劉大衛(wèi)，杜運理，溫求遒，上官垠黎

(1. 中國兵器科學(xué)研究院，北京 100089；2. 北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院，北京 100081)

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侵徹制導(dǎo)武器終端多約束最優(yōu)制導(dǎo)律①

劉大衛(wèi)1，杜運理1，溫求遒2，上官垠黎1

(1. 中國兵器科學(xué)研究院，北京 100089；2. 北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院，北京 100081)

針對侵徹型制導(dǎo)武器終端多約束制導(dǎo)問題，建立包含一階彈體動力學(xué)的多約束制導(dǎo)模型，采用最優(yōu)控制方法推導(dǎo)終端多約束制導(dǎo)問題的通解。根據(jù)終端約束與罰函數(shù)的關(guān)系，求解了實際工程中關(guān)心的3種最優(yōu)制導(dǎo)律，并結(jié)合當(dāng)前主流制導(dǎo)控制體制，在小角假設(shè)下，將其表述為便于工程實現(xiàn)的形式，即包含彈體動力學(xué)的最優(yōu)比例導(dǎo)引制導(dǎo)律、彈道成型最優(yōu)制導(dǎo)律和終端多約束最優(yōu)制導(dǎo)律。理論分析和典型末制導(dǎo)條件仿真表明，后2種制導(dǎo)律可為侵徹制導(dǎo)武器終端位置與角度雙約束以及位置、角度與加速度多約束制導(dǎo)問題提供理論基礎(chǔ)和工程應(yīng)用參考。

侵徹制導(dǎo)武器；終端多約束；最優(yōu)制導(dǎo)律；比例導(dǎo)引；彈道成型

0 引言

現(xiàn)代戰(zhàn)爭中，如何有效打擊深埋地下的硬目標(biāo)，已成為許多國家軍事領(lǐng)域的重要研究課題，從而引發(fā)了利用制導(dǎo)火箭、航空炸彈、空-地導(dǎo)彈、巡航導(dǎo)彈、彈道導(dǎo)彈乃至高超聲速飛行器等多種運載平臺搭載侵徹戰(zhàn)斗部而構(gòu)成的侵徹型制導(dǎo)武器的快速發(fā)展。然而，侵徹戰(zhàn)斗部為達(dá)到最佳毀傷效果，對命中目標(biāo)時彈體的落點位置、入射角、速度和過載等終端參數(shù)提出了嚴(yán)格的限制條件[1-2]。因此，基于最優(yōu)控制理論獲得的比例導(dǎo)引制導(dǎo)律已經(jīng)不能完全滿足侵徹制導(dǎo)武器終端多約束制導(dǎo)問題。目前，大多數(shù)學(xué)者受Kim和Grider在機動彈頭再入制導(dǎo)問題中引入落角約束的啟發(fā)[3]，研究了基于最優(yōu)控制理論、滑模變結(jié)構(gòu)控制、智能控制、自適應(yīng)控制、預(yù)測控制和模糊控制等諸多方法的具有終端角約束的制導(dǎo)律設(shè)計方法[4]。其中，最優(yōu)控制方法發(fā)展最快，并已成功用于“潘興-II”地-地戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈[5]，引發(fā)了學(xué)者對其廣泛研究，典型代表如文獻(xiàn)[6-9]。但上述研究只解決具有終端位置和角度約束的制導(dǎo)問題，對侵徹制導(dǎo)武器終端包含位置、落角和過載等多項約束的制導(dǎo)問題，仍沒有直接有效的閉環(huán)制導(dǎo)策略。

本文在前人對最優(yōu)制導(dǎo)律研究的基礎(chǔ)上，將彈體動力學(xué)簡化為一階環(huán)節(jié)引入制導(dǎo)問題，將制導(dǎo)模型狀態(tài)量擴展到位置、速度和加速度3項，基于全狀態(tài)反饋法將初始狀態(tài)以最優(yōu)性能指標(biāo)轉(zhuǎn)移到期望終端狀態(tài)，獲得包含終端位置、角度和加速度等多約束的系列化最優(yōu)制導(dǎo)律。

1 最優(yōu)制導(dǎo)律建模與推導(dǎo)

1.1 制導(dǎo)問題假設(shè)

在制導(dǎo)律研究領(lǐng)域，將導(dǎo)彈控制系統(tǒng)簡化為一階系統(tǒng)，基本能反映其主要動力學(xué)特性，取典型一階動力學(xué)環(huán)節(jié)[5]：

(1)

式中ac為導(dǎo)彈法向加速度指令；aL為法向加速度響應(yīng)；Tg為彈體動力學(xué)時間常數(shù)。

(2)

則包含彈體動力學(xué)的制導(dǎo)系統(tǒng)狀態(tài)方程為

(3)

其中，系統(tǒng)矩陣A和控制矩陣B分別為

(4)

侵徹制導(dǎo)武器攻擊的目標(biāo)一般無機動加速度，即at=0。此時，包含一階彈體動力學(xué)環(huán)節(jié)的線性制導(dǎo)系統(tǒng)簡化結(jié)構(gòu)模型，如圖1所示。

圖1 線性制導(dǎo)系統(tǒng)一階動力學(xué)簡化模型Fig.1 Dynamics model of linear guidance system with first-order lag

1.2 最優(yōu)制導(dǎo)律建模

為了研究具有終端多約束的最優(yōu)制導(dǎo)問題，建立以下目標(biāo)函數(shù)：

(5)

式中SF和R為半正定矩陣，分別為終端加權(quán)矩陣和控制加權(quán)矩陣；t0和tF分別為初始制導(dǎo)時刻和總制導(dǎo)時間；xF為終端特定約束；u為控制量。

該制導(dǎo)問題的初值：

(6)

終端約束條件：

(7)

終端加權(quán)矩陣SF和控制加權(quán)矩陣R：

(8)

對這類最優(yōu)控制問題，采用狀態(tài)反饋方法可獲得最優(yōu)控制解[10]：

(9)

其中，Φ(tF,t)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；x(tF)為終端狀態(tài)，其解為

(10)

1.3 最優(yōu)制導(dǎo)律求解

根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)矩陣可得其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣：

(11)

從而有

(12)

由式(2)可知：

(13)

將式(7)、式(8)、式(12)和式(13)代入式(9)，令tgo=tF-t，可得到最優(yōu)控制量為

(14)

將式(7)、式(8)、式(11)和式(12)代入式(10)，可得到一般形式的廣義終端多約束制導(dǎo)問題終端狀態(tài)x(tF)的最優(yōu)解為

(15)

其中

(16)

2 典型終端約束對應(yīng)的最優(yōu)制導(dǎo)律

不同作戰(zhàn)目的對應(yīng)不同的終端約束，在實際工程中，往往關(guān)注以下3種典型終端約束所對應(yīng)的最優(yōu)制導(dǎo)律。

2.1 終端位置約束最優(yōu)制導(dǎo)律

為實現(xiàn)對目標(biāo)的精確命中，一般只研究保證終端位置約束的制導(dǎo)問題。根據(jù)罰函數(shù)與終端約束對應(yīng)關(guān)系，對式(14)求罰函數(shù)s1→∞、s2→0且s3→0，即

(17)

其中

式中N′為有效導(dǎo)航比；tp為相對剩余時間比。

2.2 終端位置和角度雙約束最優(yōu)制導(dǎo)律

同理，為按照期望落角對目標(biāo)進(jìn)行精確命中，一般研究同時確保終端位置和角度約束的制導(dǎo)問題。此時，對式(14)求罰函數(shù)s1→∞、s2→∞且s3→0，即

(18)

其中

2.3 終端位置、角度和加速度多約束最優(yōu)制導(dǎo)律

依此類推，為實現(xiàn)對目標(biāo)按照期望角度精確命中且命中點加速度為零，則須對式(14)求罰函數(shù)s1→∞、s2→∞且s3→∞，即

(19)

其中

k1(t)=12(-tgo+2κTg)2

κ=tanh(tgo/2Tg)

3 最優(yōu)制導(dǎo)律工程化表述

圖2 彈目交匯幾何關(guān)系圖Fig.2 Geometry of missile-target engagement

當(dāng)彈目視線角q較小時，存在以下近似關(guān)系：

q(t)≈tanq(t)=-z(t)/tgoVr(t)

(20)

(21)

由式(20)得

z(t)=-q(t)tgoVr(t)

(22)

由式(21)得

(23)

將式(22)代入式(23)得

(24)

3.1 最優(yōu)比例導(dǎo)引制導(dǎo)律

在上述幾何關(guān)系假設(shè)下，將式(22)、式(24)代入式(17)，得便于工程實現(xiàn)的包含彈體動力學(xué)的最優(yōu)比例導(dǎo)引制導(dǎo)律：

(25)

(26)

3.2 彈道成型最優(yōu)制導(dǎo)律

同理將式(22)、式(24)代入式(18)，得包含彈體動力學(xué)的最優(yōu)彈道成型制導(dǎo)律：

(27)

其中

Γ=e-tgo/Tg

式(27)以“比例導(dǎo)引+角度約束+加速度反饋”形式給出了包含彈體動力的最優(yōu)彈道成型制導(dǎo)律。當(dāng)彈體動力學(xué)時間較小時，式(25)即為經(jīng)典彈道成型制導(dǎo)律：

(28)

該制導(dǎo)律因其通過設(shè)置期望落角，使導(dǎo)彈按照期望彈道形狀精確命中目標(biāo)而得名彈道成型。

3.3 終端多約束最優(yōu)制導(dǎo)律

同理，將式(22)、式(24)代入式(19)，得包含彈體動力學(xué)的終端多約束最優(yōu)制導(dǎo)律：

(29)

其中

式(29)以“比例導(dǎo)引+角度約束+加速度約束+加速度約束補償”形式表述終端多約束最優(yōu)制導(dǎo)律。該制導(dǎo)律由4部分組成：第一項為保證終端位置精度的變系數(shù)比例導(dǎo)引項；第二項為保證終端角度的角度約束項；第三項為保證終端加速度收斂的加速度約束項;第四項為終端加速度約束補償項。對于侵徹型導(dǎo)彈，加速度約束項主要用于減小終端加速度，以間接控制命中點攻角，從而增大戰(zhàn)斗部侵徹效能。該最優(yōu)制導(dǎo)律的權(quán)系數(shù)隨剩余飛行時間時變，確保位置、角度和加速度按照最優(yōu)關(guān)系各自收斂到相應(yīng)約束值，實現(xiàn)終端多約束精確制導(dǎo)。當(dāng)彈體動力學(xué)時間較小，且終端加速度約束為零時，式(29)即為經(jīng)典彈道成型制導(dǎo)律：

(30)

圖3給出了上述3種制導(dǎo)律的結(jié)構(gòu)框圖。

4 制導(dǎo)律工程實現(xiàn)途徑與仿真驗證

(a)最優(yōu)比例導(dǎo)引制導(dǎo)律結(jié)構(gòu)框圖

(b)彈道成型最優(yōu)制導(dǎo)律結(jié)構(gòu)框圖

(c)終端多約束最優(yōu)制導(dǎo)律結(jié)構(gòu)框圖

取末制導(dǎo)初始條件為高度H0=3 km、速度V0=250 m/s、角度θ=0°進(jìn)行仿真，以qF=-90°落角垂直攻擊xt=4 km處靜止目標(biāo)，彈體動力學(xué)時間常數(shù)為Tg=0.25 s。圖4給出了采用3種制導(dǎo)律仿真時的彈道、彈道傾角、彈目視線角速度、加速度指令、加速度響應(yīng)和攻角對比曲線，表1給出了主要終端參數(shù)。

(a) 彈道曲線 (b)彈道傾角曲線 (c)彈目視線角速度曲線

(d)加速度指令曲線 (e)加速度響應(yīng)曲線 (f)攻角曲線

表1 仿真終點參數(shù)對比Table 1 Terminal parameters of the three typical optimal guidance laws

仿真結(jié)果表明，3種制導(dǎo)律均精確命中目標(biāo)，彈道成型最優(yōu)制導(dǎo)律和終端多約束最優(yōu)制導(dǎo)律均確保終端彈道傾角幾乎為-90°。彈道成型最優(yōu)制導(dǎo)律終端加速度指令為0.078 m/s2，加速度響應(yīng)為-16.56 m/s2，對應(yīng)攻角為-6.429°；而終端多約束最優(yōu)制導(dǎo)律終端加速度指令33.48 m/s2，加速度響應(yīng)為-0.07 m/s2，對應(yīng)攻角為-0.026°。

5 結(jié)論

(1) 包含彈體動力學(xué)的最優(yōu)比例導(dǎo)引制導(dǎo)律只能確保導(dǎo)彈命中目標(biāo)，且命中目標(biāo)時的過載指令為零，但不能對命中時刻的落角進(jìn)行閉環(huán)控制。因此，不易直接應(yīng)用于侵徹制導(dǎo)問題。

(2) 包含彈體動力學(xué)的彈道成型最優(yōu)制導(dǎo)律和終端多約束最優(yōu)制導(dǎo)律均能確保導(dǎo)彈命中目標(biāo)，且命中點的落角可精確控制到期望值，其區(qū)別在于前者沒直接引入加速度約束，故只能將加速度指令控制到零，后者引入了加速度約束，可將加速度實際響應(yīng)值控制到零。

(3) 侵徹型制導(dǎo)武器對命中點的位置、落角和攻角具有嚴(yán)格要求，而對攻角的約束可轉(zhuǎn)化為對加速度的約束來實現(xiàn)。因此，在對彈體動力學(xué)分析準(zhǔn)確的前提下，采用終端多約束最優(yōu)制導(dǎo)律，可間接實現(xiàn)對終端位置、落角和攻角的有效控制。

(4) 終端多約束最優(yōu)制導(dǎo)律的表述形式和需用制導(dǎo)信息，可由目前工程上主流制導(dǎo)控制體制提供。因此，可為實際工程問題提供理論參考。

[1] 孫未蒙,劉湘洪,等.多約束條件下的制導(dǎo)律研究綜述[J].飛行力學(xué),2010,28(4):1-4.

[2] 吳鵬,楊明.帶終端攻擊角度約束的變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律[J].固體火箭技術(shù),2008,31(2):116-120.

[3] Kim M,Grider K V.Terminal guidance for impact attitude angle constrained flight trajectories[C]// Proceedings IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems,1973,9(6):852-859.

[4] 蔡洪,胡正東,曹淵.具有終端角約束的導(dǎo)引律總述[J].宇航學(xué)報,2010,31(2):315-332.

[5] Zarchan,P.Tactical and strategic missile guidance[M].Forth Edition,Progress in Astronautics and Aeronautics,AIAA,Reston,VA 2002:541-548.

[6] Chang-Kyung Ryoo,Hangju Cho,Min-Jea Tahk.Optimal guidance laws with terminal impact angle constraint[J].Journal of Guidance,Control and Dynamics,2005,11(4):724-732.

[7] 劉丹,祁載康.限制導(dǎo)彈落角和落點的最優(yōu)制導(dǎo)律[J].北京理工大學(xué)學(xué)報,2001,21(3):278-281.

[8] 常超,林德福，等.帶落點和落角約束的最優(yōu)末制導(dǎo)律研究[J].北京理工大學(xué)報,2009,29(3):233-236.

[9] LIU Da-wei,XIA Qun-li,WU Tao,et al.Trajectory shaping guidance law with terminal impact angle constraint[J].Journal of Beijing Institute of Technology,2011,20(3):345-350.

[10] Bryson A E Jr,Ho Y-C.Applied optimal control[M].New York: Wiley,1975:158-167.

(編輯：呂耀輝)

Optimal guidance law with multiple terminal constrains for penetrating guided weapon

LIU Da-wei1,DU Yun-li1,WEN Qiu-qiu2,SHANGGUAN Yin-li1

(1.China Research and Development Academy of Machinery Equipment,Beijing 100089, China；2.School of Aerospace Engineering,Beijing Institute of Technology,Beijing 100081, China)

In order to study the terminal guidance problem of penetrating guided weapon,the guidance model with multiple terminal constraints based on first-order missile dynamics was established.The common optimal solution was deduced by state feedback law,and three typical optimal guidance laws were obtained by the relationship between different terminal constraints and penalty function.Then,advanced proportional navigation guidance law(APN),trajectory shaping guidance law with impact position and angle constraints (TSGPA),and optimal guidance law with multiple terminal constrains (OGLMTC) were obtained based on small angle assumption according to the information of typical guidance and control system.Theoretical analysis and typical simulations show that TSGPA and OGLMTC can control the missile to meet the dual and multiple terminal constraints concerning terminal location angel and accelaration respectively,and the two guidance laws can provide reference to engineering problem.

penetrating guided weapon;multiple terminal constraints,optimal guidance law;proportional navigation;trajectory shaping

2014-03-15；

：2014-05-12。

博士后科學(xué)基金資助項目(2012M50048)。

劉大衛(wèi)(1984—)，男，博士，研究方向為飛行器制導(dǎo)與控制。E-mail：20031145@bit.edu.cn

V448

A

1006-2793(2015)02-0166-06

10.7673/j.issn.1006-2793.2015.02.004