李子謙

(福州第一中學，福建 福州 350001)

《曲線與方程》這節(jié)課的位置處于圓錐曲線章節(jié)的開始部分，在學習本節(jié)課之前，學生已經學習了直線與圓的方程，能夠初步理解曲線上的點與方程的解之間存在的對應關系。本節(jié)課的目的就在于讓學生更深刻地理解曲線方程的純粹性和完備性，并能夠利用曲線的方程與方程的曲線這兩個重要概念學會求曲線的方程的方法。在本節(jié)課中培養(yǎng)學生嚴謹的數學思維的過程主要集中在以下兩個方面:

一、正反例教學培養(yǎng)學生嚴謹的雙向思維

在教學曲線與方程的完備性和純粹性時，概念的教學為許多所教師忽視，而該部分的教學恰好是培養(yǎng)學生嚴謹數學思維過程中重要的一環(huán)。為了達成這一教學目標，筆者的設計如下:

首先利用集合中的一一映射概念講解在曲線上的點與方程的解之間的一一對應關系:如果把曲線上所有的點構成一個集合，方程所有的解也構成一個集合，這兩個集合在構成一個一一映射時，這個方程稱為曲線的方程，這條曲線稱為方程的曲線。

有了這個分析，就可以得出以下兩個條件，即曲線方程的完備性和純粹性:

①曲線上點的坐標滿足方程f(x，y)=0;

②以方程f(x，y)=0 的解為坐標的點在曲線上。

當這兩個條件都滿足時，這個方程叫做曲線的方程;這條曲線叫做方程的曲線。

之后即進入正例教學。曲線與方程的概念極為抽象，如果沒有實際例子的支撐容易造成學生的理解困難。因此在定義給出之后，引導學生回憶之前求圓的標準方程過程，指出在這些過程中，實際僅僅驗證了條件①而沒有驗證條件②。但是只有符合這兩個條件，才能將曲線的研究轉化為對方程的研究，即幾何問題的研究轉化為代數問題，從而實現“以數論形”這個解析幾何的基本思想和基本方法。所以此時引導學生對照之前求標準方程的過程，以圓方程x2+y2=1 為例一起對條件②進行說明，從正面加深對定義的理解。

證:設x=x0，y=y0是方程x2+y2=1 的任意一組解。則，以方程的解為坐標的點是(x0，y0)，該點到原點的距離是。即以方程的任意一組解為坐標的點到原點的距離為1，在圓上。

接著引導學生思考，為什么一定要兩個條件同時成立，如果這兩個條件缺少一個的時候會發(fā)生什么情況?從這個角度對定義加以理解，進入反例教學。

讓學生畫出曲線C:y=x 的圖像，然后討論下列兩個方程是否能表示這條直線。

在這個簡單的反例中，學生較容易得出方程(1)、(2)都不能表示曲線C。然后讓學生根據定義說明理由，鍛煉學生嚴謹的表達能力，養(yǎng)成學生雙向思維的習慣。

所以這兩個方程都不能表示曲線C，從而說明，兩個條件缺一不可，任意一個條件不符合，就不能把方程稱為曲線的方程，把曲線稱為方程的曲線。事實上，(1)、(2)的方程所表示的曲線應該是如圖所示的兩種情況。

正反例教學解釋了曲線和方程關系的純粹性與完備性，旨在幫助學生深刻理解曲線與方程的定義，培養(yǎng)學生從正反兩個方面思考問題，以求思維的嚴謹。如果僅有正例教學，學生的思維被局限在“正確”的范圍內，當需要他們自己思考的時候就不能進行迅速而嚴謹的反向思維;反之，如果僅有反例教學，容易讓學生鉆牛角尖，只關心錯誤的產生而不關心如何避免錯誤，這都對培養(yǎng)學生的嚴謹思維是不利的。本節(jié)課對于曲線與方程關系的純粹性和完備性選取合適的正例與反例，既不牽著學生沿著既定路線走，又能引導學生不至于思維跑偏，這樣才能讓學生的思想之花在綻放的同時不失嚴謹。

二、針對性選取例題培養(yǎng)學生嚴謹的全面思維

在例題教學中，為了讓學生能夠養(yǎng)成嚴謹的數學思維習慣，筆者同樣針對性地選取例題。在求軌跡方程時，如果不能進行嚴謹的全面思維，完備性就容易被遺漏檢查，所以例題應選取求出軌跡方程后還需要檢查完備性的題目，引導學生認識到完備性檢查的重要性?；谶@些考慮，筆者選取了如下例題并給出了一道擴展例題。

例:(示意圖1)若動點M 與兩定點A(-a，0)，B(a，0)，其中a ＞0，構成以M 點為直角頂點的直角三角形，求M 點的軌跡方程.

(示意圖1)

解:∵AM ⊥BM

∴ 點M 在以AB 為直徑的圓上運動.

∵ 該圓圓心為O，半徑長為a.

∴點的軌跡方程為x2+y2=a2.

聯系到圓的相關性質，大部分學生能夠很快地給出以上解答，之后用幾何畫板做出軌跡，提示他們針對曲線與方程的完備性進行檢查。在此過程中引導他們觀察M 點運動到特殊位置即M 運動到A，B 兩點時的情況，然后提問:動點的軌跡是不是就是這個圓，這個圓方程這是我們所求的曲線方程嗎?因為當M 點與A，B 兩點重合的時候，三角形不存在，所以，A，B 兩點是不符合題意的。雖然A，B 兩點的坐標是這個方程的解，但不在M 點的軌跡上，所以軌跡方程應是它的圖形是以O 為圓心，a 為半徑的圓，但不包括A，B 兩點。

(示意圖2)

擴展:(示意圖2)過圓O:(x+1)2+y2=4 外一點A(4，3)做圓的割線，與圓相交得到的弦的中點設為C，試探究點C 的軌跡。與例1 類似，尋找等量關系。觀察到∠ACO 始終為直角，而A，O 都是定點，所以本題的實質是和例1 一樣的。

解:(以向量角度解答為例)

設C 點坐標(x，y)，因為∠ACO 始終為直角，

(x-4，y-3)·(x+1，y)=0.

解答到這里時，再用幾何畫板展示該曲線的形成過程。此時學生就會發(fā)現，明明自己求出了一個圓方程，但實際的曲線僅僅是圓的一部分——弧。這就是因為求出的方程的解并不都是曲線上的點，如果不驗證完備性，就會發(fā)生錯誤，于此強調嚴謹思維的重要性。

數學課堂教學中，例題的重要性不言而喻，求曲線的軌跡方程是本節(jié)課的重點內容，而求解的最后一步，即完備性檢查最能體現學生的思維是否全面。例題在檢查的過程中只要注意到三角形條件即可去掉不符合題意的兩點。后面的擴展例題的代表性更強，從解析幾何求解的角度尋找等量關系求解軌跡方程是常規(guī)思維，但在解答后很容易遺漏完備性檢查這一步，所以通過有針對性的例題，強調完備性檢查的重要性，培養(yǎng)學生嚴謹的全面思維。

本節(jié)課是一節(jié)普通的曲線與方程的常態(tài)課，筆者在常態(tài)課中注重教學細節(jié)，有針對性地設計了正反例概念教學和例題教學，以期讓學生切身體驗整個問題研究的思維過程，了解在數學學習中嚴謹的數學思維的重要性，并逐步養(yǎng)成嚴謹思維的習慣。數學是自然科學之母，數學課堂是科學精神培養(yǎng)的重要陣地。筆者希望在數學課堂上不僅能夠將數學知識傳授給學生，更能讓學科的嚴謹之美感染學生，進而融會貫通這一重要的科學精神，其必將對學生今后的學習大有裨益。

［1］梁海紅.學生數學思維嚴謹性的培養(yǎng)策略［J］.教師，2010(25).

［2］沈海瀾.從一案例談數學思維嚴謹性的培養(yǎng)［J］.中學數學研究，2012(5).

［3］陳靜.淺談培養(yǎng)學生思維的嚴謹性［J］.數學學習與研究，2009(10).