【摘 要】高等數(shù)學(xué)是高校工科類專業(yè)中一門必修的基礎(chǔ)課。學(xué)生對高等數(shù)學(xué)的理解和掌握情況一定程度上影響到其他課程的學(xué)習(xí)，包括計算機(jī)類、信息類和專業(yè)課程。其中，數(shù)學(xué)模型方法對培養(yǎng)和提高大學(xué)生的邏輯思維能力、實際應(yīng)用能力和總體綜合素質(zhì)有著非常重要的作用。鑒于此，本文結(jié)合實際例子從幾個方面探索和研究如何更好地在工科類大學(xué)生中培養(yǎng)數(shù)學(xué)模型方法，為現(xiàn)有的教學(xué)改革提供可參考的方案，以期提高高等數(shù)學(xué)的教學(xué)效果。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)模型方法 工科 大學(xué)生 教學(xué)改革 培養(yǎng)

【中圖分類號】G642.0 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】1674-4810（2015）23-0050-03

著名的德國物理學(xué)家、X射線的發(fā)現(xiàn)者倫琴說過：“對于科學(xué)工作者必不可少的，第一是數(shù)學(xué)，第二是數(shù)學(xué)，第三還是數(shù)學(xué)?！贝搜缘莱隽藬?shù)學(xué)的精神、思想和研究方法對科學(xué)工作者的重要性。目前，所有工科類本科專業(yè)均開設(shè)了《高等數(shù)學(xué)》（或《微積分》）課程，并將其作為一門基礎(chǔ)必修課，它是后繼課程學(xué)習(xí)的重要支撐。這里，對于任何實際的問題，我們總希望通過一個特定的數(shù)學(xué)模型來對此問題進(jìn)行簡明表述。因此，根據(jù)自然內(nèi)在的規(guī)律或物理現(xiàn)象，先做適當(dāng)?shù)募僭O(shè)，并建立起各數(shù)學(xué)變量間的關(guān)系而得到一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，我們稱它為數(shù)學(xué)模型。

21世紀(jì)是大數(shù)據(jù)的信息時代，計算機(jī)技術(shù)和信息技術(shù)迅猛發(fā)展，數(shù)學(xué)模型方法及其應(yīng)用在工程技術(shù)領(lǐng)域發(fā)揮著舉足輕重的作用。同時，數(shù)學(xué)模型方法也在廣度上和深度上向著其他應(yīng)用領(lǐng)域如人工智能、金融、經(jīng)濟(jì)、醫(yī)學(xué)、天文、地理和海洋等不斷滲透。因此，應(yīng)用數(shù)學(xué)技術(shù)特別是數(shù)學(xué)模型方法已經(jīng)成為高新技術(shù)的重要組成部分之一。當(dāng)應(yīng)用數(shù)學(xué)模型方法去解決生產(chǎn)和科技的實際問題時（或與其他學(xué)科交叉結(jié)合時），首要的且關(guān)鍵的一步就是建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，把抽象的現(xiàn)象轉(zhuǎn)化為具體的數(shù)學(xué)表達(dá)，再進(jìn)行模型求解與計算。

如何更好地培養(yǎng)工科類大學(xué)生數(shù)學(xué)模型方法和數(shù)學(xué)思維的構(gòu)成，對其教學(xué)研究和方法探索勢在必行。本文主要圍繞以下幾個部分進(jìn)行探討：

一 課堂上摒棄傳統(tǒng)的說教式教學(xué)方法，實施啟發(fā)式教學(xué)

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)方式還是停留于說教式的教學(xué)，不論

是數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)定理，還是方法求解，這導(dǎo)致了工科專業(yè)的大學(xué)生在課堂上出現(xiàn)疲憊現(xiàn)象，學(xué)習(xí)沒有興趣，積極性低。然而，理解并掌握這些數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)模型是學(xué)習(xí)好高等數(shù)學(xué)的前提。為提高工科專業(yè)大學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，教師們要提倡啟發(fā)式教學(xué)，它可以培養(yǎng)大學(xué)生：（1）獨立思考的能力；（2）邏輯思維的能力；（3）隨機(jī)應(yīng)變的能力。這樣，同學(xué)們可以主動地參與課堂教學(xué)活動，深入到數(shù)學(xué)模型方法中來。在具體做法方面，首先要改變“照本宣科”的教學(xué)模式，對于不同專業(yè)背景的學(xué)生，要因?qū)W生的水平差異而變，特別是講稿的處理，要避免一成不變。其次，除了正常授課外，還要預(yù)留部分時間給學(xué)生回想和思考，給他們提出疑問的機(jī)會。例如，我們在介紹不定積分例題時（例1），故意引入錯誤，并提示學(xué)生剛學(xué)過的函數(shù)連續(xù)性，啟發(fā)學(xué)生自行尋找錯誤，讓他們真正進(jìn)入課堂。

二 采用線上學(xué)習(xí)和線下討論相結(jié)合，領(lǐng)會數(shù)學(xué)模型意義

教學(xué)可以說是教的過程和學(xué)的過程相結(jié)合的統(tǒng)稱，教師在課堂上進(jìn)行正常授課，而學(xué)生利用課余時間進(jìn)行自主學(xué)習(xí)和討論。數(shù)學(xué)本身具有高度的抽象性、嚴(yán)密的邏輯性和廣泛的應(yīng)用性等特點，故學(xué)生的線上學(xué)習(xí)（即：教師課堂教學(xué)）是理論知識和專業(yè)技能掌握的主要渠道，這一環(huán)節(jié)是重中之重，國內(nèi)外的大學(xué)數(shù)學(xué)課堂均采用這一方式。對于數(shù)學(xué)模型方法的講解，線上學(xué)習(xí)過程中就要求我們?nèi)握n教師提前認(rèn)真研讀教材、深入理解教材并細(xì)致鉆研教材，然后選擇適當(dāng)?shù)慕谭ㄟM(jìn)行有效教學(xué)。在線學(xué)習(xí)對大學(xué)生非常重要，因為多數(shù)學(xué)生是通過授課課堂直接獲得新知識，直接接受正規(guī)的教育方式，許多不明白的問題都能夠通過在線學(xué)習(xí)方式得到解決。

然而，僅僅在線學(xué)習(xí)的方式對于數(shù)學(xué)模型方法及其應(yīng)用的學(xué)習(xí)是不夠的，且被動性占主導(dǎo)地位。線下討論是一種新的學(xué)習(xí)方式，它崇尚思考、注重交流、促進(jìn)溝通和團(tuán)隊合作，是大學(xué)生群體中一種有價值的、有意義的學(xué)習(xí)活動。線下討論主要通過布置與課堂相關(guān)的問題，引發(fā)學(xué)生對本課堂的反思和知識的消化。本著培養(yǎng)工科專業(yè)大學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主動性和團(tuán)隊性，不同的學(xué)生對數(shù)學(xué)模型或數(shù)學(xué)方法的理解可能有所不同。線下討論剛好可以通過所設(shè)置的問題，有針對性地引導(dǎo)學(xué)生對教學(xué)要點或重點進(jìn)行積極的討論。這樣，對于同一個數(shù)學(xué)模型，把各種理解融合在一起，充分討論和分析后才能真正領(lǐng)會數(shù)學(xué)模型的意義。例如，我們在講解極限的計算時，布置一題作業(yè)（例2，此題的答案是極限不存在）作為線下討論題，它是單調(diào)遞增數(shù)學(xué)模型的極限問題。此題中，不同學(xué)生可能會產(chǎn)生不同答案。通過線下討論，學(xué)生可以自行領(lǐng)會極限計算和單調(diào)遞增數(shù)學(xué)模型的意義。

例2，（單調(diào)遞增數(shù)學(xué)模型的極限）：假設(shè)a1=1，an+1=1+3an，n=1，2，3…，試計算 。

三 高等數(shù)學(xué)教學(xué)中突出數(shù)學(xué)模型方法，提高大學(xué)生數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用能力

傳統(tǒng)的高等數(shù)學(xué)教學(xué)方法（特別是工科類專業(yè)）遵循概念介紹、定理證明和例題計算這一過程。工科專業(yè)的學(xué)生不是數(shù)學(xué)專業(yè)的，他們只知道要為數(shù)學(xué)的重要性而學(xué)習(xí)，要為通過課程考試而學(xué)習(xí)。但他們不知道學(xué)習(xí)完高等數(shù)學(xué)可以做什么，或者在哪些場合能用得上。這也是目前很多大學(xué)生覺得高等數(shù)學(xué)沒有什么太大的價值，不能直接產(chǎn)生經(jīng)濟(jì)效益，甚至出現(xiàn)“數(shù)學(xué)無用論”的觀點。

為激發(fā)工科類專業(yè)大學(xué)生對高等數(shù)學(xué)的學(xué)生興趣和提高他們對高等數(shù)學(xué)應(yīng)用性的認(rèn)識，在高等數(shù)學(xué)的授課過程中必須突出數(shù)學(xué)模型方法，引入相關(guān)數(shù)學(xué)模型的案例。讓學(xué)生把數(shù)學(xué)模型套入現(xiàn)實生活中的問題，引導(dǎo)學(xué)生感受到數(shù)學(xué)模型方法在解決實際問題時的重要性，同時提升數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用能力。例如，我們在導(dǎo)數(shù)最值的授課過程中，插入森林救火數(shù)學(xué)模型（例3，通過在教學(xué)中突出數(shù)學(xué)模型方法，可以活躍課堂氣氛，增加數(shù)學(xué)的趣味性，讓數(shù)學(xué)課堂充滿生命力。我們知道數(shù)學(xué)模型來源于實際，通過教學(xué)又應(yīng)用于實際，這對提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)模型方法來解決實際問題的能力、樹立數(shù)學(xué)的價值觀，高等數(shù)學(xué)教學(xué)中突出數(shù)學(xué)模型方法具有一定的積極作用。

例3，（森林救火數(shù)學(xué)模型）：某消防部門接到報警后要派出消防員前去滅火。通常情況下，派出的隊員越多，滅火越快，森林損失越小，但救援的開支也將隨之變大。已知森林燃燒的損失費正比于森林的燒毀面積，比例系數(shù)為b1。燒毀面積與失火和滅火的時間有關(guān)，滅火時間又取決于消防隊員人數(shù)。故，救援費有兩部分：（1）每個消防隊員單位時間的滅火費b2；（2）每個隊員的一次性支出費b3。又假定火勢蔓延程度及平均每個消防隊員的滅火能力與火勢有關(guān)。試建立一個數(shù)學(xué)模型來分析應(yīng)該派出多少個消防隊員使得總費用達(dá)到最小。

四 鼓勵學(xué)生參加課外科技活動，把數(shù)學(xué)模型方法運用于解決實際問題

馬克思曾說過：“一門科學(xué)只有成功地運用數(shù)學(xué)時，才算達(dá)到了完整的地步?！蹦敲垂た茖I(yè)的大學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型方法時，不能僅僅停留在對書本知識的掌握上，要結(jié)合相關(guān)背景把數(shù)學(xué)模型應(yīng)用到其中。因此，我們要鼓勵他們積極參加課外科技活動，特別是全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽、美國（國際）大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽、全國大學(xué)生電工數(shù)學(xué)建模競賽和亞太大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽等。數(shù)學(xué)建模競賽不是針對數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，工科專業(yè)的學(xué)生也可以參加。這樣，在針對實際問題時，應(yīng)用已經(jīng)學(xué)過的知識進(jìn)行求解，達(dá)到學(xué)以致用的效果。

從歷年的大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽看出，所設(shè)計的題目一般是從管理科學(xué)、工程技術(shù)、地理信息系統(tǒng)和經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域?qū)嶋H問題提出來的，一般只做簡化處理未有任何假設(shè)。參賽過程中要求參賽者在三天內(nèi)完成材料收集、模型假設(shè)、模型建立、模型求解、計算機(jī)實踐、結(jié)果檢驗以及撰寫出一篇完整的競賽論文。因此，學(xué)生要結(jié)合實際問題、分析現(xiàn)實背景和靈活運用學(xué)科知識，再利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法和相關(guān)知識去提煉成一個數(shù)學(xué)模型。例如，2013年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽C題（見例4）。

例4（古塔的變形）由于長時間承受自重、氣溫、風(fēng)力等各種作用，偶然還要受地震、颶風(fēng)的影響，古塔會產(chǎn)生各種變形，諸如傾斜、彎曲、扭曲等。為保護(hù)古塔，文物部門需適時對古塔進(jìn)行觀測，了解各種變形量，以制訂必要的保護(hù)措施。某古塔已有上千年的歷史，是我國重點保護(hù)文物。管理部門委托測繪公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月對該塔進(jìn)行了4次觀測。請根據(jù)題目附件提供的4次觀測數(shù)據(jù)，討論以下問題：（1）給出確定古塔各層中心位置的通用方法，并列表給出各次測量的古塔各層中心坐標(biāo)；（2）分析該塔傾斜、彎曲、扭曲等變形情況；（3）分析該塔的變形趨勢。

五 結(jié)束語

總之，在工科專業(yè)大學(xué)生中培養(yǎng)其數(shù)學(xué)模型方法能提高他們應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際工程問題的能力。一方面，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣，提高學(xué)習(xí)的積極性和自覺性；另一方面，還可以推動高等數(shù)學(xué)的教育教學(xué)改革，并推廣到其他學(xué)科的改革和完善。目前，我校正處于教學(xué)定位的轉(zhuǎn)型期，2015年有10個專業(yè)升格為一本招生，即：水產(chǎn)養(yǎng)殖學(xué)、海洋漁業(yè)科學(xué)與技術(shù)、海洋科學(xué)、海洋技術(shù)、大氣科學(xué)、食品科學(xué)與工程、食品質(zhì)量與安全、機(jī)械設(shè)計制造及其自動化、電氣工程及其自動化、計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)，其中，工科專業(yè)的學(xué)科就占了50%的比重。因此，本文借助數(shù)學(xué)模型方法的教學(xué)研究與改革為我校的“三能”人才培養(yǎng)服務(wù)，不斷提高工科類大學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用水平和數(shù)學(xué)思維能力，為社會培養(yǎng)更多更優(yōu)秀的人才服務(wù)。

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〔責(zé)任編輯：龐遠(yuǎn)燕〕