[摘 要]函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要構(gòu)成部分，其和多個方面的知識都有緊密聯(lián)系，對許多題目解題都有十分重要的作用。函數(shù)教學(xué)難度較高，學(xué)生理解掌握速度較慢、程度較低。在教學(xué)過程中，需要明確函數(shù)的重要作用，并以此展開教學(xué)，才能使函數(shù)教學(xué)獲得更加明顯的效果。本文結(jié)合高中函數(shù)的基本特點，對函數(shù)作用進(jìn)行深入分析，以期促進(jìn)高中函數(shù)教學(xué)。

[關(guān)鍵詞]高中數(shù)學(xué)；函數(shù)；特點；作用

高中函數(shù)一般具有四個性質(zhì)特點，即具有單調(diào)性、奇偶性、對稱性和周期性。理解把握函數(shù)知識，可以從函數(shù)的這四個特點出發(fā)，結(jié)合實際例子進(jìn)行深入分析理解。

一、函數(shù)單調(diào)性的作用

單調(diào)性是函數(shù)的基本特性之一，主要意義是指函數(shù)在一定區(qū)間內(nèi)會表現(xiàn)出單調(diào)遞增或是單調(diào)遞減的性質(zhì)，這一性質(zhì)即稱為單調(diào)性。比如，對于函數(shù)f（x）而言，如果存在任意兩個值x1和x2，且x1f（x1）恒成立，則說明函數(shù)f（x）在值域[x1，x2]范圍內(nèi)是單調(diào)遞增的，這一值域也稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。在高中數(shù)學(xué)中，有關(guān)函數(shù)單調(diào)性的題目主要有三類：一是證明函數(shù)在給定區(qū)間的單調(diào)性；二是判斷函數(shù)在給定區(qū)間的單調(diào)性；三是求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。這三類題目均可以運用函數(shù)單調(diào)性的相關(guān)知識進(jìn)行解決。舉例來說，試證明函數(shù)f（x）=x3+2在R上是增函數(shù)。對于這個問題，其具體解答過程如下：

證明：設(shè)R上有任意兩個實數(shù)x1和x2，且x1

f（x1）-f（x2）=x13-x23=（x1-x2）（x12+x1x2+x22）

對后邊括號的式子進(jìn)行配方可以得出原式=（x1-x2）[（x1+x2）2+x22]。

由于x10

所以可以得出f（x1）-f（x2）<0，即f（x1）

二、函數(shù)對稱性的作用

對稱性在課本中其實沒有進(jìn)行專門研究，但是這一性質(zhì)確實又有較為廣泛的應(yīng)用，所以在實際教學(xué)或?qū)W習(xí)過程中，應(yīng)當(dāng)對函數(shù)的對稱性進(jìn)行靈活應(yīng)用，以便提升對相關(guān)題目的解答能力你。對于普通的二次函數(shù)而言，其對稱軸為x=，在對稱軸兩側(cè)，函數(shù)的單調(diào)性完全相反。關(guān)于對稱性具有幾個基本理論。

定理一：函數(shù)y=f（x）的圖像在點A（a、b）對稱的充要條件是f（x）+f（2a-x）=2b。

定理二：函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于直線x=a對稱的充要條件是f（a+x）=f（a-x）

此外還有許多其他推論暫且不做詳細(xì)介紹，此處對定理一進(jìn)行簡單證明。

證明：設(shè)y=f（x）的圖像上有點P（x，y），點P關(guān)于點A（a，b）的對稱點P1（2a-x，2b-y）也落在y=f（x）的圖像上。

則2b-y=f（2a-x），即y+f（2a-x）=2b

可得f（x）+f（2a-x）=2b，必要性得到證明。

再證明充分性，設(shè)點Po（xo，yo）是函數(shù)圖像上的任意一點，則yo=f（xo）

因為f（x）+f（2a-x）=2b，則

f（xo）+f（2a-xo）=2b，即2b-yo=f（2a-xo）

由此可得點（2a-xo，2b-yo）也落在y=f（x）的圖像上，則點（2a-xo，2b-yo）和點P是關(guān)于點A對稱的，則充分性得證。

通過定理一的證明，實際也可以看出函數(shù)對稱性的實際應(yīng)用，通過設(shè)出對稱點，運用對稱性的相關(guān)定理推論就可以有效解決相關(guān)問題。

三、函數(shù)周期性和奇偶性的作用

周期性是指函數(shù)在一定區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)規(guī)律性的變化，一個完整的變化規(guī)律稱之為變化周期。具有周期性性質(zhì)的函數(shù)主要是三角函數(shù)，尤以正弦函數(shù)和余弦函數(shù)兩類為主。比如，對于正弦函數(shù)f（x）=sinx，其周期是2π；對于余弦函數(shù)f（x）=cosx。其周期也是2π。正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的變化規(guī)律完全相同，函數(shù)圖像的峰值相差π/2個周期。三角函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中涉及的方面較多，也是高考的必考內(nèi)容之一，具有很強的實用性。周期函數(shù)的書面定義是：對于函數(shù)y=f（x），如果存在一個不為零的常數(shù)T，使得在函數(shù)的定義域內(nèi)，具有f（x+T）=f（x）的變化規(guī)律時，則說明函數(shù)f（x）是以T為周期的周期性函數(shù)。

而奇偶性也是函數(shù)周期性的另一種表現(xiàn)，都又和周期性具有一定的區(qū)別。從奇偶性的性質(zhì)來說，對f（x）的任意值x而言，如果有f（-x）=-f（x），則說明函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；如果有f（-x）=f（x），則說明函數(shù)f（x）為偶函數(shù)。簡單來說，奇函數(shù)關(guān)于原點形成對稱，偶函數(shù)關(guān)于y軸形成對稱。

比如，有這樣一道題目：f（x）是定義在R范圍內(nèi)的函數(shù)，已知其能夠滿足f（10+x）=f（10-x），且有f（20-x）=-f（20+x），求f（x）的周期及奇偶性是多少。對于這個題目，乍一看之下比較復(fù)雜，但只要仔細(xì)分析所給出的兩個滿足條件，就可以看出f（20+x）=f[10+（10+x）]=f[10-（10+x）]=f（-x），則同理可得f（20-x）=f[10+（10-x）]=f（x）可以得出f（x）=-f（-x），則說明函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且其周期為40。

四、結(jié)語

函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中占據(jù)了很大的部分，對各方面的知識都具有深層次聯(lián)系。在教學(xué)過程中，需要對函數(shù)的基本特點形成深刻認(rèn)識，再針對函數(shù)的基本特點進(jìn)行針對性教學(xué)，才能有效提升函數(shù)教學(xué)成效，加強學(xué)生對相關(guān)函數(shù)特點、知識以及解決思路和方法的認(rèn)識理解。

參考文獻(xiàn)：

[1]顧國華.高中數(shù)學(xué)教學(xué)中函數(shù)的設(shè)計思路及其教學(xué)策略分析[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)，2014.

[2]趙毅菊.高中函數(shù)教學(xué)研究[D].內(nèi)蒙古師范大學(xué)，2008.