☉福建省尤溪第一中學(xué) 肖蘭珠

試析高中學(xué)生數(shù)學(xué)運算能力的組成要素

☉福建省尤溪第一中學(xué) 肖蘭珠

運算能力、邏輯思維能力和空間想象能力被喻為數(shù)學(xué)三大基本能力，而筆者認為在三大基本能力中猶以運算能力為基礎(chǔ)，這里的運算能力不僅僅是計算能力，它有著豐富的內(nèi)涵，包括對基本概念、基本公式靈活運用的能力；還包括綜合與分析條件，尋求簡單路徑的能力.可以說運算能力是學(xué)生數(shù)學(xué)成績的決定性要素之一.因此，有必要從數(shù)學(xué)運算能力的組成成分上對其解讀，以更好地培養(yǎng)學(xué)生的運算能力.筆者認為數(shù)學(xué)的運算能力主要包括如下幾個方面：首先，依據(jù)對象的特點，選擇適當(dāng)數(shù)學(xué)模型的能力；其次，依據(jù)對象的特點，選擇恰當(dāng)運算方法的能力；第三，依據(jù)對象的特點，挖掘隱含信息的能力；第四，依據(jù)對象的特點，運用恰當(dāng)數(shù)學(xué)思想的能力；第五，依據(jù)對象的特點，選擇恰當(dāng)運算路徑的能力.

一、依據(jù)對象的特點，選擇適當(dāng)數(shù)學(xué)模型的能力

數(shù)學(xué)模型在本質(zhì)上是內(nèi)在數(shù)學(xué)各要素的結(jié)構(gòu)關(guān)系，外在表現(xiàn)上往往被抽象成建立在數(shù)學(xué)符號基礎(chǔ)上的等式、不等式、圖像、圖表等內(nèi)容.簡單地講，選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型的能力就是將問題歸入哪類知識點的判斷能力，從這一層面講，提升學(xué)生運算能力的第一要求即提升學(xué)生的數(shù)學(xué)模型選擇能力.數(shù)學(xué)題目往往存在著知識交匯的情況，因此每道題目通常會存在至少一種數(shù)學(xué)模型，同樣的題目，因為選擇模型的不同，往往會呈現(xiàn)出繁簡程度截然不同的現(xiàn)象.

分析1：遇到帶有絕對值的最小值，學(xué)生們易選擇的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，即進一步選擇分段函數(shù)這一數(shù)學(xué)模型.

反思：雖然兩種思路最終均得到了正確結(jié)果，但對比兩種思路可以發(fā)現(xiàn)：第一種方法中明顯運算的速度被拖了下來，而第二種方法在運算上則呈現(xiàn)出截然不同的運算景象.造成這種運算差異的根本在于選擇的數(shù)學(xué)模型不同，第二個數(shù)學(xué)模型是基于學(xué)生高度的抽象能力基礎(chǔ)上的.

二、依據(jù)對象的特點，選擇恰當(dāng)運算方法的能力

運算方法，簡稱算法，即在理解數(shù)學(xué)問題情境的基礎(chǔ)上，通過對數(shù)學(xué)數(shù)據(jù)的分析，找出解決問題的具體步驟，這一組連續(xù)的操作步驟即算法.同一道題目，往往因為選擇的算法不同，而影響到解題過程的復(fù)雜程度和運算量的大小.運算能力較強的學(xué)生，往往能夠因“問”制宜，從眾多的算法中選擇與問題情境適合的算法，從而簡化問題解決過程，降低運算量，從而確保運算快、準、穩(wěn).

分析1：判定函數(shù)奇偶性有固定的步驟：首先，分析定義域是否關(guān)于原點對稱；第二，驗證f（-x）與f（x）的關(guān)系；第三，判定奇偶性.

易證函數(shù)的定義域為R，關(guān)于原點對稱.

分析2：f（-x）=-f（x）等價于f（-x）+f（x）=0，在證明函數(shù)為奇函數(shù)時往往不用第一個等式，而選擇第二個式子，兩者區(qū)別在于運算的路徑選擇不同.

反思：受前攝抑制的影響，學(xué)生一般在心理上更認可的是分母有理化，而非分子有理化，并且分子有理化的過程也非常復(fù)雜，因此，學(xué)生在運用第一種方法時，計算往往比較“痛苦”，相比較而言，后一種方法僅僅運用了對數(shù)的加法公式和平方差公式，繁簡對比，立竿見影.因此在數(shù)學(xué)運算時不能機械地套用公式，而應(yīng)根據(jù)具體情境選擇適當(dāng)?shù)倪\算方法.

三、依據(jù)對象的特點，挖掘隱含信息的能力

很多試題為了考查學(xué)生能否靈活運用所學(xué)內(nèi)容，往往在題設(shè)中并不直接給出所需要的條件，而是將其隱晦表達在已有的條件中.另有研究表明，學(xué)生的運算速度及其準確性，受其挖掘隱含信息的能力的影響.因此，依據(jù)對象的特點，在已知條件的基礎(chǔ)上挖掘題目的隱含信息是增強學(xué)生運算能力的重要途徑.

例3已知｛bn｝是等比數(shù)列，bn＞0，若b2b4+2b3b5+b4b6= 36，那么b3+b5的值為？

分析1：對于與等比數(shù)列的項有關(guān)的問題，回歸基本量首項和公比是一種常見的思路，通過基本量的計算求解每一項的值，或者將待求的表達式整體用基本量來表示，從而達到求解的目的.

設(shè)首項為b1，公比b3+b5=6.

分析2：再次觀察題設(shè)可以發(fā)現(xiàn)：題設(shè)中暗含著等比數(shù)列的一種性質(zhì)，即等比中項，并且條件中所給出的等式利用等比中項替換后恰好是待求表達式的完全平方式，挖掘到這一隱含條件有助于提升學(xué)生的運算效率.

反思：類似這樣含有隱含信息，需要學(xué)生去挖掘的問題還有很多，比較兩種處理方式可以發(fā)現(xiàn)：后一種的運算明顯比前一種情況簡單.因此，對于提升學(xué)生的運算能力而言，提升學(xué)生挖掘隱含信息的能力是重要的一環(huán).

四、依據(jù)對象的特點，運用恰當(dāng)數(shù)學(xué)思想的能力

眾所周知，高中階段主要會接觸到分類討論、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等七類基本數(shù)學(xué)思想.筆者認為對數(shù)學(xué)思想方法的運用應(yīng)當(dāng)是數(shù)學(xué)運算能力的一個組成部分.如下以轉(zhuǎn)化與化歸思想為例，說明數(shù)學(xué)思想在提升運算方面的作用.

分析：很多學(xué)生的思維是將其兩側(cè)平方，顯然這是不可取之法；亦有學(xué)生會想到利用兩根式的單調(diào)性來求解，但發(fā)現(xiàn)兩者的單調(diào)性并不一致，這樣就導(dǎo)致了學(xué)生會陷入思維的困境，難以突破.而利用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思化成直線y=x上的點到（2，0）和（1，2）的距離之和的最小值.可以發(fā)現(xiàn)（2，0）和（1，2）分布在直線的兩側(cè)，因此，原

反思：很多時候在問題情境中，直接運算往往難以直接進行，這時就需要借助數(shù)學(xué)思想的力量.例如轉(zhuǎn)化與化歸思想，例4中將代數(shù)表達式轉(zhuǎn)化成幾何意義動點到兩定點的距離之和；再比如數(shù)形結(jié)合思想，就是函數(shù)問題中將用的數(shù)學(xué)思想.總之，數(shù)學(xué)思想的正確運用往往能夠簡化問題的計算，提升學(xué)生的運算能力.

五、依據(jù)對象的特點，選擇恰當(dāng)運算路徑的能力

運算路徑的選擇直接決定著運算步驟的數(shù)量，直接決定著運算過程的繁簡程度，因此，依照問題的具體特點，選擇恰當(dāng)運算路徑的能力應(yīng)當(dāng)被視為衡量學(xué)生運算能力的一項重要指標.如下以一道解析幾何題為例，展示由于運算路徑不同而造成運算的差異.

例5焦點在y軸上的橢圓，過其上焦點F1作y軸的垂線交橢圓于M點，若△F1F2M為等腰直角三角形，求橢圓的離心率.

分析1：對于有關(guān)離心率的問題，通常的思路是構(gòu)建一個關(guān)于a、c的齊次等式，將等式轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程求解.

分析2：反思上述過程，選擇的路徑是構(gòu)建一個齊二次等式，而觀察圖形可以選擇一個更簡單的路徑，利用橢圓的定義構(gòu)建齊一次等式.

反思：比較兩種方法，方法1選擇的路徑為解二次方程，方法2選擇的是解一次方程，兩者的運算繁簡高下立見.管中窺豹，可見一斑，由上述這一簡單的例題就可以反饋出運算路徑的選擇對運算速度提升的重要性.

總而言之，學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力是影響學(xué)生成績的主要因素，而數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)能力、運算方法的選擇能力、隱含信息的挖掘能力、數(shù)學(xué)思想的運用能力則是數(shù)學(xué)運算能力的重要組成，因此，提升數(shù)學(xué)運算能力應(yīng)當(dāng)從上述幾個方面著手.

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