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        連續(xù)鞅論在期權(quán)定價中的應用研究

        2015-04-20 01:44:28周一美王志福田俊杰劉佳瑞
        長春師范大學學報 2015年10期
        關(guān)鍵詞:布朗運動數(shù)理正態(tài)分布

        周一美,王志福,田俊杰,楊 影,劉佳瑞

        (渤海大學數(shù)理學院,遼寧錦州 121013)

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        連續(xù)鞅論在期權(quán)定價中的應用研究

        周一美,王志福,田俊杰,楊 影,劉佳瑞

        (渤海大學數(shù)理學院,遼寧錦州 121013)

        本文運用連續(xù)鞅論的相關(guān)知識對經(jīng)典的期權(quán)定價公式——B-S公式進行推導。首先通過介紹B-S公式所需要的7種假設條件來得到無風險證券B(t)及普通股票S(t)的表達式,其次通過介紹Girsanov定理,并在鞅方法的運用中應用此定理,通過兩步進行推導,最后得出含有正態(tài)分布的B-S公式。

        布朗運動;Girsanov定理;標準正態(tài)分布;B-S公式

        近年來,連續(xù)鞅論在期權(quán)中的應用得到廣泛的關(guān)注。國內(nèi)學者邵宇提出通過鞅方法可以推導出期權(quán)定價中的關(guān)系式,并提出在運用B-S公式時需要的假設條件和工具.在早些年前,國外的學者Harrison J.M.和D.M. Kreps也在多期市場的套利與鞅的問題上進行了分析.本文將二者的研究結(jié)論作進一步的結(jié)合和推導,最后通過已知方法得出B-S公式.

        1 B-S公式的假設條件和Girsanov定理

        B-S公式即Black-Scholes公式,是期權(quán)定價的核心理論.該理論的運作機制是通過求解Black-Scholes偏微分方程,從而導出定價公式.

        Black-Scholes公式需要以下幾種假設:(1)市場中允許賣空證券,沒有交易費用、稅收和保證金;(2)沒有股利支付;(3)無風險利率r為常數(shù)且固定的,投資者可以此利率無限制的存款或貸款;(4)不存在無風險套利機會;(5)信息結(jié)構(gòu)是由布朗運動產(chǎn)生的,F(xiàn)t=σ(Os,s≤t),t∈[0,T];(6)證券高度可分,交易連續(xù);(7)市場上長期存在兩種證券,分別為無風險證券B(t)以及普通股票S(t).

        B(t)的價值過程為

        dB(t)=rB(t)dt,t∈[0,T].

        (1)

        S(t)的價值過程遵循幾何布朗運動

        dS(t)=μS(t)dt+σS(t)dO(t),t∈[0,T].

        (2)

        其中,μ為平均收益率,σ為波動率,O(t)為標準布朗運動,T為期權(quán)到期時刻.

        通過求解(1),(2)得到

        B(t)=ert.

        定理1 (Girsanov定理)

        2 利用鞅方法推導B-S公式

        利用鞅方法推導B-S公式大致分為兩個步驟.

        2.1 步驟一,將貼現(xiàn)后的風險資產(chǎn)價格轉(zhuǎn)變成鞅

        將無風險證券B(t)作為標準化證券,令

        或者

        de-rtS(t)=e-rt(μ-r)S(t)dt+e-rtσS(t)dO(t).

        設O(t)的分布函數(shù)為P,定義為

        用它乘以密度函數(shù)得到新測度Q并滿足:

        定義一個Ft-適應的隨機過程:

        (3)

        2.2 步驟二,在Q下計算貼現(xiàn)后的期權(quán)價格

        根據(jù)定價原理,任意一有消費(或者有權(quán)益證券)的價格都是一個Q鞅,即

        c(t)=e-r(T-t)EQ[c(T)|Ft] .

        將c(T)=[S(T)-K]+=max(S(T)-K, 0) 代入上式,得到

        c(t)=EQ{e-r(T-t)[S(T)-K]+|Ft}.

        (5)

        故(5)可以化為

        (6)

        式(6)可化為

        其中,F(xiàn)(.)為標準正態(tài)分布函數(shù),則

        [1]邵宇.微觀金融學及其數(shù)學基礎[M].北京:清華大學出版社有限公司,2003:240-243.

        [2]胡迪鶴.隨機過程論[M].武漢:武漢大學出版社,2005:360-410.

        [3]BlackF,ScholesM.ThePricingofOptionsandCorporateLiabilities[J].JournalofPoliticalEconomy,1973(81):637-659.

        [4]HarrisonJM,KrepsDM.MartingalesandArbitrageinMultiperiodSecuritiesMarkets[J].JournalofEconomicTheory,1979(20):381-408.

        Continuous Martingale Research in Option Pricing

        ZHOU Yi-mei,WANG Zhi-fu,TIAN Jun-jie,YANG Ying,LIU Jia-rui

        (School of Mathematics and Physics, Bohai University, Jinzhou Liaoning 121013, China)

        In this paper, we use the relevant knowledge of continuous time martingale theory of classical to derive B-S formula. First, through the introduction of B-S formula require 7 kinds of assumptions to get risk-free securitiesB(t) and common stockS(t) in the expression. Next, through the introduction of Girsanov theorem to apply this theorem in the application of martingale method. Through two steps, B-S formula with normal distribution is obtained.

        Brown movement; Girsanov theorem; standard normal distribution; B-S formula

        2015-07-04

        國家自然科學基金(11671070)。

        周一美(1990- ),女,遼寧興城人,渤海大學數(shù)理學院碩士研究生,從事應用概率統(tǒng)計研究。

        O211.9

        A

        2095-7602(2015)10-0017-03

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