、組合數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容

隨著電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展，組合數(shù)學(xué)已然成為一門新興的具有邊緣性跟綜合性的學(xué)科。但是組合數(shù)學(xué)到底說(shuō)的是什么，界內(nèi)仍有許多種看法。但是大家公認(rèn)的一點(diǎn)就是：組合數(shù)學(xué)主要研究的是事物之間的安排中，所涉及到的有關(guān)數(shù)學(xué)的問題。它也是研究任意一組離散型事物的按照一定的規(guī)則安排或者配置的數(shù)學(xué)。當(dāng)指定的規(guī)則比較簡(jiǎn)單時(shí)，計(jì)算一切可能發(fā)生的安排或者配置的方法的數(shù)量，就是它研究的主要問題?，F(xiàn)代的組合數(shù)學(xué)大概有兩個(gè)主要的特點(diǎn)：其一，它廣泛應(yīng)用了抽象的數(shù)學(xué)工具跟矩陣工具，使問題的要求和處理方法表現(xiàn)出了極大的普遍性；其二，為了適應(yīng)電子計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展，它更注重對(duì)方法的可行性與程序化問題進(jìn)行了研究。這也就使它又派生出了算法組合學(xué)，組合算法等新出的分支學(xué)科。

組合數(shù)學(xué)中最早其實(shí)是同數(shù)論與概率論交織在一起的。上個(gè)世紀(jì)五十年代以來(lái)，尤其是電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展，使組合數(shù)學(xué)成為了一支有生命力的新興的數(shù)學(xué)分支。

和傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課程相比，組合數(shù)學(xué)研究的主要問題是一些離散型事物之間，所存在的某些數(shù)學(xué)層面的關(guān)系。它包括計(jì)數(shù)性問題，存在性問題，優(yōu)化問題以及構(gòu)造性問題等。內(nèi)容主要是計(jì)數(shù)跟枚舉。組合數(shù)學(xué)中，研究最多的是計(jì)數(shù)問題。它通常出現(xiàn)在所有的數(shù)學(xué)體系之中。計(jì)算機(jī)通常需要研究算法的有關(guān)內(nèi)容，也就必須找出算法所需要的存儲(chǔ)單元跟運(yùn)算量。也就是分析算法的空間復(fù)雜性與時(shí)間復(fù)雜性。

三、組合數(shù)學(xué)的基本解題方法

組合數(shù)學(xué)它是離散數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，內(nèi)容零散且思想方法繁多，對(duì)于長(zhǎng)期接受了連續(xù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的我來(lái)說(shuō)，常會(huì)感到很難以抓住要領(lǐng)，無(wú)從下手。尤其是針對(duì)新穎繁多的各種組合方法往往會(huì)感到有些茫然。組合數(shù)學(xué)的方法也很多，比如加乘法則跟抽屜法則，母函數(shù)法跟逐步淘汰法等。了解了這些方法，會(huì)有助于培養(yǎng)我們的組合思維。

四、應(yīng)用舉例

組合數(shù)學(xué)又是十分貼近我們的生活的。因此，它在生活中非常常見。比如，求a個(gè)球隊(duì)參加的比賽中，每隊(duì)只與其他隊(duì)各比賽一次的總比賽的場(chǎng)數(shù)。又比如，一個(gè)人要把一匹狼，一只羊和一棵大白菜運(yùn)到河對(duì)岸。而當(dāng)人不在的時(shí)候，狼會(huì)吃羊，羊會(huì)吃大白菜，而這個(gè)人的船每趟卻只能運(yùn)其中的一只。問這個(gè)人怎么做才可以都運(yùn)過河。 中國(guó)郵差的問題：由中國(guó)組合數(shù)學(xué)家管梅谷教授提出的。郵遞員要穿過城市內(nèi)的每一條路至少一次，問怎樣行走會(huì)使走過的路程最短？這不是一個(gè)完全的問題，存在多項(xiàng)式的復(fù)雜度的算法：先求出的度為奇數(shù)的點(diǎn)，再用匹配的算法算出這些點(diǎn)間的連接方式，最后再用歐拉路徑算法求出解。河洛圖：我國(guó)古代河洛圖上記載的三階幻方，是把從一到九這九個(gè)數(shù)按照三行三列的方式排列。使每行每列以及兩條對(duì)角線上面的三個(gè)數(shù)的和都是十五。組合數(shù)學(xué)中有許多這樣巧妙的設(shè)計(jì)。 裝箱的問題：當(dāng)你裝一個(gè)箱子的時(shí)候，要使箱子盡可能的裝滿不是一件容易的事情。你往往需要做一些調(diào)整。從理論上講，裝箱的問題是一個(gè)比較難的組合數(shù)學(xué)的問題，即使用電子計(jì)算機(jī)也不是容易解決的。鋪地磚的問題：我們知道如果用形狀相同的方型磚可以把一個(gè)地面鋪滿（不去考慮邊緣的情況）。但是如果用不同的形狀而且又不是方型的磚去鋪一個(gè)地面，能否也會(huì)鋪滿呢？這不僅是一個(gè)跟實(shí)際相關(guān)的問題，也涉及到了很深的組合數(shù)學(xué)的問題。

總之，組合數(shù)學(xué)是無(wú)處不在的，它主要的應(yīng)用就是在各種復(fù)雜的關(guān)系中找出一個(gè)最優(yōu)的方案。所以，組合數(shù)學(xué)也完全可以看成是一門量化了的關(guān)系學(xué)，一門量化的運(yùn)籌學(xué)，或者一門量化的管理學(xué)。

五、游戲中的組合數(shù)學(xué)

哥尼斯堡七橋問題：18世紀(jì)初，在東普魯士有一個(gè)這樣的問題：一條河上有兩個(gè)島，城市中的四個(gè)部分可以用七座橋連接起來(lái)。那么是否可以經(jīng)過每個(gè)橋并且每個(gè)橋只走一次呢？

在18世紀(jì)的中期，歐拉成功論證了這個(gè)問題。答案是合適的方案是沒有的，不可能每座橋走且僅走一次。歐拉把這個(gè)問題形象地簡(jiǎn)化成了同一個(gè)平面上面線和點(diǎn)的組合問題。他把每座橋看成是一條線，每座橋所連接的地方看作是一個(gè)點(diǎn)。這樣從某一點(diǎn)出發(fā)最后再回到這一點(diǎn)的問題，就可以轉(zhuǎn)化成為一個(gè)一筆畫出的問題。

歐拉采用了概念映像的方法去解決這個(gè)問題。也就是抽象分析法。將橋看作幾何線，將交叉的地方看作幾何點(diǎn)，也就是關(guān)于上述點(diǎn)跟線的一筆畫的問題。歐拉的這種方法其實(shí)就是組合數(shù)學(xué)中后來(lái)說(shuō)的關(guān)系映像反演法的最早體現(xiàn)。

六、結(jié)語(yǔ)

以上只是介紹了組合數(shù)學(xué)在我們生活中的應(yīng)用的一小部分，希望此論文可以激起我們對(duì)于組合數(shù)學(xué)的關(guān)注度，學(xué)會(huì)在生活中運(yùn)用組合數(shù)學(xué)去解決具體問題。讓組合數(shù)學(xué)這一富有生命力的數(shù)學(xué)分支，涉及到生活中的各個(gè)領(lǐng)域。為中國(guó)的快速發(fā)展做出自己的貢獻(xiàn)。