☉江蘇省白蒲高級(jí)中學(xué) 繆德軍

教學(xué)參謀

在汲取知識(shí)的過程中發(fā)展學(xué)生的智慧
——從“等差數(shù)列”的復(fù)習(xí)課設(shè)計(jì)談起

☉江蘇省白蒲高級(jí)中學(xué) 繆德軍

復(fù)習(xí)課是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一種常見課型.有人說，平時(shí)的教學(xué)是栽活一棵棵樹，復(fù)習(xí)課就是為它們灌溉，使它們更茁壯地成長(zhǎng)為一片林.因此，復(fù)習(xí)課在厘清有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法，使它們結(jié)成塊、組成網(wǎng)的基礎(chǔ)上，還要搞清相關(guān)知識(shí)發(fā)展的來龍去脈、思維的發(fā)生與發(fā)展，讓學(xué)生從具體操作基礎(chǔ)上的理性認(rèn)識(shí)過渡到宏觀指導(dǎo)下的整體認(rèn)知，進(jìn)而構(gòu)建研究一類相關(guān)對(duì)象的思路和方法，也即學(xué)生的一種認(rèn)知智慧.

實(shí)際復(fù)習(xí)課中，有的課堂收集大量習(xí)題，讓學(xué)生在題海里苦戰(zhàn)；有的“爆炒冷飯”，讓學(xué)生機(jī)械重復(fù)地訓(xùn)練；有的采用“練習(xí)→講評(píng)→再練習(xí)→再講評(píng)”的教學(xué)方式，把學(xué)生會(huì)做每一道復(fù)習(xí)題作為教學(xué)目標(biāo).這樣教師累得不行，學(xué)生苦不堪言，而收效甚微，最為關(guān)鍵的是，這樣的課堂給學(xué)生留下的更多的是做了很多題，而不能留下思考研究一類問題的策略和方法，也即思考解決問題的智慧.

筆者最近執(zhí)教南通市公開課“等差數(shù)列”，嘗試在復(fù)習(xí)設(shè)計(jì)上尋求突破，以求得讓學(xué)生在汲取知識(shí)的過程中更加發(fā)展學(xué)生的智慧，收到了良好的復(fù)習(xí)效果.

一、知識(shí)梳理，啟發(fā)思維

案例1：完成下列4題，并思考每道題所用到的有關(guān)知識(shí)和方法.

（1）在等差數(shù)列｛an｝中，前n項(xiàng)和為Sn，若a6=S3=12，則an=______.

（2）在等差數(shù)列｛an｝中，已知a1+a3+a5=18，an-4+an-2+an= 108，Sn=420，則n=______.

（3）在等差數(shù)列｛an｝中，前n項(xiàng)和為Sn，已知S4=2，S8=6，則S12=______.

（4）已知兩個(gè)等差數(shù)列｛an｝和｛bn｝的前n項(xiàng)和分別為

設(shè)計(jì)意圖：通過一組基本題的練習(xí)，幫助學(xué)生回顧等差數(shù)列的基本概念、公式與性質(zhì)，讓學(xué)生在知識(shí)運(yùn)用中再次理解有關(guān)公式、性質(zhì)和方法，從而在基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的理解中建構(gòu)自己的知識(shí)框架，進(jìn)而使知識(shí)系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，以加深對(duì)知識(shí)的理解及知識(shí)之間內(nèi)在聯(lián)系的把握，便于相關(guān)知識(shí)在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)能夠被靈活有效地調(diào)用.

教學(xué)過程：組織學(xué)生先獨(dú)立完成各小題；然后小組（每6人一組）合作學(xué)習(xí)，討論交流每道題所用到的知識(shí)及解決方法；一個(gè)小組代表在班級(jí)展示，其他組補(bǔ)充、完善；最后師生共同總結(jié)，形成基本認(rèn)知框架.

小組3補(bǔ)充：對(duì)于第3題，也可以利用結(jié)論“若｛an｝成等差數(shù)數(shù)列”轉(zhuǎn)化為新數(shù)列來解決.

小組4展示：對(duì)于第4題，利用性質(zhì)：若兩個(gè)等差數(shù)列｛an｝和｛bn｝的前n項(xiàng)和分別為An、Bn，

小組6解答：根據(jù)比例關(guān)系，設(shè)An=k（2n+1），Bn=k（n+ 3），再求得an、bn即可.

小組4質(zhì)疑：這樣求得的an=2k、bn=k不

（沉默，各小組不自覺地討論了起來）

小組7釋疑：回到等差數(shù)列的求和公式，應(yīng)該看到，An、Bn是關(guān)于n的二次式，設(shè)An=k（2n2+n），Bn=k（n2+3n），再利用an=Sn-Sn-1（n≥2）化和為項(xiàng)就可以了！

（鼓掌）

學(xué)生連續(xù)的、深刻的、有效的思維在此顯現(xiàn)無疑.最后，教師跟學(xué)生一起對(duì)剛才的過程進(jìn)行總結(jié)、歸納、梳理.在此，既梳理了知識(shí)，又體現(xiàn)了方法，更揭示了思維.

設(shè)計(jì)反思：傳統(tǒng)教學(xué)中，教師往往直接把一些概念、公式、結(jié)論、定理告訴學(xué)生，讓學(xué)生記住，然后進(jìn)行大量訓(xùn)練，學(xué)生通過大量訓(xùn)練會(huì)產(chǎn)生一種即時(shí)的效果，但隨著時(shí)間的推移，這種模式容易被固式，一旦遇上新的問題，學(xué)生也就束手無策了.

在這里，給學(xué)生幾個(gè)簡(jiǎn)單的問題，由學(xué)生獨(dú)立或合作完成，問題解決的過程中，學(xué)生自然、不自覺地進(jìn)行著有關(guān)基本知識(shí)與方法的回憶與梳理，再次強(qiáng)化理解了這些知識(shí)的來龍去脈和內(nèi)在蘊(yùn)含的結(jié)構(gòu)聯(lián)系，經(jīng)過這樣的梳理所形成的基本知識(shí)結(jié)構(gòu)就不單單是知識(shí)記憶層面的，更有思維理解層面的，它是一個(gè)立體的、鮮活的知識(shí)架構(gòu)，在今后的問題解決中，學(xué)生大腦中的有關(guān)信息更容易被具體情境快速激活.

二、典例剖析，凝練思維

案例2：設(shè)等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，已知S4≥10，S5≤15，求a4的最大值.

設(shè)計(jì)意圖：通過典型例題的研究與解決，尋求解決一類問題的方法與策略，凝練學(xué)生解決常見問題的常規(guī)思維，為進(jìn)一步研究相關(guān)問題打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

教學(xué)片斷：學(xué)生先獨(dú)立完成，然后小組（每6人一組）合作學(xué)習(xí)，討論交流不同解法；一個(gè)小組代表在班級(jí)展示，其他組補(bǔ)充、完善；最后師生共同總結(jié)、歸納.

解法1：利用線性規(guī)劃知識(shí).

在直角坐標(biāo)系a1Od中，作出不等式組所表示的可行域（如圖），當(dāng)斜率過點(diǎn)（1，1）時(shí)，a4取得最大值4．

師：講得很好，但有一點(diǎn)需要修正，二元函數(shù)的最值問題常用線性規(guī)劃知識(shí)或待定系數(shù)法來處理是不錯(cuò)，但更為重要的方法是利用基本不等式、消元法和數(shù)形結(jié)合，而利用線性規(guī)劃知識(shí)僅只是數(shù)形結(jié)合中的一類情況.哪一位同學(xué)來點(diǎn)評(píng)一下三種解法？

生1：解法1、2實(shí)際上是一樣的，都是用基本量a1、d來表示條件和結(jié)論，利用線性規(guī)劃知識(shí)或待定系數(shù)法來處理；第三種解法聯(lián)系性質(zhì)，比前兩種解法簡(jiǎn)潔.

師：點(diǎn)評(píng)準(zhǔn)確，仍舊是基本量法和性質(zhì)的運(yùn)用，轉(zhuǎn)化后就是一個(gè)二元函數(shù)的最值問題，后面的處理值得注意.從以上解法中可以看到數(shù)列的公差d的取值范圍嗎？

生2：d≤1，從解法1和解法3中容易看出.

設(shè)計(jì)反思：復(fù)習(xí)課是在學(xué)生已有相關(guān)知識(shí)基礎(chǔ)上的教學(xué).因此，在復(fù)習(xí)課上，應(yīng)留給學(xué)生更多的時(shí)間與空間，組織學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行相關(guān)問題的自主與合作學(xué)習(xí)，從而在自主學(xué)習(xí)與合作探究中主動(dòng)建構(gòu).

處理本題的方法很多，但不論是哪種方法都要讓學(xué)生明白解決一個(gè)等差數(shù)列問題，要考慮回到等差數(shù)列的定義，從等差數(shù)列最基本的量a1、d出發(fā)，再去聯(lián)系其他，這是學(xué)生最容易接受也是最容易做到的.因此，在復(fù)習(xí)課上，應(yīng)堅(jiān)持讓所有的問題都從基本概念、公式、性質(zhì)的理解和基本題的熟練掌握開始，讓目標(biāo)的達(dá)成由易到難，循序漸進(jìn).

三、設(shè)疑引問，創(chuàng)新思維

案例3：設(shè)等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，已知S4≥10，S5≤15，求ak（k≥4）的最大值.

設(shè)計(jì)意圖：對(duì)例題進(jìn)行深入的研究，以期從復(fù)習(xí)等差數(shù)列的定義擴(kuò)展到所有與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式相關(guān)的問題，甚至擴(kuò)展到等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)，加深學(xué)生對(duì)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式以及相關(guān)基本性質(zhì)的認(rèn)識(shí)和理解，以起到一種宏觀建構(gòu)的作用.

教學(xué)片斷：師：d≤1結(jié)合a4≤4，能看到什么？

生3：a5≤5.

生4：進(jìn)一步可以得到a6≤6，a7≤7，…，ak≤k（k≥4）.

（全體同學(xué)一片欣喜）

師：再聯(lián)系條件S5≤15，我們還能想到什么？

生5：可以看到S6=S5+a6≤21，S7≤28，…，進(jìn)一步可求得Sn的最大值.

（全體同學(xué)鼓掌）

到此，學(xué)生在解決問題的過程中，不斷認(rèn)識(shí)問題的本質(zhì)，并從本質(zhì)的理解與思考中提出了新的問題，激發(fā)了學(xué)生的思維活力.

師：對(duì)于新問題“設(shè)等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，已知S4≥10，S5≤15，求S6的最大值”，還需要回到求a4的最大值的思路上嗎？

生6的自語：把S4、S5、S6都用基本量a1、d表示出來，然后用線性規(guī)劃知識(shí)或待定系數(shù)法來求，但好像比較繁．

生7：我有一個(gè)簡(jiǎn)單的方法.設(shè)Sn=An2+Bn，把S4、S5、S6再用線性規(guī)劃知識(shí)或待定系數(shù)法求S6.

師：你為何想到這么做？

生7：這里條件和結(jié)論中只有Sn.

師：太好了！等差數(shù)列問題中，既有Sn又有an時(shí)，用a1與d統(tǒng)一關(guān)系較為合理；若僅涉及Sn時(shí)，設(shè)Sn=An2+Bn統(tǒng)一關(guān)系運(yùn)算較為簡(jiǎn)捷.

（留時(shí)片刻，讓學(xué)生體會(huì)并加以理解）

生8突然發(fā)言：老師，我還有一個(gè)方法.這個(gè)題還可以用剛才的性質(zhì)來解，“若Sn是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，則｛an｝的前n項(xiàng)和，S4≥10，S5≤15，求S6的最大值”就轉(zhuǎn)化為用｛bn｝的首項(xiàng)b1和公差d來表示，再用線性規(guī)劃知識(shí)或待定系數(shù)法可求得b6，再求S6.

生9：還可以更簡(jiǎn)單，令bn=dn+k，和剛才Sn時(shí)一樣，bn也可以簡(jiǎn)化！

師：太棒了！學(xué)生的思維被激活了！

牛刀小試：（2004年高考江蘇第20題變式）設(shè)無窮等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，求所有無窮等差數(shù)列｛an｝，使得對(duì)一切正整數(shù)k都有Sk2=成立．

設(shè)計(jì)反思：一個(gè)看似簡(jiǎn)單的問題，卻包含著如此豐富的內(nèi)容與思想，在問題的引導(dǎo)、學(xué)生的獨(dú)立思考與合作探究中進(jìn)行著深入的剖析、挖掘、生成、變式與拓展，不僅加深了學(xué)生對(duì)原有問題的理解，更重要的是在解法的探究、問題的變式拓展的過程中，學(xué)生通過類比或歸納的思想提出新問題、發(fā)現(xiàn)新結(jié)論繼而解決新問題的能力得到了真正的培養(yǎng).如此圍繞框架性主題的一題探究，可有效摒棄“題海戰(zhàn)術(shù)”，從而提高典例教學(xué)的有效性.

復(fù)習(xí)課要訓(xùn)練學(xué)生模式化的解題思維，讓學(xué)生熟練掌握解決常規(guī)問題的通性、通法，但思維不能固化.在此，復(fù)習(xí)要設(shè)計(jì)及時(shí)的設(shè)疑、追問，能讓學(xué)生的思維走向靈活、走向深入，進(jìn)而在深入思考中發(fā)現(xiàn)新的問題，并提出問題，提出問題永遠(yuǎn)比解決問題來得更重要.如此，學(xué)生的思維將更加深刻、更加多向，解決問題的思維必會(huì)得到創(chuàng)新.更重要的是學(xué)生在問題解決的過程中學(xué)會(huì)了一類對(duì)象的思考方法，而這正是發(fā)展了學(xué)生的學(xué)習(xí)智慧.A