☉江蘇省淮安市淮海中學(xué) 王開林

將探究活動(dòng)進(jìn)行到底
——以一道試題的探究教學(xué)為例

☉江蘇省淮安市淮海中學(xué) 王開林

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課要提高課堂教學(xué)效率，教師必須精選典型例題，引導(dǎo)學(xué)生積極思考，合作探究，主動(dòng)建構(gòu)，掌握解題規(guī)律，提升分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)素養(yǎng).為此，筆者也作了積極地探索，下面是筆者在課堂上以一道試題為引例，引導(dǎo)學(xué)生分析探究，總結(jié)規(guī)律，變式拓展，激活了學(xué)生的思維，點(diǎn)燃了學(xué)生智慧的火花，可謂精彩紛呈.

一、試題呈現(xiàn)

題目（金陵中學(xué)2015屆高三上學(xué)期期中考試）如圖1，已知橢圓別為A、B.

圖1

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（3）在（2）的條件下，設(shè)以線段MP為直徑的圓與直線BP交于點(diǎn)Q，試問(wèn)：直線MQ是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

二、解法探究，尋找解題規(guī)律

解法1：設(shè)P（x0，y0），則直線AP：y=

所以直線MQ恒過(guò)點(diǎn)（0，0）.

評(píng)析：此解法中，以P點(diǎn)的坐標(biāo)（x0，y0）為參變量求出點(diǎn)M的坐標(biāo)和直線MQ的斜率，即可寫出直線MQ的方程，化簡(jiǎn)得解，運(yùn)算量較大.

解法2：連接BP，kOM=tan∠BOM=2tan∠BAM=2kAM.

評(píng)析：此解法中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合得出kOM=2kAM，再結(jié)合橢圓的一個(gè)重要性質(zhì)較好地減少了計(jì)算量，簡(jiǎn)便快捷多了.學(xué)生在做解析幾何題時(shí)，常會(huì)出現(xiàn)“有思路，沒(méi)結(jié)果”的現(xiàn)象，究其原因，主要是因?yàn)榉椒ㄟx擇不好、運(yùn)算能力不夠所導(dǎo)致的.解法2中運(yùn)用了橢圓的一個(gè)重要性質(zhì)：若A、B分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，P是橢圓上異于A、B的任一點(diǎn)，則.此結(jié)論還可進(jìn)一步推廣：

2兩點(diǎn)，P是橢圓上異于A、B的任一點(diǎn)，則

在解填空題時(shí)，運(yùn)用此結(jié)論可以快速求解，達(dá)到小題快做的目的，解決解答題時(shí)，作為中間結(jié)論，用來(lái)突破難點(diǎn)，非常有效.

三、變式探究，激活數(shù)學(xué)思維

圖2

小結(jié)：由探究2、3不難發(fā)現(xiàn)：若點(diǎn)D為x軸上與C點(diǎn)不重合的任一點(diǎn)，則易得kMD=tkPA（t∈R），進(jìn)而可證明kDM· kPN為定值.

探究4：延長(zhǎng)MB交橢圓于點(diǎn)Q，

連接AN，則AN是否經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q？

圖3

所以kAQ=kAN，則AN經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q.

探究5：直線l的方程為x=m，是否存在實(shí)數(shù)m，使得以線段MP為直徑的圓經(jīng)過(guò)B點(diǎn)？若存在，請(qǐng)求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析：假設(shè)存在，由題意知只需kBM·kBP=-1，而kAP·因此只需kBM=2kAM即可，則|CA|=2|CB|，則

探究6：記M、N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為yM、yN，試問(wèn)：yM· yN是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

探究10：以MN為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)？（以MN為直徑的圓在x上截得的弦長(zhǎng)是否為定值？）若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

探究11：設(shè)以線段MP為直徑的圓與直線BP交于點(diǎn)D，試問(wèn)：直線MD是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

評(píng)析：以直線AM的斜率k為參數(shù)，運(yùn)用直線AM與直線BP以及直線MQ的斜率的關(guān)系解題，大大減少了計(jì)算量，簡(jiǎn)便快捷，妙不可言.

探究12：連接PQ，直線PQ是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

四、練類似題，提升應(yīng)用能力

學(xué)生在經(jīng)歷一節(jié)課的探究之后，應(yīng)該是收獲很大，為了檢驗(yàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，要求學(xué)生課后去尋找類似的題來(lái)鞏固提升、體會(huì)相關(guān)的解題思路、方法與策略.

圖4

類似題（泰州市2015屆高三第一次模擬考試第18題）如圖4，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，離心率為的左頂點(diǎn)為A，過(guò)原點(diǎn)O的直線（與坐標(biāo)軸不重合）與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)，直線PA、QA分別與y軸交于M、N兩點(diǎn).當(dāng)直線PQ的斜率

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）試問(wèn)：以MN為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（與直線PQ的斜率無(wú)關(guān)）？請(qǐng)證明你的結(jié)論.

五、教學(xué)感悟

1.探究教學(xué)應(yīng)凸顯學(xué)生的主動(dòng)建構(gòu)

教育家弗賴登塔爾認(rèn)為，“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是一個(gè)被動(dòng)的吸收過(guò)程，而是一個(gè)以學(xué)生原有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的主動(dòng)建構(gòu)過(guò)程”.探究教學(xué)應(yīng)突出學(xué)生的主體參與，讓學(xué)生經(jīng)歷、實(shí)踐、體驗(yàn)、參與、探究知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，從而激活思維，挖掘?qū)W生的潛能，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題.教師在課堂上起到“穿針引線”的作用，適時(shí)地啟發(fā)、引導(dǎo)、點(diǎn)撥，但絕不能代替學(xué)生的思考，要充分暴露學(xué)生的思維過(guò)程，關(guān)注學(xué)生思維障礙的突破，及時(shí)糾錯(cuò)補(bǔ)錯(cuò).學(xué)生只有親歷探究過(guò)程，才能獲得切身的體會(huì)和感悟，才能將知識(shí)、方法內(nèi)化到他已有的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中，提升自己的能力.

2.變式拓展是提升解題能力的有效途徑

學(xué)生為什么會(huì)陷進(jìn)題海，做了一大堆的題目，成績(jī)卻進(jìn)步不大？主要是老師對(duì)考點(diǎn)、考情、考題研究不夠到位，以致于學(xué)生盲目地做題，做一些孤立的題目，高耗低效.著名數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說(shuō)過(guò)：“好問(wèn)題同某種蘑菇有些相像，它們大都是成堆地生長(zhǎng)，找到一個(gè)以后，你應(yīng)當(dāng)在周圍找一找，很可能在附近就有好幾個(gè)”.我們?cè)诟呷龔?fù)習(xí)課中，要學(xué)會(huì)借用波利亞的找“蘑菇”方法來(lái)探究知識(shí)與思維的“生長(zhǎng)點(diǎn).教師應(yīng)該在精選例題的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行變式訓(xùn)練，拓展探究，舉一反三，觸類旁通.運(yùn)用變式對(duì)例題進(jìn)行改編，可以改變題目的呈現(xiàn)方式、已知條件或位置關(guān)系，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行更深層次的探索，關(guān)注結(jié)論與方法的普適性.靈活地運(yùn)用變式教學(xué)，對(duì)各種題目進(jìn)行歸類，總結(jié)出具體的解題方法，探索解題的共性，做到深入淺出，以點(diǎn)帶面，以少勝多，能較好地培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，防止學(xué)生思維的僵化，提高學(xué)生的解題能力及應(yīng)變能力，而且能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高學(xué)習(xí)的積極性.

3.及時(shí)反思是高效課堂的生長(zhǎng)點(diǎn)

荷蘭著名數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾曾指出：“反思是數(shù)學(xué)化過(guò)程中一種重要的活動(dòng)，它是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心和動(dòng)力”“只有這樣的數(shù)學(xué)教育——以反思為核心，才能使學(xué)生真正深入到數(shù)學(xué)化過(guò)程之中，也才能抓住數(shù)學(xué)思維的內(nèi)在本質(zhì)”.著名數(shù)學(xué)教育家波利亞也說(shuō)：“如果沒(méi)有了反思，他們就錯(cuò)過(guò)了解題的一次重要而有效益的方面”.可見，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，適時(shí)的教學(xué)反思對(duì)于提高教學(xué)效果是非常重要的.教學(xué)中教師還應(yīng)該積極創(chuàng)造反思條件，強(qiáng)化學(xué)生的反思意識(shí).每一次解題以后，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真地反思自己是如何發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的，運(yùn)用了哪些基本的解題方法和技巧，如何尋求到解決問(wèn)題的思路，走過(guò)哪些彎路，從中獲得哪些經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，也可從錯(cuò)誤的原因反思自己是公式出錯(cuò)，運(yùn)算出錯(cuò)，分類討論出錯(cuò)，還是對(duì)討論結(jié)果的整合出錯(cuò)，是否有更好的方法，以前是否解決過(guò)類似的問(wèn)題，它們有什么區(qū)別和聯(lián)系，問(wèn)題的條件是否可以改變，還能得到什么結(jié)論等.學(xué)生逐步養(yǎng)成對(duì)自己的解題過(guò)程、思維過(guò)程進(jìn)行反思的習(xí)慣，解題能力和學(xué)習(xí)效率明顯提高，真正達(dá)到了事半功倍的效果.A