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        中學數(shù)學建模教學與實踐探索

        2015-04-29 00:00:00范忠雄
        學園 2015年14期

        【摘""要】初、高中學生已經(jīng)初步掌握建立數(shù)學模型的方法和步驟,具備運用數(shù)學模型方法解決比較簡單的實際問題的能力。對于藏族學生而言,以其喜聞樂見的實際問題作為例子,建立數(shù)學模型,能起到事半功倍的作用。

        【關(guān)鍵詞】中學數(shù)學""模型思想""教學實踐""藏族學生

        【中圖分類號】G424"""""""""""【文獻標識碼】A"""""""""""【文章編號】1674-4810(2015)14-0018-02

        《數(shù)學課程標準(修訂稿)》中指出:“模型思想的建立是學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑?!苯⒑颓蠼饽P偷倪^程包括:從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學問題,用數(shù)學符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律,求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學習有助于學生初步形成模型思想,提高學習數(shù)學的興趣和應(yīng)用意識。應(yīng)用意識有兩個方面的含義,一方面是有意識地利用數(shù)學的概念、原理和方法解釋現(xiàn)實世界中的現(xiàn)象,解決現(xiàn)實世界中的問題;另一方面,認識到現(xiàn)實生活中蘊涵著大量與數(shù)量和圖形有關(guān)的問題,這些問題可以抽象成數(shù)學問題,用數(shù)學的方法予以解決。在整個數(shù)學教育的過程中都應(yīng)該培養(yǎng)學生的應(yīng)用意識,綜合實踐活動是培養(yǎng)應(yīng)用意識很好的載體。應(yīng)用數(shù)學知識去解決實際問題,常常需要在數(shù)學理論和實際問題之間構(gòu)建一個橋梁來加以溝通,以便把實際問題中的數(shù)學結(jié)構(gòu)明確地表示出來,這個橋梁就是數(shù)學模型。

        我們以幾項體育活動以及與學生生活息息相關(guān)的生活問題作為實例,進行問題分析,研究解決方法(建立數(shù)學模型),進一步解決問題(模型求解),再做一些必要的結(jié)果分析(模型分析),能對藏族學生的數(shù)學學習起到事半功倍的作用。

        一"足球射門問題

        踢足球是藏族學生喜愛的一種體育活動。什么時候射門才能夠最大可能地射進球門,可以用一個數(shù)學方法來解決。

        問題:一邊鋒在對方隊員的防守下只能沿場邊直線帶球沖向球門,問何時射門進球系數(shù)最大?

        數(shù)學概念:幾何;適用年級:初三。

        建模過程:射門進球可能性大小與球員對球門的視角大小有關(guān)。當球員在對方的防守下只能沿場邊直線帶球沖向球門,一定有對于球門的最大視角點??梢杂孟旅娴氖疽鈭D(圖1)來表示:AB表示球門的寬度,邊鋒沿CD帶球沖向球門。我們可以作過A和B,與直線CD相切的唯一圓(在場內(nèi)),這個切點就是最大視角點,也就是最佳射球點。

        學生的任務(wù):說明為什么點H是對球門的最大視角點,說出或?qū)懗鲞@個圓的作法。還有沒有其他最佳射球點?

        二"臺球擊球方向問題

        比賽臺球(斯諾克Snooker)也是藏族學生喜愛的一種體育活動,往往在將一個球擊入最近或最佳的球門時,前面有一個障礙球。這時一般將球打到球桌邊緣反彈到目標球門。

        問題:如圖2,如果要將球Q擊入球門A,應(yīng)將球打到桌邊CD的哪個位置,才能直線進入球門A呢?

        數(shù)學概念:幾何;適用年級:初二。

        建模過程:如圖3、圖4等方法??梢悦闇蔄'、A''、A2……等點擊球。

        圖3""""""""""""""""""""""""""圖4

        學生的任務(wù):找出這個反彈點,并說明理由。如果沿線KA又有障礙球,在桌邊CD上有沒有另外一個這樣的點呢?如果沒有,怎么才能夠?qū)⑶虼蜻M球門A呢?圖中的A'、A''、A2……各點與點A有什么關(guān)系?

        三"羊群中羊的數(shù)量問題

        有一群羊,不能一一點數(shù),要估算出羊的總數(shù)??梢杂猛愣棺鳛楣ぞ?,利用概率方法估計數(shù)量,以此作為模型來求出羊群中羊的總數(shù)。

        問題:用什么方法能夠估算出這群羊的總數(shù)?

        數(shù)學概念:統(tǒng)計、概率;適用年級:高一。

        建模過程:以豌豆作為模型。假設(shè)袋中有N粒豌豆,第一次取出t粒做好標記后放回袋中,第二次取出n粒,其中恰有s粒做了標記,我們可以求得n粒豌豆中恰有s粒為帶標

        記的豌豆的概率,其概率為:。這是大概率事件,

        有一個合適的N會使概率P達到最大,基于這個思維,可通

        過求P的極大值的方法來估計N的值,當時P達到

        極大。所以,假定第一次從袋中取出120粒豌豆,對這120粒豌豆做了標記;第二次取出100粒豌豆,如果其中有10粒豌豆做了標記,那么這袋豌豆共有1200粒。對這群羊而言,首先從中隔離出部分羊來,做好標記后放回;當充分混合后再從中隔離出一部分來,可以數(shù)出其中帶有標記的羊的數(shù)量,由此計算整群羊的總數(shù)。

        學生的任務(wù):從一袋豌豆中任意取出一把,統(tǒng)計數(shù)量并做記錄,給每粒豌豆做上標記放回袋中。把它們充分攪勻后再從袋中任意取出一把,統(tǒng)計帶標記和不帶標記的豌豆數(shù)量并做記錄。從這一把豌豆中的帶標記的數(shù)量與總數(shù)的比例可以推斷估計出這一袋豌豆的大概數(shù)量。

        四"風暴危害問題

        據(jù)甘肅省氣象臺預(yù)報,甘南州合作市正東300km處的天水市區(qū)有一個暴雨云團形成,并以每小時40km的速度向西北方向運動,由于氣溫的變化,在離云團中心250km以內(nèi)的地區(qū)將受到冰雹影響。

        問題:云團中心的運動軌跡是什么?合作市周邊250km范圍內(nèi)的農(nóng)牧業(yè)是否會受到冰雹的影響?若受影響,受影響的時間有多長?

        數(shù)學概念:坐標法、三角函數(shù)、參數(shù)方程""適用年級:高二。

        建模過程:建立正確的方

        位圖,用坐標系來具體表示,

        給出云團運動的軌跡直線,列

        出軌跡方程及合作市的安全區(qū)

        域表示式。

        學生的任務(wù):畫圖,列方程。

        如圖5,云團運動軌跡為

        射線AD,其方程為:

        (t≥0,為云團運動時間)

        解得:1.99≤t≤8.61

        由此可知,從現(xiàn)在起約經(jīng)過1.99小時后將受到冰雹影響,時間持續(xù)8.61-1.99=6.62(小時)。

        五"選購筆記本問題

        扎西利用課余時間回收廢品,用賣得的錢去購買5本大小不同的兩種筆記本,計劃共花錢不超過28元,且購買的筆記本的總頁數(shù)不低于340頁,兩種筆記本的價格和頁數(shù)如下表。

        大筆記本

        小筆記本

        價格(元/本)

        6

        5

        頁數(shù)(頁/本)

        100

        60

        問題:為了節(jié)約資金,扎西應(yīng)選擇哪一種購買方案?請說明理由。

        數(shù)學概念:不等式(組);適用年級:初三。

        建模過程:如果設(shè)購買大筆記本x本,那么購買小筆記本5-x本,根據(jù)題意有以下不等式組:

        ,解得1≤x≤3。

        由此可列出購買方案:

        方案

        大筆記本(本)

        小筆記本(本)

        紙張頁數(shù)(頁)

        總價格(元)

        1

        1

        4

        340

        26

        2

        2

        3

        380

        27

        3

        3

        2

        420

        28

        學生的任務(wù):根據(jù)花錢要求和買筆記本要求分別列出關(guān)系式(不等式),并解不等式組,給出所有的購買方案。

        在市場經(jīng)營、核定價格、分析盈虧、估計產(chǎn)量、投資決策等許多問題中,可以通過挖掘?qū)嶋H問題所隱含的數(shù)量關(guān)系,建立不等式(組)模型來加以解決。

        參考文獻

        [1]劉兼、孫曉天.數(shù)學課程標準(修訂稿)解讀[M].北京:北京師范大學出版社,2008

        〔責任編輯:龐遠燕〕

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