☉安徽省浮山中學(xué) 吳約中

探究與拓展一道經(jīng)典數(shù)學(xué)高考題

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一、問(wèn)題由來(lái)

圖1

題目（2008年高考數(shù)學(xué)江蘇卷17題）如圖1，某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B及CD的中點(diǎn)P處.AB= 20km，BC=10km.為了處理這三家工廠的污水，現(xiàn)要在該矩形區(qū)域上（含邊界）且與A、B等距的一點(diǎn)O處，建造一個(gè)污水處理廠，并鋪設(shè)三條排污管道AO，BO，PO.記鋪設(shè)管道的總長(zhǎng)度為ykm.

（1）按下列要求建立函數(shù)關(guān)系式：

①設(shè)∠BAO=θ（rad），將y表示成θ的函數(shù)；

②設(shè)OP=x（km），將y表示成x的函數(shù).

（2）請(qǐng)你選用（1）中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系確定污水處理廠的位置，使鋪設(shè)的污水管道的總長(zhǎng)度最短.

評(píng)析：該題為情境創(chuàng)設(shè)開(kāi)放題，考生首先要將語(yǔ)言文字的理解等價(jià)化歸為函數(shù)模型（變量的范圍），主考函數(shù)的概念、解三角形、導(dǎo)數(shù)中函數(shù)最值的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查考生的數(shù)學(xué)建模能力、抽象概括能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力；特別是第（2）問(wèn)，涉及污水處理廠科學(xué)選址、有效“節(jié)能”和排污管道長(zhǎng)度最優(yōu)化問(wèn)題的探究.

②若OP=x（km），則OQ=10-x，所以O(shè)A=OB=

二、問(wèn)題探究

上述的點(diǎn)O與三角形中的費(fèi)馬點(diǎn)有何關(guān)聯(lián)呢？

1.背景再現(xiàn)

（1）費(fèi)馬點(diǎn)定義：在一個(gè)多邊形中，到每個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)叫做這個(gè)多邊形的費(fèi)馬點(diǎn).

（2）如果三角形有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120°，這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)就是費(fèi)馬點(diǎn)；如果3個(gè)內(nèi)角均小于120°，則在三角形內(nèi)部對(duì)三邊張角均為120°的點(diǎn)，就是三角形的費(fèi)馬點(diǎn).

（3）如何作一個(gè)三角形的費(fèi)馬點(diǎn)？

作法：①作一三內(nèi)角均小于120°的△ABC.②分別以AB，AC為一邊，向外側(cè)作正△ABD與△ACE.③連接CD、BE，交于點(diǎn)P，則P點(diǎn)即為所求，如圖2.

圖2

（4）如何求一個(gè)三角形的費(fèi)馬點(diǎn)？

當(dāng)一個(gè)三角形的最大角小于120°時(shí)，以每一個(gè)邊向外側(cè)作等邊三角形，連接該等邊三角形的頂點(diǎn)和該邊的對(duì)角頂點(diǎn)，三條連線的交點(diǎn)P就是費(fèi)馬點(diǎn).

解析：（1）由圖3易知，費(fèi)馬點(diǎn)對(duì)邊的張角為120°，所以△AC′C≌△ABB′，∠AC′C=∠ABB′.

圖3

又∠AFC′=∠CFB（對(duì)頂角），

所以∠FAC′=∠BPF=60°，所以∠BPC=120°.（2）PA+PB+PC=BB′.

如圖4，將△APC以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°與△B′DC重合，連接PD，則△PDC為等邊三角形，所以∠CPD=60°.又∠BPC=120°，因此B、P、D三點(diǎn)在同一直線上.又∠APC=120°，所以B、P、D、B′四點(diǎn)在同一直線上，故PA+PB+PC=BB′.

圖4

（3）PA+PB+PC最短.

如圖5，在△ABC內(nèi)任意取一點(diǎn)M（不與點(diǎn)P重合），連接AM、BM、CM，將△AMC以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°與△B′GC重合，連接BM、GM、B′G（同上），則B′B＜B′G+GM+ MB=AM+BM+CM.

圖5

所以費(fèi)馬點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的距離最短.

評(píng)注：△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)位置是通過(guò)圖形旋轉(zhuǎn)，由極端原理得到的，將三邊距離之和轉(zhuǎn)化為同一直線上兩點(diǎn)之間線段最短的應(yīng)用.因此該道高考試題將考題和費(fèi)馬點(diǎn)有機(jī)聯(lián)結(jié)，變矩形為三角形構(gòu)建對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，使問(wèn)題解決更加貼近考生最近發(fā)展區(qū)，從而達(dá)到觸類旁通的效果.△ABP中的點(diǎn)O最合適的位置是滿足AO=BO且∠AOB=120°，此時(shí)同樣可求得點(diǎn)O在AB的垂直平分線

2.題源探究拓展

探究拓展一：費(fèi)馬點(diǎn)是否適合于四邊形中的優(yōu)化問(wèn)題？

例1A、B、C、D四個(gè)城市恰好為一個(gè)矩形的四個(gè)頂點(diǎn).現(xiàn)要建一個(gè)公路系統(tǒng)，使每個(gè)城市之間都有公路相通，并使整個(gè)公路系統(tǒng)的總長(zhǎng)為最小，問(wèn)：該公路系統(tǒng)應(yīng)當(dāng)如何修建？

解析：如圖6，連接AC，BD，交點(diǎn)為P，則點(diǎn)P到點(diǎn)A、B、C、D的距離之和最短.

如圖7，在矩形內(nèi)部任取一點(diǎn)Q，連接AQ、BQ、CQ、DQ.

因?yàn)锳Q+CQ≥AC，BQ+DQ≥BD，則點(diǎn)P為最佳位置.

圖6

圖7

探究拓展二：如果不計(jì)較結(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，有沒(méi)有更短的線路？

如圖8，在△APD、△BPC中分別作出費(fèi)馬點(diǎn)E、F（費(fèi)馬點(diǎn)定義可證三角形任意兩邊之和大于費(fèi)馬點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離之和）.

由AP+PD＞AE+PE+DE，PB+ PC＞BF+CF+PF，得AC+BD＞AE+ PE+DE+BF+CF+PF.

又E、P、F三點(diǎn)共線，所以AE+ DE+BF+CF+EF＜AC+BD，即圖8的連接方法是最短的.

圖8

評(píng)注：“公路系統(tǒng)總長(zhǎng)”的優(yōu)化問(wèn)題，可以歸結(jié)為如“亭子道路的布局設(shè)計(jì)”、“地鐵運(yùn)輸線的設(shè)計(jì)”等，這些可以展現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的外在美、和諧美等.

探究拓展三：費(fèi)馬點(diǎn)是否適合于競(jìng)賽中的代數(shù)問(wèn)題？

例2設(shè)x，y，z，a，b∈R+，且a＞b，x，y，z滿足條件

解析：這道代數(shù)問(wèn)題似乎與費(fèi)馬點(diǎn)沒(méi)有直接關(guān)系，若根據(jù)方程組的特點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)特殊三角形來(lái)解.由于等式右端為a2、b2、a2+b2，因此構(gòu)造一個(gè)Rt△ABC，兩條直角邊分別為AB=a，AC=b，∠A=90°.并在Rt△ABC內(nèi)找一點(diǎn)O，連接OA、OB、OC，使得它們之間的夾角為120°（如圖9）.設(shè)OA=x，OB=y，OC=z.由余弦定理知x，y，z，a，b之間的關(guān)系滿足上述已知的方程組條件.再將△ABO繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△AB′O′.易知B′、O′、O、C四點(diǎn)共線，且B′O′=y，O′O=x，OC=z，∠B′AC=150°，即B′C=x+y+z.在△AB′C中，AB′=a，AC=b，∠B′AC=150°，則

圖9

評(píng)注：費(fèi)馬點(diǎn)也可以看作是一種幾何模型.在一些代數(shù)問(wèn)題中，建構(gòu)相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，問(wèn)題就會(huì)變得非常簡(jiǎn)單.這展示了數(shù)與形的有機(jī)結(jié)合，對(duì)問(wèn)題的解決、深化，效果明顯.

3.思維探究拓展

思維探究拓展一：解題思維需要有“第二過(guò)程”的暴露.

數(shù)學(xué)解題思維過(guò)程的暴露是一個(gè)不斷分析解題過(guò)程、循環(huán)提升理解能力的探究過(guò)程.在此過(guò)程中，既有“第一過(guò)程”的思維暴露，又有“第二過(guò)程”的思維暴露，是解題思維的全過(guò)程暴露；在內(nèi)容上，既包括數(shù)學(xué)家的思維，又包括教師、學(xué)生的思維（教學(xué)課堂應(yīng)是這三種思維的同時(shí)暴露）.

（1）停留在“第一過(guò)程”的思維暴露是不完整的.

解題教學(xué)中暴露數(shù)學(xué)解題思維過(guò)程、結(jié)論的發(fā)現(xiàn)過(guò)程、思路的探求過(guò)程、方法的提煉過(guò)程等稱為“第一過(guò)程”的暴露.與解題思路的探求相比，初步解法的生成，其本身仍然是一個(gè)隱含在知識(shí)或結(jié)論中的思維過(guò)程，依然是解題者不懈努力、有效思考的真實(shí)過(guò)程.如果其解法是粗糙的，它就為我們繼續(xù)探索深層結(jié)構(gòu)準(zhǔn)備了研究的素材與園地；如果其解法是深刻的，它就為我們的模仿、練習(xí)提供了范例和榜樣，有利于我們直接領(lǐng)悟問(wèn)題的深層結(jié)構(gòu).

例3如圖10所示，半徑為2cm，圓心角為90°的扇形OAB的A（B上有一運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)P.從點(diǎn)P向半徑OA引垂線PH交OA于點(diǎn)H.設(shè)△OPH的內(nèi)心為I，當(dāng)點(diǎn)P在（上從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，求內(nèi)心I所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng).

圖10

圖11

解析：如圖11，∠AOP與∠OPH的角平分線的交點(diǎn)為點(diǎn)I，因?yàn)椤螾HO= 90°，所以∠HPO+∠HOP=90°.

由題意知，∠PIO始終等于135°，且OP的長(zhǎng)始終等于2cm.一個(gè)角度不變，所對(duì)的一條邊的長(zhǎng)度不變，經(jīng)過(guò)畫(huà)圖、思考，發(fā)現(xiàn)I所經(jīng)過(guò)的路徑可以看作2cm為弦，且所含圓周角為135°的一段弧.點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，如圖12，I所經(jīng)過(guò)的路徑就是以AO為弦，且所對(duì)的另一個(gè)圓周角為45°，所以圓心

圖12

（2）進(jìn)行“第二過(guò)程”的思維暴露是有道理的.

解題過(guò)程中在暴露結(jié)論發(fā)現(xiàn)、思路探求的基礎(chǔ)上，自覺(jué)分析、繼續(xù)反思數(shù)學(xué)教學(xué)、解題的思維過(guò)程稱為“第二過(guò)程”的暴露.

第一過(guò)程的暴露主要反映了將題作為對(duì)象，將解作為目的的認(rèn)知活動(dòng)，它實(shí)現(xiàn)了有序信息向大腦的線性輸入，而第二過(guò)程的暴露不僅要將題作為對(duì)象，將解作為目標(biāo)，而且要將包括“題與解”在內(nèi)的解題活動(dòng)作為對(duì)象，將智力的開(kāi)發(fā)、促進(jìn)人的發(fā)展作為目標(biāo)，將歷時(shí)性的線性材料再組織為一個(gè)共時(shí)性的立體結(jié)構(gòu).是在更高層面上的再認(rèn)知活動(dòng)，具有鮮明的元認(rèn)知特征和具體的元認(rèn)知開(kāi)發(fā)實(shí)效，思維的廣闊性、靈活性、深刻性、批判性等品質(zhì)都將得到有效的鍛煉和提升.通過(guò)揭示為題的深層結(jié)構(gòu)，對(duì)學(xué)生隱性的數(shù)學(xué)領(lǐng)悟施加顯意識(shí)的影響，為數(shù)學(xué)直覺(jué)的誘發(fā)鋪設(shè)必要的邏輯通道，產(chǎn)生協(xié)同效應(yīng).

思維探究拓展二：典型例題的探究拓展是一種案例研究.

在上面的解答過(guò)程中，思維很是精妙，結(jié)果又耐人尋味，似乎不必用到∠AOB=90°.如果∠AOB不是90°，那么還能求解嗎？上面的求解是不是有破綻呢？于是又進(jìn)行了下面的探究.

問(wèn)題1：如果∠AOB＜90°，例如∠AOB=60°，如圖13所示，那么

圖13

問(wèn)題2：如果∠AOB＞90°，例如∠AOB=120°，如圖14所示，內(nèi)心I的路徑長(zhǎng)為A（O與O（I的和，與問(wèn)題1相似，同理可得∠ICD=∠BOD= 180°-∠AOB=60°，∠OCD=90°，所以∠OCI=30°.

圖14

這道題的解題方法非常巧妙，動(dòng)態(tài)弦轉(zhuǎn)化定弦，通過(guò)這樣一轉(zhuǎn)化，就解決了這個(gè)問(wèn)題.再經(jīng)過(guò)深入分析，不管∠AOB為多少度，都能求出這種三角形內(nèi)心的路徑長(zhǎng).而在分析思考的過(guò)程中，開(kāi)發(fā)、提升了學(xué)生的思維.

數(shù)學(xué)解題案例滲透著對(duì)特定數(shù)學(xué)問(wèn)題的深刻反思，反映了數(shù)學(xué)解題實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)與方法，蘊(yùn)含著一定程度的理論原理，是了解解題教學(xué)的窗口，是數(shù)學(xué)解題理論的故鄉(xiāng)，是數(shù)學(xué)教師發(fā)展的階梯.數(shù)學(xué)解題是智慧創(chuàng)造活動(dòng).誰(shuí)也無(wú)法教會(huì)我們所有的題目，重要的是，通過(guò)有限道題的解題分析、案例研究、探究拓展來(lái)領(lǐng)悟解無(wú)限道題的數(shù)學(xué)機(jī)智.

人生有盡，題海無(wú)涯；思維有路，探究無(wú)限，探究拓展高考數(shù)學(xué)題的目的就是要通過(guò)有限個(gè)問(wèn)題的思考去領(lǐng)悟無(wú)限個(gè)問(wèn)題的思維方法.課堂是教師教學(xué)的實(shí)踐場(chǎng)所，是教師成長(zhǎng)和發(fā)展的主陣地，是教師生命價(jià)值得以提升的現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)，實(shí)踐情境和經(jīng)驗(yàn)背景構(gòu)成了教師構(gòu)建知識(shí)的專業(yè)場(chǎng)所.以教學(xué)中面臨的各種具體問(wèn)題為研究對(duì)象，既注重實(shí)際問(wèn)題，又注重概括提升、總結(jié)經(jīng)驗(yàn)和探究規(guī)律，一方面有助于教師數(shù)學(xué)思想的啟迪，數(shù)學(xué)人文精神的培育，數(shù)學(xué)情趣、意志、風(fēng)格的塑造，另一方面又有助于構(gòu)建體現(xiàn)新課程理念的教學(xué)模式與教學(xué)風(fēng)格，有助于形成駕馭新課程教學(xué)的有效經(jīng)驗(yàn)和教育智慧，使學(xué)生從中受益，從而提高他們的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力.解題不回顧，如同走進(jìn)寶山空手回，作為一個(gè)平凡的數(shù)學(xué)教育工作者，筆者想通過(guò)這樣的探究拓展，期望學(xué)生以研究的觀點(diǎn)去對(duì)待解題，將每一次解題當(dāng)作對(duì)數(shù)學(xué)真理的一次探究和再發(fā)現(xiàn)過(guò)程.解題之后若善于進(jìn)行命題的引申、探究與拓展，對(duì)優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，增強(qiáng)學(xué)生提出問(wèn)題、分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的基本技能會(huì)有所幫助；希望成為學(xué)生思維火把的引燃者；希望自己的學(xué)生都成為會(huì)學(xué)習(xí)、會(huì)思考、會(huì)探究、會(huì)拓展的學(xué)海弄潮兒.

1．羅增儒，著.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論［M］.西安：陜西師范大學(xué)出版社，2001.

2．［美］G.波利亞，著.怎樣解題［M］.涂泓，馮承天，譯.上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2007.

3．［蘇］費(fèi)里德曼，著.怎樣學(xué)會(huì)解數(shù)學(xué)題［M］.梁法馴，譯.哈爾濱：黑龍江科學(xué)技術(shù)出版社，1981.F