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        求逆矩陣的幾種方法

        2015-04-24 14:24:00俞美華
        科技視界 2015年31期
        關(guān)鍵詞:方陣對角分塊

        俞美華

        (東南大學(xué)成賢學(xué)院基礎(chǔ)部,江蘇 南京210088)

        1 定義法

        對于n階矩陣A,如果存在一個n階矩陣B,使AB=BA=E,則稱矩陣A是可逆的,把矩陣B稱為A的逆矩陣,并且當(dāng)矩陣可逆時,逆矩陣是唯一的,故B=A-1。

        例1 已知A3+3A2-2A-E=0,求證A可逆,并求出A-1。

        證明:由A3+3A2-2A-E=0得A(A2+3A-2E)=E,且(A2+3A-2E)A=E,所以A可逆,且A-1=A2+3A-2E。

        2 伴隨矩陣求逆法

        定理:n階方陣A可逆的充要條件是|A|≠0,且當(dāng)|A|≠0時,有A-1,其中A*是A的伴隨矩陣,A*=,Aij是元素aij在|A|中的代數(shù)余子式。

        證明:

        即AA*=A*A=|A|E;

        充分性:因為|A|≠0,由AA*=A*A=|A|E,得,由逆矩陣的定義得,A是可逆的,并且;

        必要性:因為A是可逆的,由逆矩陣的定義知,AB=BA=E,所以|AB|=|A||B|=1?|A|≠0且|B|≠0,并且,所以。

        (2)B-1=,其中|B|=6,,

        由此可見,對二階矩陣A來講,利用伴隨矩陣求逆法,簡便,快捷,因為二階矩陣的伴隨矩陣A*與矩陣A之間存在一定關(guān)系,將A的主對角線元素互換且副對角線元素變成相反數(shù)可得A*;但是對于三階以及三階以上的矩陣來說,利用伴隨矩陣來求逆,需要計算9個以及9個以上的代數(shù)余子式,并且符號容易出錯,其計算量太大,所以不易采用這種方法來求逆。

        3 利用伴隨矩陣求逆矩陣定理的推論求逆

        推論 設(shè)A,B都是方陣,且AB=E(或BA=E),則A,B互為逆矩陣。

        證明:由于AB=E,所以|A||B|=1,故|A|≠0,|B|≠0因此A-1,B-1均存在,且唯一,在AB=E的兩邊左乘以A-1得B=A-1,或者在AB=E的兩邊右乘以B-1得A=B-1,因此A,B互為逆矩陣;同理也可以證明,當(dāng)BA=E時,A,B互為逆矩陣。

        由此可見,當(dāng)A,B都是方陣時,證明B是A的逆矩陣只需要驗證AB=E或BA=E中的一個成立即可,比用定義驗證簡單一些。

        由推論得A是可逆的且A-1=B,即

        此結(jié)論可以推廣到n階對角陣:

        由此可見,對角陣當(dāng)對角元均不為零時,對角陣是可逆的,并且它的逆矩陣仍是對角陣且對角元是原來矩陣對角元相應(yīng)的倒數(shù)。

        由推論得C是可逆的且C-1=D,即

        此結(jié)論也可以推廣到n階矩陣:

        例5 已知A是方陣,滿足A2-3A+E=0,求證A-E可逆,并求出(A-E)-1。

        證明:A2-3A+E=0?(A-E)(A-2E)=E,且A-E,A-2E均是方陣,由推論得A-E可逆且(A-E)-1=A-2E。

        4 利用逆矩陣的性質(zhì)求逆矩。

        性質(zhì):若A,B為同階可逆矩陣,則AB也可逆,且:

        (AB)-1=B-1A-1。

        證明:∵|AB|=|A||B|≠0,故|A|≠0,|B|≠0,∴A,B均可逆,又因為AB、B-1A-1均是方陣,且(AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AEA-1=E,∴(AB)-1=B-1A-1。

        推廣:若A1,A2,…,An為同階可逆矩陣,則A1·A2·…An可逆,并且。

        例6 設(shè)方陣A,B,C滿足ABC=E,問A,B,C是否可逆?為什么?如果可逆,分別求它們的逆。

        解:可知A,B,C為同階方陣,ABC=E?A(BC)=E,故A可逆,且A-1=BC;又因為(AB)C=E,故C可逆,且C-1=A B;在ABC=E的兩邊左乘以A-1,右乘以C-1,得B=A-1E C-1=A-1C-1,所以B-1=(A-1C-1)-1=CA。

        例7 設(shè)矩陣E+A及A均可逆,B=E-(E+A)-1,求證B也可逆,并求B-1。

        解:利用逆矩陣的定義對矩陣B作恒等變形,

        B=E-(E+A)-1=(E+A)-1(E+A)-(E+A)-1=(E+A)-1A。

        ∵(E+A)-1及A可逆,∴B可逆,且:

        B-1=[(E+A)-1·A]-1=A-1·(E+A)=A-1+E。

        5 初等變換求逆矩陣

        可逆矩陣A可以寫成一系列初等矩陣的乘積,設(shè)矩陣A是可逆的,則A=P1·P2·…Ps,其中Pi(i=1,2,…s)是初等矩陣,因為初等矩陣都是可逆的,并且初等矩陣的逆矩陣還是初等矩陣,又因為在矩陣的左邊乘以一個初等矩陣就相當(dāng)于對矩陣進(jìn)行了一次初等行變換,于是就得到(A|E)→行變換(E|A-1),即將矩陣A放在左邊,與A同階的單位矩陣E放在右邊,對它們進(jìn)行初等行變換,當(dāng)左邊的矩陣A化為單位矩陣E時,右邊的矩陣E就化為A-1;另外,在矩陣的右邊乘以一個初等矩陣就相當(dāng)于對矩陣進(jìn)行了一次初等列變換,于是就得到

        如果利用初等行(列)變換的方法求逆矩陣時,矩陣A的最下(右)邊一行是零行,即矩陣A不能化為單位矩陣E,這說明矩陣A是不可逆的,所以,利用初等變換求逆矩陣時,不需要去計算矩陣的行列式是否為零。

        解:(方法一)利用初等行變換求逆矩陣

        所以A-1=

        (方法二)利用初等列變換來求逆矩陣

        所以A-1=由此可見,利用初等行變換或者初等列變換都可以求逆矩陣,并且計算的結(jié)果是一樣的,但是習(xí)慣上我們還是利用初等行變換來求逆矩陣,因為初等行變換更常用。

        6 分塊對角陣求逆矩陣

        對矩陣進(jìn)行分塊是矩陣運算中常用的一種方法,有時可以簡化運算,如果矩陣分塊以后是分塊對角陣,則計算就相當(dāng)簡便。

        先將矩陣進(jìn)行分塊,如果分塊后的矩陣是如下形式(即分塊對角陣),其中每一個Ai(i=1,2,…,s)都是方陣,并且每一個Ai(i=1,2,…,s)均可逆,則

        可見A1,A2均可逆,則A-1=

        由此可見,如果直接利用伴隨矩陣求矩陣的逆矩陣,就要計算9個代數(shù)余子式,計算量比較大,而利用分塊的方法將其化為分塊對角陣,只需要計算一個二階方陣的逆,從而簡化了計算。

        [1]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組,王萼芳,石生明.高等代數(shù)[M].3版.北京:高等教育出版社,2003:177-193.

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