☉江蘇省南京市第二十九中學(xué) 張?jiān)骑w

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追問(wèn)中深入探究中升華

☉江蘇省南京市第二十九中學(xué) 張?jiān)骑w

《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)教材編寫(xiě)要求：教材應(yīng)注意創(chuàng)設(shè)情境，從具體實(shí)例出發(fā)，展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，使學(xué)生能夠從中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，經(jīng)歷數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過(guò)程，了解知識(shí)的來(lái)龍去脈．教材的呈現(xiàn)應(yīng)為引導(dǎo)學(xué)生自主探索留有比較充分的空間，有利于學(xué)生經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、推理、交流、反思等過(guò)程．編寫(xiě)教材時(shí)，可以通過(guò)設(shè)置具有啟發(fā)性、挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生進(jìn)行思考，鼓勵(lì)學(xué)生自主探索，并在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上進(jìn)行合作交流，在思考、探索和交流的過(guò)程中獲得對(duì)數(shù)學(xué)較為全面的體驗(yàn)和理解．筆者認(rèn)為，這不僅是對(duì)教材編寫(xiě)的要求，更是對(duì)數(shù)學(xué)教師的要求，更是對(duì)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的要求．

波利亞曾說(shuō)過(guò)“一個(gè)專(zhuān)心認(rèn)真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個(gè)有變化但又不太復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生挖掘問(wèn)題的各個(gè)方面，使得通過(guò)這道題就好像通過(guò)一道門(mén)戶(hù)，把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域”．

題目：在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓O：x2+y2=4，直線(xiàn)l：x=4，圓O與x軸相交于點(diǎn)A、B（如圖）．點(diǎn)P為圓O上任一點(diǎn)（異于點(diǎn)A、B），直線(xiàn)AP與l相交于點(diǎn)C．如設(shè)直線(xiàn)BP、BC的斜率分別為kBP、kBC，試證：kBP·kBC為定值．

以下記錄的是筆者和學(xué)生的探究過(guò)程．

一、定值是什么

定值問(wèn)題是中學(xué)數(shù)學(xué)中較為富有挑戰(zhàn)性和趣味性的問(wèn)題，尋找變化中的不變性是人類(lèi)了解自然、認(rèn)識(shí)自然并運(yùn)用自然的目的之一．定值問(wèn)題中的定值是變化中不變的值，可通過(guò)特殊化尋求．如：當(dāng)點(diǎn)P為圓與y軸的交點(diǎn)時(shí)，易得kBP=－1，kBC=3，從而有kBP·kBC=－3．

知道了定值為－3后，如何證明對(duì)于圓O上任一點(diǎn)P，都有kBP·kBC=－3？

二、選擇誰(shuí)為主動(dòng)點(diǎn)

題目中有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)．由題意知：當(dāng)點(diǎn)P變化時(shí)，點(diǎn)C隨之而變化，當(dāng)點(diǎn)P確定時(shí)，點(diǎn)C隨之而確定．反之亦然．也就是說(shuō)，點(diǎn)P的坐標(biāo)確定時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)也隨之確定．反之亦然．

選誰(shuí)作為主動(dòng)點(diǎn)？

分析：如設(shè)點(diǎn)P為主動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P的縱、橫坐標(biāo)都在變，也就是說(shuō)，如選點(diǎn)P為主動(dòng)點(diǎn)，則有兩個(gè)變量．如選點(diǎn)C為主動(dòng)點(diǎn)，注意到點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4，則只有一個(gè)變量．如從變量的個(gè)數(shù)來(lái)看，選擇點(diǎn)C為主動(dòng)點(diǎn)似乎比選擇點(diǎn)P方便一些．

果真如此嗎？

方法1：設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，h）.

得：

消去y并整理得：

探究反思：本來(lái)以為選擇點(diǎn)C為主動(dòng)點(diǎn)似乎比選擇點(diǎn)P方便一些，但從以上方法1與方法2的實(shí)際解題過(guò)程來(lái)看，選擇點(diǎn)P為主動(dòng)點(diǎn)比選擇點(diǎn)C更方便些．

這是為什么呢？（分析解題過(guò)程是提高解題能力最有力的舉措之一）

同學(xué)們通過(guò)分析方法1與方法2，發(fā)現(xiàn)：方法1之所以繁一些，是因?yàn)榉椒?首先要解一個(gè)一元二次方程（**），并求點(diǎn)P的坐標(biāo)；其次，化簡(jiǎn)kBP的過(guò)程比較繁．而方法2則利用設(shè)而不求、整體代換的思想簡(jiǎn)化了解題過(guò)程．

三、方法1中的解方程組是必要的嗎

如前所述，方法1之所以比方法2繁一些，是因?yàn)榉椒?要解一個(gè)一元二次方程．那么，方法1中的解方程組的過(guò)程是必要的嗎？也就是說(shuō)，在方法1中能不解方程嗎？（產(chǎn)生求簡(jiǎn)的意識(shí)是達(dá)到求簡(jiǎn)目的的先導(dǎo)）

還是分析方法1的解題過(guò)程．

解方程（組）的目的是為了用參數(shù)h去表示點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而用h表示kBP．同學(xué)們發(fā)現(xiàn)：用h表示kBP的過(guò)程是煩瑣的，但用h表示kBP的結(jié)果卻是簡(jiǎn)潔的：kBP=－

之所以能由煩瑣到簡(jiǎn)潔，是因?yàn)樵谶@個(gè)過(guò)程中有了抵消或約去．

有了抵消或約去就有優(yōu)化的可能．

如何優(yōu)化呢？

反思：當(dāng)把點(diǎn)C作為主動(dòng)點(diǎn)時(shí)，只要用點(diǎn)C的坐標(biāo)去表示點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而用點(diǎn)C的坐標(biāo)表示kBP、kBC．但要用點(diǎn)C的坐標(biāo)去表示kBP、kBC，是否一定要解方程（組）？從上面的方法3知道：這些都不是必要的．但在日常的課堂教學(xué)中，當(dāng)把點(diǎn)C作為主動(dòng)點(diǎn)時(shí)，總是不假思索地甚至認(rèn)為是天經(jīng)地義地去解方程（組），這是長(zhǎng)期思維定勢(shì)的影響，這是思維膚淺的表現(xiàn)．誤把“只要”當(dāng)“必要”！

四、問(wèn)題的進(jìn)一步思考

從方法3不難發(fā)現(xiàn)：kBP·kBC之所以為定值，是因?yàn)閗BP和kBC之間有一種倒數(shù)型的關(guān)系，而這種倒數(shù)型的關(guān)系，確保了當(dāng)h變化時(shí)，也就是點(diǎn)P變化時(shí)，乘積kBP·kBC中的h被約掉了，也就是說(shuō)乘積kBP·kBC不隨點(diǎn)P的變化而變化（kBP和kBC之間的倒數(shù)型關(guān)系是這類(lèi)問(wèn)題的本質(zhì)之所在）．

特別地，當(dāng)m=4時(shí)，kB·PkBC=－3，也就是原題中的定值．當(dāng)m=1時(shí)，kBP·kBC=3，此時(shí)直線(xiàn)l：x=1與圓O：x2+y2=4相交．

一般地，當(dāng)m＜－2或m＞2，即直線(xiàn)l：x=m與圓O：x2+y2=4相離時(shí)，kB·PkBC為定值，是一個(gè)負(fù)數(shù)；

當(dāng)－2＜m＜2時(shí)，也就是當(dāng)直線(xiàn)l：x=m與圓O：x2+y2=4相交時(shí)，kB·PkBC為定值，是一個(gè)正數(shù)；

當(dāng)m=－2或m=2時(shí)，直線(xiàn)l：x=m與圓O：x2+y2=4相切，但m=－2時(shí)kB·PkBC=0，而m=2時(shí)，kB·PkBC則不存在．

顯然，圓O：x2+y2=4的方程可一般化成x2+y2=a2，從而得到如下的一般化命題.

命題1：在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓O：x2+y2=a2，直線(xiàn)l：x=m（m≠a）．設(shè)圓O與x軸相交于點(diǎn)A、B（如圖）．點(diǎn)P為圓O上任一點(diǎn)（異于點(diǎn)A、B），直線(xiàn)AP與l相交于點(diǎn)C．如記直線(xiàn)BP、BC的斜率分別為kBP、kBC，則有

求解定值問(wèn)題的途徑之一是努力創(chuàng)造或構(gòu)造有關(guān)倒數(shù)型條件將參變量約掉，或者是努力創(chuàng)造或構(gòu)造有關(guān)相反數(shù)型條件將參變量抵消掉．也就是說(shuō)，在定值問(wèn)題中，一般可以努力創(chuàng)設(shè)與參變量無(wú)關(guān)的情景，運(yùn)用無(wú)關(guān)思想，以實(shí)現(xiàn)求解定值問(wèn)題的目的．

五、問(wèn)題的更進(jìn)一步的思考

kBP和kBC之間之所以有倒數(shù)型的關(guān)系，是因?yàn)榫€(xiàn)段AB是圓O的直徑，而直徑所對(duì)的圓周角為直角，從而進(jìn)一步地才有了kBP·kBC為定值．弄清了這層關(guān)系以后，聯(lián)想到橢圓和雙曲線(xiàn)中的相關(guān)定值，則易得橢圓和雙曲線(xiàn)中類(lèi)似的定值問(wèn)題．

六、一點(diǎn)感想

數(shù)學(xué)探究無(wú)處不在，關(guān)鍵在于師生有無(wú)探究的意識(shí)，是否養(yǎng)成了探究的習(xí)慣．探究不必那么“高，大，上”，只要有心，無(wú)疑處生疑，凡事都問(wèn)一個(gè)為什么，處處有探究．比如，上面的方程（**）是如何解的？是用求根法還是因式分解法？

用求根法還是用因式分解法不僅有繁簡(jiǎn)的差別，更有思維的差異．

數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)之一就是培養(yǎng)學(xué)生的思維能力．思維能力如何培養(yǎng)？在具體的課堂教學(xué)中，在解決具體問(wèn)題的步驟中，在對(duì)具體問(wèn)題的追問(wèn)中．

如用求根法，較繁，只要有一定的運(yùn)算能力即可．如用因式分解法，較簡(jiǎn)，不是僅僅只有一定的運(yùn)算能力就行的．要得到因式分解法，需具備一定的觀察能力、數(shù)形結(jié)合的能力等．

直線(xiàn)AP與圓O相交于點(diǎn)A，表明方程（**）有解x1=－2，從而由韋達(dá)定理易知方程（**）有另一也就是說(shuō)，直線(xiàn)AP與圓O相交于點(diǎn)A，容易得到方程（**）的因式分解的解法．

再比如說(shuō)，解方程組（*）時(shí)，為什么是消去y，而不是消去x？

從理論上來(lái)講，消去y還是消去x是對(duì)等的，但由于思維定勢(shì)的影響，一般地，總是習(xí)慣性地消去y．對(duì)于本題，如消去x，可能更好一些．

事實(shí)上，消去x，得：

（36+h2）y2－24hy=0（***）.

這個(gè)關(guān)于y的一元二次方程（***）比關(guān)于x的一元二次方程（**）就要易解得多了．

又比如，kBP的表達(dá)來(lái)比較龐大，比較嚇人，為什么一化變得那么簡(jiǎn)單了呢？這其中有沒(méi)有什么規(guī)律？

只要我們的數(shù)學(xué)教學(xué)能在無(wú)疑處生疑，有疑釋疑，不存一疑，學(xué)生的探究能力、思維能力定會(huì)潛移默化地、潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲地得到提升．

1．吳新建．讓探究成為數(shù)學(xué)課堂的“常態(tài)”［J］．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2015（2）．

2．劉美良．探究激活思維智慧演繹精彩——由一道高考解析幾何試題引發(fā)的探究［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2014（10）．

3．崔緒春．對(duì)一節(jié)發(fā)現(xiàn)教學(xué)法課例的思考與再認(rèn)識(shí)［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2014（12）．A