在小學(xué)階段，符合數(shù)學(xué)學(xué)科特征和學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的數(shù)學(xué)知識(shí)分散呈現(xiàn)在各個(gè)章節(jié)，然而由于部分教師對(duì)知識(shí)整體把握的意識(shí)不強(qiáng)，對(duì)內(nèi)容處理的能力較低，不能很好地把握教材的基本要求和內(nèi)容安排，使得學(xué)生所學(xué)的內(nèi)容缺少實(shí)質(zhì)性聯(lián)系，影響了學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升與思維能力的進(jìn)一步發(fā)展。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的豎式計(jì)算是一個(gè)很重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，但分散在每個(gè)學(xué)段的教材之中，這就需要我們跳出單冊(cè)豎式教學(xué)框架，以整體的視野來建立各冊(cè)豎式之間的本質(zhì)聯(lián)系和結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)，幫助學(xué)生在更高層次上認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、豎式教學(xué)的“窄化”現(xiàn)象

現(xiàn)象一：環(huán)節(jié)前后“脫節(jié)”。三年級(jí)下冊(cè)《乘法》單元第一課時(shí)《兩位數(shù)乘以兩位數(shù)》，內(nèi)容是讓學(xué)生通過列橫式分步計(jì)算，然后出現(xiàn)豎式，接著讓學(xué)生探索豎式每一步的意義，得到結(jié)果。一些教師把分步算法與列豎式孤立開來，重點(diǎn)教學(xué)豎式的格式、算法，忽視列豎式的基礎(chǔ)、每一步的意義，忽視豎式形成的過程，致使學(xué)生把解決此問題的理解定位于“用豎式計(jì)算”。

現(xiàn)象二：豎式算理“忽略”。三年級(jí)上冊(cè)《除法》單元第一課時(shí)《兩位數(shù)除以一位數(shù)》，內(nèi)容是讓學(xué)生通過情境圖“4筒加6個(gè)羽毛球共46個(gè)，平均分給兩個(gè)班，每個(gè)班分得幾個(gè)？”進(jìn)行計(jì)算，一些教師注重了豎式計(jì)算的算法，忽略了具體的算理：為什么先用最高位去除？豎式中第一步獲得的“4”表示什么意思？整個(gè)豎式里，出現(xiàn)了兩個(gè)“4”和3個(gè)“6”，分別是什么意思？使得學(xué)生只會(huì)計(jì)算結(jié)果，而對(duì)每一步的意義不甚了解。

現(xiàn)象三：教材意圖“不解”。二年級(jí)下冊(cè)《有余數(shù)的除法》單元第二課時(shí)《兩位數(shù)除以一位數(shù)》：媽媽買了12個(gè)蘋果，每4個(gè)放一盤，可以放幾盤？如果每5個(gè)一盤呢？教材中創(chuàng)設(shè)了分蘋果的情境，先安排學(xué)生分一分，通過口算算出結(jié)果，接著介紹了豎式的方法，再通過類比教學(xué)有余數(shù)的除法。有些老師孤立地進(jìn)行豎式算法的教學(xué)，無視教材的編寫意圖，脫離了具體的教學(xué)情境。其實(shí)這里是第一次出現(xiàn)除法豎式，對(duì)豎式的算理、求商的方法，學(xué)生的學(xué)習(xí)是有困難的。我們要讓學(xué)生在具體的操作活動(dòng)中，依托除法的豎式，通過類比推理學(xué)習(xí)和理解有余數(shù)的除法的計(jì)算方法，幫助他們體會(huì)除法的算理和算法，進(jìn)一步加深對(duì)除法含義的理解。

縱觀以上常見的課堂教學(xué)現(xiàn)象，可以歸納為兩類問題。

第一是教師對(duì)知識(shí)點(diǎn)教學(xué)的“孤化”。由于數(shù)學(xué)的知識(shí)分散在每一冊(cè)、每一個(gè)單元中，一些教師往往將知識(shí)和技能分解成若干個(gè)知識(shí)點(diǎn)和能力點(diǎn)，再圍繞這些“點(diǎn)”進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練，最終留給學(xué)生的很可能就是幾個(gè)符號(hào)、算式，數(shù)學(xué)本身的意義也簡(jiǎn)單化地變成了題目的計(jì)算和應(yīng)用。豎式計(jì)算這個(gè)知識(shí)點(diǎn)分散在每?jī)?cè)中，但都不是單獨(dú)存在的，它的準(zhǔn)確性、形象性、生動(dòng)性能夠從整體的結(jié)構(gòu)關(guān)系中表現(xiàn)出來，如果教學(xué)中僅關(guān)注豎式計(jì)算，很容易導(dǎo)致豎式教學(xué)的“孤化”，影響了學(xué)生對(duì)整個(gè)豎式體系的理解。

第二是教師對(duì)學(xué)科結(jié)構(gòu)整體把握能力薄弱?；蛟S是對(duì)教材體系不熟悉，或許是缺少整體建構(gòu)的意識(shí)，或許是對(duì)豎式的理解不夠深入，一些教師重視單類豎式的教學(xué)，忽略所教內(nèi)容的基礎(chǔ)和結(jié)構(gòu)位置，導(dǎo)致了所學(xué)新知未納入學(xué)生的知識(shí)理解體系中，支離破碎，學(xué)生很快就遺忘了。語文教學(xué)中倡導(dǎo)“字不離詞、詞不離句、句不離篇”，豎式教學(xué)也要對(duì)新知進(jìn)行“整體感知—局部研讀—整體把握”，充分考慮整體與所學(xué)新知的關(guān)系，從豎式的整體網(wǎng)絡(luò)上思考，在豎式的整個(gè)單元中體會(huì)，才能幫助學(xué)生整體地把握豎式的本質(zhì)。

二、賦予豎式計(jì)算的現(xiàn)實(shí)意義

1.整體把握內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)

數(shù)學(xué)教材根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)認(rèn)知規(guī)律、知識(shí)背景和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，合理地安排學(xué)習(xí)內(nèi)容，形成了比較嚴(yán)謹(jǐn)?shù)木幣朋w系，教師要基于數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)之間的邏輯關(guān)系，理清數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)在的知識(shí)結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生思維的正向遷移能力，使學(xué)生能夠用綜合的眼光去發(fā)現(xiàn)問題、認(rèn)識(shí)問題和解決問題。

2.突出單元整體設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)教材內(nèi)容的編排是以單元結(jié)構(gòu)形式呈現(xiàn)的。教材將有內(nèi)在聯(lián)系的、具有共同主題的內(nèi)容構(gòu)成一個(gè)整體，并且根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，由淺入深、由易到難地進(jìn)行編排。計(jì)算單元內(nèi)容編排一般結(jié)合口算、估算、豎式筆算、混合運(yùn)算及解決問題綜合編排，豎式作為其中的重要部分與其他內(nèi)容相輔相成。教學(xué)時(shí)我們要將一個(gè)單元當(dāng)作一個(gè)整體進(jìn)行思考，優(yōu)化組合，整體設(shè)計(jì)，以整體漸進(jìn)的方式推進(jìn)教學(xué)。

下面以五年級(jí)上冊(cè)“小數(shù)乘除法”單元為例，進(jìn)行說明。

（1）整體思考單元體系。系統(tǒng)論強(qiáng)調(diào)：“整體大于部分之和?！苯虒W(xué)單元是相互聯(lián)系的若干要素按一定的方式組成的統(tǒng)一整體，其規(guī)模的大小是不同的，并且是有層次的。在以豎式計(jì)算為主的單元中，豎式教學(xué)的順序有著較強(qiáng)的邏輯性，這就需要我們?cè)诮虒W(xué)前進(jìn)行單元整體解讀，以此感知本單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容，理清單元的知識(shí)結(jié)構(gòu)?！靶?shù)乘除法”單元分五段：第一段學(xué)習(xí)小數(shù)乘整數(shù)的計(jì)算方法，探索小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)規(guī)律；第二段學(xué)習(xí)除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法，探索小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)規(guī)律；第三段學(xué)習(xí)小數(shù)乘小數(shù)，求積的近似值；第四段學(xué)習(xí)除數(shù)是小數(shù)的除法，求商的近似值；第五段學(xué)習(xí)小數(shù)四則混合運(yùn)算。五段教學(xué)后安排整理與練習(xí)。

（2）整體設(shè)置單元目標(biāo)。單元教學(xué)的整體性是指在教學(xué)過程中要綜觀整個(gè)單元教材的教學(xué)目標(biāo)，厘清知識(shí)內(nèi)容，明確各知識(shí)點(diǎn)、數(shù)學(xué)方法之間的內(nèi)在聯(lián)系，弄清教學(xué)的重難點(diǎn)，使教學(xué)形成整體結(jié)構(gòu)。如“小數(shù)乘除法”這一單元，我們要系統(tǒng)理解編排意圖：一是在情境中學(xué)習(xí)，讓學(xué)生聯(lián)系整數(shù)乘、除法的意義理解小數(shù)乘除法的運(yùn)算意義。二是明白小數(shù)乘除法混合分段編排特點(diǎn)，便于學(xué)生根據(jù)不同學(xué)習(xí)內(nèi)容選擇合適的學(xué)習(xí)方式。三是由易到難安排教學(xué)層次，突破教學(xué)難點(diǎn)。教學(xué)中安排的例題都是幫助學(xué)生在掌握基本方法的基礎(chǔ)上，逐步突破難點(diǎn)的，所以每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的掌握程度直接影響到下個(gè)知識(shí)的學(xué)習(xí)，知識(shí)點(diǎn)前后關(guān)系緊密。整體把握單元目標(biāo)，既要考慮小數(shù)乘除法的知識(shí)基礎(chǔ)和后續(xù)學(xué)習(xí)作用，又要考慮本單元螺旋上升的教材編排體系，還要考慮學(xué)生學(xué)習(xí)能力的持續(xù)發(fā)展，只有這樣設(shè)置的單元目標(biāo)才能真正體現(xiàn)出整體性。

（3）整體進(jìn)行單元回顧。學(xué)生學(xué)完一個(gè)單元后，要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行整體回顧，這樣在學(xué)習(xí)過程中能進(jìn)一步構(gòu)建知識(shí)體系，強(qiáng)化所發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)規(guī)律，拓展認(rèn)識(shí)。如“小數(shù)乘除法”單元，內(nèi)容比較多，且難度較大，所以在單元復(fù)習(xí)時(shí)，可以圍繞小數(shù)乘、除法計(jì)算的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，讓學(xué)生討論“小數(shù)乘、除法的計(jì)算與整數(shù)乘、除法有什么聯(lián)系？”“怎樣確定積的小數(shù)位數(shù)？”“怎樣把除數(shù)是小數(shù)的除法轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)的除法？”三個(gè)問題，讓學(xué)生體會(huì)到：小數(shù)乘除法與整數(shù)乘除法有著密切的聯(lián)系，都可以轉(zhuǎn)化成整數(shù)的乘除法來計(jì)算，只不過需要另外考慮積或商的小數(shù)點(diǎn)位置，幫助學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)豎式計(jì)算的內(nèi)在聯(lián)系，體會(huì)“轉(zhuǎn)化”這一數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用價(jià)值。

3.整體研析編寫意圖

數(shù)學(xué)教材是教師實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，開展教學(xué)活動(dòng)的主要載體，也是師生共有的重要教學(xué)資源。每個(gè)教學(xué)例題都是根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)精心挑選和設(shè)計(jì)的，所以例題中的每一個(gè)信息、圖例都不能忽略，豎式教學(xué)的例題也是如此。教師要領(lǐng)會(huì)教材編撰意圖，深刻把握教材本質(zhì)，讓豎式不再“孤獨(dú)”。

（1）直觀操作，提升感知。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，直觀操作能有效推動(dòng)內(nèi)在的思維，有利于把具體的感知上升為理性的認(rèn)識(shí)。教材依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，在三年級(jí)上冊(cè)前的豎式計(jì)算都安排了直觀操作，目的是通過有序的操作，幫助學(xué)生理解豎式的結(jié)構(gòu)和計(jì)算過程。如二年級(jí)下冊(cè)的“有余數(shù)除法”，教材創(chuàng)設(shè)了把12個(gè)蘋果每5個(gè)放一盤的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生通過在圖上圈一圈的操作，解決了平均分的問題，并告訴學(xué)生“有余數(shù)的除法也可以用豎式計(jì)算”。具體的操作活動(dòng)，有利于他們體會(huì)有余數(shù)除法的算理和算法，進(jìn)一步加深對(duì)除法含義的理解。

（2）凸顯過程，豐富認(rèn)識(shí)。豎式教學(xué)的教材編寫非常關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程，我們?cè)诮虒W(xué)中要注重將操作過程、計(jì)算過程和算式書寫過程有機(jī)結(jié)合起來，以幫助學(xué)生更好地理解每一步算式的含義。

一是整合操作計(jì)算。如三年級(jí)上冊(cè)“兩位數(shù)除以一位數(shù)”，教材呈現(xiàn)“用小棒代替羽毛球分一分”的操作過程以及口算計(jì)算的方法，在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生用豎式表達(dá)分的過程和結(jié)果，并提示結(jié)果書寫的位置。這樣的操作過程和口算的方法，不僅能夠幫助學(xué)生解決問題，而且賦予程序化的豎式計(jì)算以現(xiàn)實(shí)的意義。

二是分步理解算理。如三年級(jí)下冊(cè)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”，在學(xué)生自主探索的基礎(chǔ)上，教材依次呈現(xiàn)了三個(gè)虛線框內(nèi)容，又進(jìn)一步抽象為一般寫法，這樣不僅讓學(xué)生清楚了每一步結(jié)果是如何得到的，而且明晰了每一步的計(jì)算結(jié)果所表示的實(shí)際意義。

三是突出差錯(cuò)轉(zhuǎn)化。如五年級(jí)上冊(cè)的“小數(shù)加減法”，教材在出示情境圖后，讓學(xué)生聯(lián)系已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，獨(dú)立用豎式計(jì)算，然后進(jìn)行差錯(cuò)對(duì)比交流。通過對(duì)豎式書寫形式的比較和小數(shù)意義的分析，讓學(xué)生一下子明白了只有相同計(jì)數(shù)單位才能相加，從而更好地體會(huì)小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊就能使相同數(shù)位上的數(shù)對(duì)齊這一意義。

四是展現(xiàn)推理過程。如五年級(jí)上冊(cè)的“小數(shù)乘小數(shù)”，學(xué)生已經(jīng)具有將小數(shù)乘法轉(zhuǎn)化為整數(shù)乘法進(jìn)行計(jì)算的初步經(jīng)驗(yàn)，教材先引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行估算，為筆算提供了支持。接著教材提出問題，乘得的積發(fā)生了怎樣的變化？怎樣得到原來的積？通過豎式旁給出的形象的推理過程，幫助學(xué)生借助直觀認(rèn)識(shí)并理解了算法。

（3）借助素材，支撐理解。隨著學(xué)生年齡的增長(zhǎng)和生活經(jīng)驗(yàn)的豐富，教材從三年級(jí)下冊(cè)開始，選取了更多的學(xué)習(xí)素材來激發(fā)學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)，用生活經(jīng)驗(yàn)支撐對(duì)豎式計(jì)算解法的理解。如三年級(jí)下冊(cè)的“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”，通過“每箱南瓜24個(gè)，運(yùn)來12箱，一共有多少個(gè)？”這個(gè)生活中的素材，啟發(fā)學(xué)生可以分別算出10箱和2箱的個(gè)數(shù)，再把兩次算出的結(jié)果相加，相機(jī)列出豎式，解釋每一步的意思，這樣就比較容易地讓學(xué)生理解了豎式的算理和算法。

（4）理清算理，生長(zhǎng)經(jīng)驗(yàn)。在學(xué)生獲得大量計(jì)算活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)后，教材在內(nèi)容編排上更加重視讓學(xué)生對(duì)計(jì)算法則進(jìn)行歸納和總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生的歸納推理能力。如三年級(jí)上冊(cè)“三位數(shù)除以一位數(shù)”，在讓學(xué)生嘗試三位數(shù)除以一位數(shù)后，教材引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)兩、三位數(shù)除以一位數(shù)的計(jì)算方法，回顧學(xué)過的除法，引導(dǎo)學(xué)生交流并進(jìn)行概括，使學(xué)生對(duì)兩、三位數(shù)除以一位數(shù)的計(jì)算方法有了整體的理解。

豎式計(jì)算的學(xué)習(xí)需要學(xué)生經(jīng)歷較長(zhǎng)的認(rèn)識(shí)過程才能逐步理解和掌握，我們要用整體系統(tǒng)的觀點(diǎn)，關(guān)注豎式的形成過程，引領(lǐng)學(xué)生在理解算理的基礎(chǔ)上掌握算法，從更深的層面認(rèn)識(shí)和開發(fā)豎式這一知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，建立起網(wǎng)絡(luò)狀的豎式知識(shí)結(jié)構(gòu)，進(jìn)一步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（過曉偉，無錫市云林實(shí)驗(yàn)小學(xué)，214102）

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