☉上海市七寶中學 文衛(wèi)星

如何提高數(shù)學課堂教學的品味*

☉上海市七寶中學 文衛(wèi)星

何為高品味的數(shù)學課堂教學？簡言之，就是既有知識發(fā)生、發(fā)展過程，又有能力訓練，同時有機融入數(shù)學思想（哲學思想）和文化的數(shù)學課堂教學.思想和文化在課堂上的體現(xiàn)就是在知識教學、能力培養(yǎng)的基礎(chǔ)上，用一兩句有文化含量的話語從哲學（理性）層面揭示所學內(nèi)容的本質(zhì)，使數(shù)學教學無痕地融入育人，把教書育人落到實處.

一、數(shù)學育人：發(fā)展思維能力，培養(yǎng)理性精神

數(shù)學的育人價值在于以數(shù)學知識為載體來發(fā)展學生的思維能力，在數(shù)學教學過程中培養(yǎng)理性精神.數(shù)學思維（邏輯思維、抽象思維、形象思維）能力就是要把具體的數(shù)學知識轉(zhuǎn)化成智慧，理性（工具理性、價值理性）精神就是在教學過程中養(yǎng)成對真、善、美的追求.

思維能力和工具理性是顯性的，是“物質(zhì)層面”，是課堂教學的“正面戰(zhàn)場”，是著墨最多的地方；價值理性是隱性的，是“精神層面”，在課堂教學中是“順帶發(fā)揮”，但卻是最具育人價值的地方.“真、美”是數(shù)學老師在課堂上津津樂道的，對“善”則見仁見智，甚至避而不談.北京大學王以遒先生對“善”的解釋是：實現(xiàn)“善”，最根本的是要體現(xiàn)“正義”.這是最基本的社會價值信仰的追求.它實際上就是對人與他人、社會和自然相處中權(quán)利與義務的對稱性要求的體現(xiàn).包含兩重意思：（1）人生而有權(quán)享用大自然所賜予的各種資源，同時有義務來珍惜和愛護自然；（2）人生而有權(quán)享用他人（父母、社會、國家等）所提供的服務，但也有義務服務他人，包括孝順父母、服務社會、效忠國家等.權(quán)利和義務、給予和回饋都是互相對等、高度對稱的.這體現(xiàn)互愛、互助、互惠，涵蓋公平、平等、公正、正直等，體現(xiàn)中國傳統(tǒng)儒家觀念和行為準則.這種對等、對稱的關(guān)系是數(shù)學美、自然美向社會的延伸［1］.

目前的數(shù)學教學異化為解題，以致學生負擔過重還沒有掌握數(shù)學的精髓——數(shù)學思想，沒有養(yǎng)成理性精神.解題教學沒有讓學生體會到學習數(shù)學過程中克服困難的樂趣，沒有感悟到數(shù)學思想方法中閃爍的智慧，沒有欣賞到數(shù)學的形式與內(nèi)在的美.這樣的數(shù)學教學不妨稱為“沒有靈魂的壯漢”.課堂教學套用美術(shù)界的俗語是“工筆尚好，寫意不足”.學生對這樣的數(shù)學課是既愛又恨，因為分數(shù)，“愛”解題，愛得無奈；因為沒魂，恨解題，恨之入骨.

當然，沒有扎實的知識教學與能力訓練，空談數(shù)學思想更不行，那是“沒有軀體的幽靈”.處理好兩者之間的關(guān)系才能提高課堂教學的品味，這就要在落實“雙基”的基礎(chǔ)上（知識適度）再把握好兩個度：思想高度、文化厚度（筆者簡稱為“三度”）.

二、思想高度：闡明數(shù)學思想，彰顯教學智慧

思想高度不能望文生義，以為是高不可攀.其實思想高度是落實在課堂教學的各個環(huán)節(jié)，尤其是數(shù)學思想很多是顯性的，無需多解釋學生就能明白，當然，有時需要老師明確點出.

數(shù)學教學的形式是教定義、定理、公式和解題，要讓學生理解定義，掌握定理、公式的來龍去脈，確實需要做一定量的題目.但對較靈活問題的考查，僅憑大量訓練是不夠的，需要在數(shù)學思想的指導下靈活運用所學知識實現(xiàn)有意義解題.而重視知識的發(fā)生、發(fā)展過程有助于學生掌握相應數(shù)學方法、形成數(shù)學思想，從而也有利于解題教學，這是一種可持續(xù)的智慧教學.

1.揭示知識生發(fā)展，掌握方法成思想

“生發(fā)展”有兩層含義：一是指學生的發(fā)展，二是指知識的發(fā)生、發(fā)展過程.重視知識的發(fā)生、發(fā)展過程能為后續(xù)學習打下堅實的基礎(chǔ)，在短期內(nèi)不一定有明顯效果，但有時卻能收到“出其不意”之效.

例1（2014·上海）如圖，四個棱長為1的正方體排成一個正四棱柱，AB是一條側(cè)棱，Pi（i=1、2、…、8）是上底面上其余的八個點，則數(shù)為（）.

知識的發(fā)生、發(fā)展過程是形成思想的重要環(huán)節(jié).揭示知識的背景和事物的發(fā)展規(guī)律，學生能感悟到以數(shù)學知識為基礎(chǔ)能形成數(shù)學思想，其形成過程就是數(shù)學方法.

2.解題瞻前又顧后，等價轉(zhuǎn)化有講究

“瞻前又顧后”是指解題前對尋找解題方法的分析，即向?qū)W生講清楚“是怎樣想到的”，以及解題后的歸納總結(jié)，可以是解題方法的總結(jié)，可以是一類問題的推廣，也可以是有感而發(fā)的即席議論、點評等.

例2已知函數(shù)f（x）=|lgx|，a、b＞0，f（a）=f（b），則

從已知出發(fā)“山窮水盡”時要“迷途知返”，再從結(jié)論出發(fā)看如何利用已知條件得到中間結(jié)論，架設(shè)溝通兩者的橋梁，讓“天塹變通途”，進而“柳暗花明”.解題前的分析和解題后的總結(jié)是形成數(shù)學思想的有效手段.

3.教學更上一層樓，哲學指導不能丟

“沒有數(shù)學，我們無法看穿哲學的深度；沒有哲學，人們也無法看穿數(shù)學的深度；而若沒有這兩者，人們就什么也看不透.”（德莫林思）筆者的理解是：數(shù)學與哲學都強調(diào)邏輯與思辨，自古淵源深厚，同出一門.數(shù)學的內(nèi)容具體、豐富，可以為哲學提供有力的論據(jù)；而哲學規(guī)律揭示了事物的本質(zhì)，可以為數(shù)學提供方法論的指導，使我們看問題的眼界更開闊，從更高的觀點分析和解決問題，加深對數(shù)學本質(zhì)的理解和認識，加快對數(shù)學的基本思想和方法的掌握.

（1）一般與特殊的關(guān)系.

一般情形成立，特殊情況一定成立，反之不然，但有時可以從特殊情況分析一般結(jié)論，再給出證明.解答客觀題時特殊值法是常用方法之一，而某些較難的解答題也可以通過特殊值法投石問路.

例3數(shù)列｛an｝滿足an+1+（-1）nan=2n-1，且a1=2，Sn是｛an｝的前n項和.

（1）求a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8；

（2）求an；

（3）求Sn.

分析：（1）為（2）做鋪墊，由此可歸納出：a4k-3=2，a4k-2= 8k-5，a4k-1=0，a4k=8k-3，再用數(shù)學歸納法證明，然后分段表達（這里略），求出an之后再求Sn就很方便了.

這就是華羅庚先生所說的“退到最原始而不失重要的地方”.本質(zhì)上是“一般性寓于特殊性之中”這一哲學原理在數(shù)學教學中的運用.

（2）展示數(shù)學的統(tǒng)一美.

數(shù)學美是吸引學生的一個重要方面，教學中應該注意指導學生欣賞和發(fā)現(xiàn)數(shù)學美，比如利用向量中的不等式m·n≤|m|·|n|和|m±n|≤|m|+|n|可以方便地解涉及函數(shù)、不等式、幾何等的最值問題.這些問題看似與向量無關(guān)，不用向量方法每個問題的解都有一定難度，而用向量法則相對比較容易，讓學生感到“數(shù)學真是不可思議”，體會到數(shù)學的奇異美.一個公式把零散的數(shù)學知識用邏輯的鏈條串聯(lián)起來，形成完整的知識體系，就像一串美麗的珍珠，令人賞心悅目，體現(xiàn)了數(shù)學世界的和諧統(tǒng)一.

（3）防止以偏概全.

解題教學通常是在一定的思想方法指導下，在分析時要講清“來龍”，總結(jié)時要指出“去脈”，在總結(jié)規(guī)律時，同時要對這種方法的局限性做出點評，以防學生不分青紅皂白套題型.

比如在運用公式|m±n|≤|m|+|n|解題時，要特別強調(diào)等號成立的條件，這在解題設(shè)向量時就要考慮到，否則就有可能犯錯誤.

哲學思想對數(shù)學教學的指導是多方面的，相信同行們在教學實踐中有很多體會.

三、文化厚度：深刻理解數(shù)學，營造文化氛圍

數(shù)學文化是緊密聯(lián)系所學內(nèi)容，調(diào)動學生學習興趣，幫助學生理解、記憶所學知識，有利于能力形成的生動活潑的教學形式，是提高學生的思想境界和文化修養(yǎng)的一條有效途徑.

文化厚度是說數(shù)學課應該有一定的文化含量.數(shù)學知識是文化知識的一部分，數(shù)學文化并不神秘，幽默與風趣的語言、一個智慧的比喻、一個典故、和諧的師生關(guān)系都散發(fā)著數(shù)學文化的芳香.數(shù)學文化是把數(shù)學知識轉(zhuǎn)化為智慧的催化劑.

1.透徹理解教材，展示數(shù)學文化

中學數(shù)學中有些定義、公理源于生活，運用學生生活中隨時能見的例子開展教學，學生會覺得數(shù)學“很有意思”，既能調(diào)動學生的學習積極性，又能加深對所學知識的理解.

比如“不在同一條直線上的三點確定一個平面”教學中，一手扶著門的一邊并慢慢移動，同時問學生：門的另一邊上有2或3個鉸鏈為什么不能把門固定，而把門鎖上（故意發(fā)出撞擊聲）即可固定？學生發(fā)現(xiàn)鉸鏈是在一條直線上，而鎖不在鉸鏈所在的直線上，因此可以認為不在一條直線上的三點確定一個平面，也可以認為一條直線和這條直線外的一點確定一個平面.

立體幾何中的好多定理可以通過教室和長方體模型來發(fā)現(xiàn).想達到這一點，首先教師對教材要有深刻的理解，才能在教學中把握得當，讓學生由感性到理性經(jīng)歷定理的發(fā)現(xiàn)過程，再用符號表達并給予證明.

2.升華思想方法，課堂寓教于樂

在數(shù)學思想上作適當引申.比如，數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)是借助圖形來研究數(shù)量關(guān)系或者利用數(shù)量關(guān)系來研究圖形的性質(zhì)，是一種重要的數(shù)學思想方法.它可以使抽象問題具體化，復雜問題簡單化.可引申為從兩個不同角度看待同一問題，相互之間優(yōu)勢互補，也可以認為是一種多元文化.

（1）轉(zhuǎn)化與化歸——沒有條件創(chuàng)造條件.

轉(zhuǎn)化的思想是將直接求解不易解決的問題轉(zhuǎn)化為與之等價的問題來解答，這是“發(fā)揮主觀能動性，沒有條件創(chuàng)造條件”這樣一句哲學話語的最佳使用時機，要求學生不輕易說不會，而要說試試.解題前講這些話能激發(fā)學生的斗志，面對困難問題躍躍欲試，在解題之后講能勉勵學生，啟迪智慧，使其發(fā)奮有為，勇往直前.

（2）函數(shù)與方程——各具優(yōu)勢和諧統(tǒng)一.

方程的根就是函數(shù)的零點，根據(jù)需要，有時從數(shù)的角度考慮，選擇用方程，有時從形的角度考慮，選擇用函數(shù)，在不同的角度下相互轉(zhuǎn)化，和諧統(tǒng)一.總結(jié)為：“函數(shù)方程是兄弟，此隱彼顯兩相依，根據(jù)需要選主元，難題也會變?nèi)菀住保苁軐W生歡迎.

（3）分類討論——從量變到質(zhì)變.

對于分類討論，學生普遍感到困難，難就難在分類標準不好確定，其實，當變量在某一范圍內(nèi)時，整體保持相應的性質(zhì)不會發(fā)生質(zhì)的變化，而越過這個范圍就會發(fā)生質(zhì)的變化，以分段函數(shù)為例，就是在各個區(qū)間內(nèi)對應相應的解析式.總結(jié)為：“分類標準怎么定，量變放行質(zhì)變停，把握節(jié)點規(guī)范寫，攻堅克難你能行”，既指明分類討論的一般方法，又能激勵學生.［2］

（4）幽默風趣——智慧的總結(jié).

幽默與風趣是智慧的象征，數(shù)學教師應不乏這種智慧．

選擇參數(shù)時，常稱為“無中生有”；把求軌跡的范圍稱為“打假”，而把范圍沒求對稱為“假打”；針對學生不習慣動手演算的情況，提出“該出手時就出手”；“一國兩制”是分段函數(shù)思想在治國方面的具體應用，這些風趣的語言能收到良好的教學效果．

形體語言有它獨特的作用．如在比較底數(shù)大于1（或大于0小于1）的指數(shù)函數(shù)的圖像關(guān)系時，筆者緊貼講臺，以講臺邊線為x軸，自身為y軸，兩臂水平放置為直線y＝1，當a越大（或越?。r圖像越靠近y軸，只要把兩臂演示成指數(shù)曲線向身體靠近．

凡此種種，對教師來說也就是一句話，學生卻有可能對某個問題有更深入的理解，視野就可能更寬一點兒，眼界就可能更高一點兒，也能使課堂有更多的樂趣.

3.感悟數(shù)學精髓，引領(lǐng)學生審美

“世界本不缺少美，缺少的是發(fā)現(xiàn)美的眼睛”，數(shù)學教學何嘗不是這樣！

（1）苦中求樂，樂在其中.

苦和樂，不同人會有不同的理解，同一件事，喜歡的人再苦也不覺得苦，而不喜歡的人可能覺得很苦.學習數(shù)學并不能讓所有學生喜歡，但可以引導學生苦中求樂，樂在其中.

在一次教學中，有一題經(jīng)過討論學生理清思路后認為會做，為了減少“會而不對”現(xiàn)象，教師要求學生在課堂上做，一位學生說：“老師，會做就不用再算下去了吧.”因為運算相對枯燥，為了活躍氣氛，教師說：“你們做題，我給你們講‘故事’：我小時候看電影大都是戰(zhàn)爭片，只要聽到?jīng)_鋒號一響，畫面上就是八路軍、解放軍奮勇向前，一會兒，電影結(jié)束，我們勝利.”然后評論道：“當年沖鋒陷陣是民族英雄，今天快速準確解出數(shù)學題將是未來國之棟梁.”逗得學生一樂，氣氛活躍，精神倍增.也有學生說很有哲理.

學好數(shù)學無疑要吃苦，但要讓學生認識到這是對意志、耐心、韌性等精神品質(zhì)的磨礪.

（2）面對困難，堅韌不拔.

學生在學習、生活中難免會有磕磕碰碰，教育學生正確對待挫折是教師義不容辭的責任.

在“極限”第一課時的小結(jié)中，把極限過程中的“逼近”思想概括為“極限精神”：“明知不可企及，你卻鍥而不舍，歷經(jīng)各種磨難，終近理想彼岸.你的堅韌精神，世人代代相傳，每逢攻堅關(guān)頭，高呼挑戰(zhàn)極限！”

這種根據(jù)教學內(nèi)容提煉的含有一些哲理的話語，使學生在掌握知識、獲取能力的基礎(chǔ)上，提高思想境界和文化修養(yǎng).

（3）詩意課堂，引領(lǐng)審美.

理性的數(shù)學教學引導學生對真理的追求，詩意的數(shù)學教學引發(fā)學生對美的渴望，并在學習過程中得以展示.薛嬌寫道：也許，極限就是一條路，一條有盡頭卻走不到盡頭的路.

它是最最珍貴的對美的感悟，感悟難以達到盡頭，極限亦是如此.

這是一種何其華美的意境！原來美到極致竟是極限.望著這深邃的恒久之美，筆者久久沉默.數(shù)學的美總是那樣的精準與和諧，完美而沒有斧鑿之痕.

這或許就是“桃李不言，下自成蹊”吧！愿數(shù)學課中多些詩歌、多些笑聲、多些歡樂，但更要多些對數(shù)學本質(zhì)的理解……

4.注重數(shù)學育人，提高教學品味

數(shù)學課的育人要有數(shù)學特色，融入正確的價值觀、人生觀、世界觀于教學之中，讓學生在愉悅的環(huán)境中無痕地接受教育.比如，在概率習題課中有下面一例.

在一次廟會上，有一項摸獎活動，規(guī)則如下：布袋內(nèi)放20個乒乓球，其中10分球10個，5分球10個，顧客免費摸獎，從袋內(nèi)摸出10個球，按其累計分值給獎．

攤主設(shè)置10個檔次的獎勵，價值從2800元到1元，只是摸75分者，按出廠價購買一瓶洗發(fā)露30元（每瓶成本10元）．

計算各等獎獲獎概率，如果每天有100人摸獎，請估計攤主的盈虧情況.

運用概率知識計算出攤主需付獎金約為156元，收入687.4元，凈賺：687.4-156=531.4（元）.

此例教育學生面對社會上的一些現(xiàn)象，要用數(shù)學方法加以辨析.于是，總結(jié)道：

花言巧語不可聽/看似餡餅實陷阱/辨別真?zhèn)慰繑?shù)學/于己為民你能行.

作業(yè)是讓學生計算“雙色球”彩票的獲獎概率僅為6.7%，講評時問學生：昨天的摸獎與買彩票的性質(zhì)是一樣的，雙色球的獲獎機會比抽獎的機會還要小的多，卻有那么多人買，為什么？

同學們認為買彩票很大程度上是一種奉獻，于是總結(jié)道：

買彩其實是奉獻/大獎誘惑存一念/中獎與否都有樂/心閑氣定不為錢.［3］

這種密切聯(lián)系實際，讓學生在愉悅之中接受教育的方式是值得稱道的.

5.修煉教學功力，平時多讀“閑書”

《新民晚報》2014年10月11日以“文化太差畫不出好畫”為題評全國美展國畫作品，評論家有句話是“現(xiàn)在的畫家畫不出好畫，是因為文化水平太差，這是一個整體的缺陷.”無獨有偶，畫家范曾2014年11月3日在《人民日報》撰文指出“學養(yǎng)不足是今天藝術(shù)家的普遍頑疣”.

這說明“功夫在畫外”.同樣要教好數(shù)學，只懂數(shù)學是不夠的，課堂中教學例題的選取、方法的運用以及由此引發(fā)的帶有育人意義的點評，甚至于教學風格的形成，都是由教師的專業(yè)功底、教學思想和文化修養(yǎng)決定的，這就要求數(shù)學教師要多讀書，尤其是文史哲方面的書，擴大知識面，在課堂上才能信手拈來，游刃有余.

現(xiàn)在不少展示課從數(shù)學角度看可稱為好課，若能再融入一定的思想和文化元素則更有品味.至此，筆者憧憬的中學數(shù)學教學愿景是：

講思維，求理性，數(shù)學育人不能忘；傳思想，授文化，寓教于樂美名揚！

1．王義遒.從130和50年前的兩場爭論說到數(shù)學文化［J］.數(shù)學教育學報，2014，23（6）.

2．文衛(wèi)星.挑戰(zhàn)高考數(shù)學壓軸題（第5版）［M］.上海：華東師范大學出版社，2014.

3．文衛(wèi)星.寓教于樂：走向課堂教學的“三度”［J］.教育研究與評論，2014（5）.A

*本文根據(jù)2014年11月3日在江蘇省天一中學舉辦的第十一次全國“聚焦課堂·生長課堂”教學活動中的同名講座修改而成，也是上海市教委重點項目《高中數(shù)學教學中的“微型育人”研究》的階段性成果.