李 勃，聶睿瑞

（1南京航空航天大學(xué) 南京 210016 2南京信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院 南京 210046）

前 言

螺旋天線在手持移動(dòng)設(shè)備等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。與直線偶極子天線不同，螺旋天線的外形是三維的，目前還沒有準(zhǔn)確的公式來設(shè)計(jì)螺旋天線。許多設(shè)計(jì)人員都是通過測試來修改設(shè)計(jì)，這種方法耗時(shí)耗力，而且會(huì)受到測試條件的影響。因此，數(shù)學(xué)手段對于螺旋天線的設(shè)計(jì)與分析是十分重要的。常用的電磁場分析工具，需要對螺旋天線的三維曲線表面進(jìn)行網(wǎng)格劃分，然后進(jìn)行計(jì)算，這種方法會(huì)消耗大量的計(jì)算機(jī)資源[1，2]。當(dāng)對包含螺旋天線的大型系統(tǒng)建模時(shí)，即使此時(shí)天線只是系統(tǒng)中一個(gè)微小的部分，對螺旋天線的曲面建模也會(huì)占用相當(dāng)一部分資源。為此，本文提出一種簡化模型來分析螺旋天線的電磁輻射特性，將螺旋線的電感表示為一系列通過集總元件相連的小段導(dǎo)線，從而極大地減小了計(jì)算的復(fù)雜性。本文分析了簡化模型下螺旋天線的諧波頻率、輸入阻抗和天線方向性圖等電磁特性，并通過對實(shí)際設(shè)備的測試驗(yàn)證了該模型的正確性。

1 螺旋天線的簡化模型建模

圖1顯示了常規(guī)螺旋天線的幾何外形，螺旋線的傾斜度固定為S，曲線的半徑固定為R，螺旋天線由半徑為a的導(dǎo)線構(gòu)成，在線圈的中心點(diǎn)饋電。

從圖1（b）可以看出，螺旋天線可以近似表示為一系列小環(huán)線和偶極子天線相連，當(dāng)螺旋曲線尺寸遠(yuǎn)小于波長時(shí)，螺旋天線的法向軸比可以表示為：

圖1 螺旋天線的簡化模型Fig.1 Simplified model of helical antenna

幾乎所有螺旋天線的軸比都大于1，因此環(huán)線上的輻射場要遠(yuǎn)小于偶極子天線的輻射，計(jì)算時(shí)通?？梢院雎原h(huán)線輻射的影響[3]。例如，如果需要2dB的計(jì)算準(zhǔn)確性，只要滿足式（2）就可以忽略環(huán)線的輻射場。

從式（1）和式（2）可以看出，只要AR＞4，就可以忽略環(huán)線的輻射。

從式（1）可以看出，不同的軸比可以通過合理選擇曲線系數(shù)來獲得[4]。例如，當(dāng)Sλ＞0.02時(shí)，可以取Cλ＜0.1，得到AR＞4。螺旋曲線的傾斜度α可以通過式（3）來描述。

如果忽略環(huán)線的輻射，那么這些環(huán)線就可以用電感來代替。因此，圖1（b）就可簡化為圖1（c）。每一環(huán)中都有一段直導(dǎo)線，這些導(dǎo)線都是垂直導(dǎo)向的，長度與螺旋線的傾斜度α相同，通過集總電感元件相連。這些集總元件不會(huì)增加網(wǎng)格的尺寸，也不會(huì)增加計(jì)算的復(fù)雜性。因此，這種簡化模型相比原始模型可以大大減少計(jì)算資源的使用。

在原始的螺旋結(jié)構(gòu)中，相鄰的螺旋線圈通過互感和互容相互耦合。由于所有的線圈都是軸同向的，因此一個(gè)線圈產(chǎn)生的磁通量會(huì)穿過相鄰的線圈。這種磁通量產(chǎn)生的電壓與自感引起的壓降極性相同。除了磁場耦合外，線圈之間還存在電場耦合，會(huì)在線圈和直導(dǎo)線間產(chǎn)生交變電流[5，6]。

設(shè)每周螺旋的等效電感為L，每節(jié)短直導(dǎo)線的直徑為a′，L包括每周螺旋的自感Lself和相鄰螺旋之間的互感M，即

在自由空間中自感Lself可以表示為：

其中μ0是自由空間常量，和為同一線圈的微分因子，C和C′為相距r的線圈周長。對于圓形的線圈，可以將式（5）簡化為：

其中Lloop為圓形線圈的自感。

圖2為螺旋天線幾何示意圖，螺旋曲線上A、B兩點(diǎn)之間的距離為：

其中r0是A’與B’（A點(diǎn)與B點(diǎn)在x-y平面上的投影）之間的距離，Δz是A點(diǎn)與B點(diǎn)在z軸上的距離，Δθ是A’與B’之間的圓心角。當(dāng)傾斜度遠(yuǎn)小于線圈直徑時(shí)，A與B之間的距離和A’與B’之間的距離基本相同，即r≈r0。因此，對于較小的傾斜角，式（6）可以滿足計(jì)算精度要求[7，8]。隨著傾斜角的增加，Δz會(huì)快速增加，因此每一螺旋線圈的自感會(huì)遠(yuǎn)小于式（6）的計(jì)算結(jié)果[9]。由于

圖2 螺旋天線幾何示意圖Fig.2 Geometric curve of helical antenna

因此有

又由于

式（7）可變化為：

將式（11）代入式（5），每一線圈的自感可以化為：

相鄰兩段螺旋線之間的互感可以用相距S、半徑為R且軸同向的圓線圈之間的互感來表示[10]，即

在自由空間中，長度為l、半徑為a的導(dǎo)線的電容量為：

其中ε0是自由空間介電常數(shù)。在圖1（c）中，一段螺旋線圈被長度與傾斜角相同的短導(dǎo)線段代替。由于導(dǎo)線長度遠(yuǎn)小于線圈長度，因此總的電感量減小了。為了保證計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，必須增加導(dǎo)線的直徑[11]，增加后的導(dǎo)線直徑a′可以通過式（15）得到。

2 計(jì)算結(jié)果分析

對9組螺旋天線的輸入阻抗、諧振頻率分別使用簡化模型進(jìn)行計(jì)算。由于普通螺旋天線主要工作在諧振頻率上，因此本節(jié)主要分析諧振點(diǎn)附近的情況。輸入阻抗和諧振頻率的誤差計(jì)算公式如下：

其中R0為實(shí)際輸入阻抗，Rin為計(jì)算結(jié)果，f0為實(shí)際諧振頻率，f為計(jì)算結(jié)果。天線的幾何參數(shù)如表1所示，表1中參數(shù)均為經(jīng)過天線廠家計(jì)量后得到的精確結(jié)果。

表1 螺旋天線幾何參數(shù)表Table 1 Geometric parameters of helical antenna

輸入阻抗和諧振頻率的計(jì)算誤差如表2所示。從表2可以看出，簡化模型的計(jì)算誤差最大僅為4%，可以滿足使用要求。表3顯示了傳統(tǒng)模型和簡化模型計(jì)算時(shí)的資源消耗情況，可以看出，簡化模型能極大地減少計(jì)算時(shí)間和內(nèi)存占用。

表2 簡化模型的等效參數(shù)和計(jì)算誤差Table 2 Equivalent parameters and calculation errors of simplified model

表3 傳統(tǒng)模型和簡化模型計(jì)算時(shí)的資源消耗Table 3 Computation resource usage of original model and simplified model

為了進(jìn)一步驗(yàn)證模型的正確性，對某手持移動(dòng)設(shè)備上的螺旋天線進(jìn)行建模仿真。模型中，在一個(gè)10×4.8×1.67cm3的金屬殼體上放置了兩根相距3.125cm的螺旋天線，如圖3所示。天線1是受激勵(lì)的，天線2與50Ω的負(fù)載相連，天線的諧振頻率為1.65GHz。天線尺寸如下：N=2.6，S=9.94mm，R=2.1mm，a=0.28mm。

輸入阻抗仿真結(jié)果如圖4所示，在諧振頻率附近，簡化模型的輸入電阻和電抗與實(shí)際值相差很小，在諧振頻率點(diǎn)上誤差只有1%。主要方向上的天線方向性圖仿真與測試結(jié)果比較如表4所示，天線方向性圖如圖5所示?？梢钥闯?，不論是在水平還是垂直方向上，簡化模型的天線方向性圖都與實(shí)際測試結(jié)果幾乎相同。

圖3 手持移動(dòng)設(shè)備天線模型示意圖Fig.3 Helical antenna model of a certain type mobile handset

圖4 簡化模型的輸入阻抗仿真結(jié)果Fig.4 Simulation result of input resistance and reactance by simplified model

圖5 簡化模型的天線方向性圖仿真結(jié)果Fig.5 Simulation results of radiation patterns by simplified model

3 結(jié)束語

本文提出了一種螺旋天線的簡化模型建模方法，將復(fù)雜的曲線結(jié)構(gòu)簡化為一系列直導(dǎo)線和電感相連的結(jié)構(gòu)。這種模型可以極大地減少計(jì)算時(shí)使用的資源，并具有很高的準(zhǔn)確性，具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

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