☉江蘇省白蒲高級中學(xué) 宗新中

新舊聯(lián)系促思維，小組合作放光彩
——一節(jié)“正弦定理”課的啟示

☉江蘇省白蒲高級中學(xué) 宗新中

正弦定理是蘇教版數(shù)學(xué)（必修5）第一章“解三角形”的第一課內(nèi)容，其聯(lián)系起代數(shù)和幾何，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中具有較高地位.本課是章節(jié)的起始課，是在學(xué)生具有初中解直角三角形和必修4向量知識的基礎(chǔ)上，對任意三角形邊角關(guān)系的進一步研究，定理的證明過程能為后面的余弦定理的學(xué)習埋下伏筆，具有承上啟下的作用.以下是筆者本節(jié)課的教學(xué)過程和一些想法，與大家一起交流.

一、教學(xué)過程簡錄

1.設(shè)置情境，提出猜想

師：我們知道，生活中很多問題都可以轉(zhuǎn)化為求三角形的邊或角的問題，那么，任意三角形中的邊角具有怎樣的關(guān)系呢？不妨先來看看我們熟悉的直角三角形中的邊角關(guān)系.

師：很好，很全.能將寫出的邊角關(guān)系歸歸類嗎？

生：可以分為三類，正弦關(guān)系、余弦關(guān)系、正切關(guān)系.

師：根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式及誘導(dǎo)公式，我們知道這三種關(guān)系可以相互轉(zhuǎn)化，切可以化弦，余弦可以化正弦.今天我們先來看看正弦的兩個式子，它們之間有沒有聯(lián)系？

（學(xué)生思考片刻）

師：漂亮.這種關(guān)系在直角三角形中成立，那么它在任意三角形中成立嗎？能從特殊到一般嗎？

（大家議論紛紛，不約而同猜想成立）

師：很大膽，非常好，但是歸納猜想的結(jié)論不一定是正確的，需要通過嚴格的論證才能確保它的準確性.它究竟成立與否，我們這節(jié)課就來研究這個問題.

分析：情境設(shè)置的本質(zhì)是為了提出問題，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習探究的欲望，其除了應(yīng)該具有實用性、有效性，還應(yīng)該具有連續(xù)性，也就是要著眼于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，拉近初、高中的距離.利用直角三角形中的邊角關(guān)系引入課題正是體現(xiàn)了這一點，從已知到未知符合認知規(guī)律，由特殊到一般體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想.

2.探究數(shù)學(xué)，建構(gòu)定理

（1）推陳出新，思維連續(xù)證明如魚得水.

師：我們要對這個猜想作出證明，最易想到的是什么？

生：轉(zhuǎn)化到直角三角形中去解決，也就是產(chǎn)生直角，因為直角三角形中這個結(jié)論是成立的.

師：很好，那么怎樣產(chǎn)生直角呢？

（思索片刻，很快就有學(xué)生站起來回答）

生：我們可以通過在三角形中作高來產(chǎn)生直角.

師：很好，請你到黑板上來展示一下.

師：證得好，充分利用了我們熟悉的直角三角形，從一般到特殊，從陌生到熟悉，順利得證.但是這樣就證好了嗎？

（好幾位學(xué)生同時站起來了，爭先恐后要發(fā)言）

生：剛才這位同學(xué)證得很好，但是不全面.他只是證明了在銳角三角形中結(jié)論成立.還有鈍角三角形沒有證明.

師：鈍角三角形有什么不一樣嗎？

生：有，鈍角三角形有兩條高在三角形外.

師：很好.這位同學(xué)考慮問題很全面，現(xiàn)在所有形式的三角形都進行了證明，說明你們的猜想是正確的.如此簡潔對稱的關(guān)系式能用文字語言描述一下嗎？

生：在一個三角形中，各邊的長和它所對角的正弦之比相等.

師：說得好，我們就把這個優(yōu)美的關(guān)系式稱為正弦定理.

分析：通過構(gòu)造直角三角形，把未知問題轉(zhuǎn)化為已知的問題，讓學(xué)生體會到了分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化、構(gòu)造等數(shù)學(xué)思想，提高了學(xué)生解決問題的能力.這種方法學(xué)生容易想到，也是課本上給出的證明方法，要求學(xué)生掌握.但是這節(jié)課的精彩正是基于證明的多樣性，讓學(xué)生嘗試從不同的角度去考慮問題，激發(fā)學(xué)生的思維，把學(xué)生的思維向更高層次推進.

（2）合作探究，思維推進火花激情四射.

師：剛才我們通過在三角形中作高的方法證明了定理，其核心思想是構(gòu)造直角，還有其他的方法證明定理嗎？請大家探討一下，然后把你們的成果在小黑板上展示出來.

（學(xué)生熱情高漲，分小組進行積極的討論.學(xué)生合作探討時，教師不能“無所作為”，要巡回查看，必要時要積極參與討論，發(fā)現(xiàn)好的做法，要及時鼓勵，發(fā)現(xiàn)好的思路而學(xué)生未能繼續(xù)時要及時點撥思路.

十分鐘以后，陸續(xù)有小組把思路或證明在小黑板上展示出來，并主動向大家闡述證明的思路）

組一代表：我們組發(fā)現(xiàn)可以用面積相等來證明.

組二代表：組一的證明是基于剛才證明基礎(chǔ)上的，沒有太多新意，我們組是利用初中的知識在圓中構(gòu)造直角三角形來進行證明，因為直徑所對的圓周角是直角.我們不但證明了定理并且得到正弦定理比值的幾何意義即三角形的外接圓的直徑.（該組只是展示證明思路，具體證明過程課后解決）組三代表：組二的想法確實比較好，但是我們的證明利用了剛學(xué)的向量這個有力的工具.

（大家明顯精神一振，顯然對他的說法非常感興趣）師：你是怎么想到用向量去進行證明的呢？

生：我們組觀察發(fā)現(xiàn)：正弦定理就是描述三角形中的長度和角度關(guān)系的，而在我們已學(xué)的知識中，向量恰好可以同時刻畫長度和角度，所以就嘗試利用向量去進行證明.

生：向量式轉(zhuǎn)化為數(shù)量式的方式一是平方，二是兩邊同時點乘一個向量作數(shù)量積，平方之后得到的不是正弦定理的表達式，所以嘗試兩邊同時點乘一個向量.這個向量與A→→C垂直，那么夾角就可以用A、C表示.

師：大家一起鼓掌，為精彩的證明喝彩.

分析：正弦定理的證明方法比較多，其主要思想方法就是構(gòu)造直角三角形.利用圓構(gòu)造直角三角形能得到正弦定理的比值的幾何意義，而利用向量的方法進行證明，既展示了數(shù)與形的完美結(jié)合，也體現(xiàn)了向量在高中數(shù)學(xué)解題中的重要作用，同時也為后面余弦定理的證明做了鋪墊.

3.簡單應(yīng)用，感悟定理

例1在△ABC中，已知A=30°，B=45°，a=6，解三角形.

解題過程略.

4.課堂小結(jié)，歸納提升

師：請同學(xué)們談一談本節(jié)課的收獲和感受.

生：通過本節(jié)課的學(xué)習，我們知道了任意三角形中都有一個優(yōu)美的正弦定理：

生：正弦定理的證明方法很多.

生：正弦定理的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)過程中蘊含了許多的數(shù)學(xué)思想方法，如從特殊到一般、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸等.

生：向量的作用很強大.

師：大家講得很好.本節(jié)課我們通過自主探究，證明了正弦定理，體會了其中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法，同時定理所展現(xiàn)出來的數(shù)學(xué)美也值得我們慢慢回味.

二、課后反思

1.數(shù)學(xué)課堂要體現(xiàn)數(shù)學(xué)的“活”

新課程標準提出數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動的教學(xué).把課堂還給學(xué)生，讓知識在活動中生成，讓學(xué)生在活動中成長.在數(shù)學(xué)課堂中，要充分發(fā)揮出學(xué)生的主觀能動性，要讓每個學(xué)生都積極地參與教學(xué)活動，讓學(xué)生心動起來，手動起來，嘴動起來，做課堂的主人.本節(jié)課中，教師大膽“放手”讓學(xué)生自己“搗鼓”出了好幾種證明方法.尤其是后面的幾種解法，充分體現(xiàn)了合作交流的威力，讓不同的思想不停地碰撞，“三個臭皮匠頂個諸葛亮”，讓學(xué)生在合作交流中體驗了成功的喜悅，增強了學(xué)習的興趣.

2.數(shù)學(xué)課堂要體現(xiàn)數(shù)學(xué)的“美”

教學(xué)大綱中明確指出“認識數(shù)學(xué)的科學(xué)意義、文化內(nèi)涵，理解和欣賞數(shù)學(xué)的美學(xué)價值”.這就要求我們在教授知識的同時，要注重滲透數(shù)學(xué)的美.本節(jié)課自始至終貫徹這一思想.課堂設(shè)計思路清晰，條理分明，不蔓不枝，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡約美.課題的引入，情境的設(shè)置，開門見山讓新、舊知識碰撞出火花，具有沖擊力，能激發(fā)學(xué)生的求知欲，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的連續(xù)美.同時，定理的猜想歸納體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的感性之美，定理的推導(dǎo)證明體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的理性之美，感性的歸納、理性的推導(dǎo)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴謹之美，此外還有教師語言的豐富美、數(shù)學(xué)公式的和諧美（正弦定理本身就體現(xiàn)了數(shù)學(xué)公式的簡約和諧之美），只有讓學(xué)生真正地感受到了數(shù)學(xué)的美，學(xué)生才會愛上數(shù)學(xué)，才會學(xué)好數(shù)學(xué).

3.數(shù)學(xué)課堂要讓學(xué)生做到心中有“數(shù)”

根據(jù)新課程標準要求，教學(xué)要以培養(yǎng)學(xué)生獲得終身學(xué)習能力和可持續(xù)發(fā)展的能力為終極目標.愛因斯坦也說過：“把學(xué)到的知識全部忘掉剩下的就是教育”.那么我們學(xué)生學(xué)完數(shù)學(xué)還剩下什么呢？就是要讓學(xué)生在今后的學(xué)習生活中能從數(shù)學(xué)的角度去看待問題、思考問題，能建立優(yōu)美的數(shù)學(xué)模型去解決問題.所以在我們平時的教學(xué)中，要著力于揭示數(shù)學(xué)結(jié)論的生成和發(fā)展過程，要帶領(lǐng)學(xué)生體會數(shù)學(xué)現(xiàn)象中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法，努力培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)的手段去解決生活中的問題，讓學(xué)生時刻做到心中有數(shù).本節(jié)課中，注重數(shù)學(xué)思想的滲透，從一般到特殊，歸納猜想驗證，分類討論，有強烈的數(shù)學(xué)味道.A

更正證明

本刊2015年4月上高中版92頁《把握知識關(guān)聯(lián)問題求解自然——函數(shù)視角下數(shù)列問題的合理解答》一文的作者“江蘇省丹陽市第五中學(xué)王圣光”應(yīng)為“陜西師范大學(xué)江蘇省丹陽市第五中學(xué)王圣光”，特此更正.