周一美，王志福，田俊杰，楊 影，劉佳瑞

(渤海大學數(shù)理學院，遼寧錦州 121013)

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連續(xù)鞅論在期權(quán)定價中的應用研究

周一美，王志福，田俊杰，楊 影，劉佳瑞

(渤海大學數(shù)理學院，遼寧錦州 121013)

本文運用連續(xù)鞅論的相關(guān)知識對經(jīng)典的期權(quán)定價公式——B-S公式進行推導。首先通過介紹B-S公式所需要的7種假設條件來得到無風險證券B(t)及普通股票S(t)的表達式，其次通過介紹Girsanov定理，并在鞅方法的運用中應用此定理，通過兩步進行推導，最后得出含有正態(tài)分布的B-S公式。

布朗運動；Girsanov定理；標準正態(tài)分布；B-S公式

近年來，連續(xù)鞅論在期權(quán)中的應用得到廣泛的關(guān)注。國內(nèi)學者邵宇提出通過鞅方法可以推導出期權(quán)定價中的關(guān)系式，并提出在運用B-S公式時需要的假設條件和工具.在早些年前，國外的學者Harrison J.M.和D.M. Kreps也在多期市場的套利與鞅的問題上進行了分析.本文將二者的研究結(jié)論作進一步的結(jié)合和推導，最后通過已知方法得出B-S公式.

1 B-S公式的假設條件和Girsanov定理

B-S公式即Black-Scholes公式，是期權(quán)定價的核心理論.該理論的運作機制是通過求解Black-Scholes偏微分方程，從而導出定價公式.

Black-Scholes公式需要以下幾種假設：(1)市場中允許賣空證券，沒有交易費用、稅收和保證金；(2)沒有股利支付；(3)無風險利率r為常數(shù)且固定的，投資者可以此利率無限制的存款或貸款；(4)不存在無風險套利機會；(5)信息結(jié)構(gòu)是由布朗運動產(chǎn)生的，F(xiàn)t=σ(Os，s≤t)，t∈[0，T]；(6)證券高度可分，交易連續(xù)；(7)市場上長期存在兩種證券，分別為無風險證券B(t)以及普通股票S(t).

B(t)的價值過程為

dB(t)=rB(t)dt，t∈[0，T].

(1)

S(t)的價值過程遵循幾何布朗運動

dS(t)=μS(t)dt+σS(t)dO(t)，t∈[0，T].

(2)

其中，μ為平均收益率，σ為波動率，O(t)為標準布朗運動，T為期權(quán)到期時刻.

通過求解(1)，(2)得到

B(t)=ert.

定理1 (Girsanov定理)

2 利用鞅方法推導B-S公式

利用鞅方法推導B-S公式大致分為兩個步驟.

2.1 步驟一，將貼現(xiàn)后的風險資產(chǎn)價格轉(zhuǎn)變成鞅

將無風險證券B(t)作為標準化證券，令

或者

de-rtS(t)=e-rt(μ-r)S(t)dt+e-rtσS(t)dO(t).

設O(t)的分布函數(shù)為P，定義為

用它乘以密度函數(shù)得到新測度Q并滿足：

定義一個Ft-適應的隨機過程：

(3)

2.2 步驟二，在Q下計算貼現(xiàn)后的期權(quán)價格

根據(jù)定價原理，任意一有消費(或者有權(quán)益證券)的價格都是一個Q鞅，即

c(t)=e-r(T-t)EQ[c(T)|Ft] .

將c(T)=[S(T)-K]+=max(S(T)-K, 0) 代入上式，得到

c(t)=EQ{e-r(T-t)[S(T)-K]+|Ft}.

(5)

故(5)可以化為

(6)

式(6)可化為

令

則

其中，F(xiàn)(.)為標準正態(tài)分布函數(shù)，則

[1]邵宇.微觀金融學及其數(shù)學基礎[M].北京:清華大學出版社有限公司,2003:240-243.

[2]胡迪鶴.隨機過程論[M].武漢:武漢大學出版社,2005:360-410.

[3]BlackF,ScholesM.ThePricingofOptionsandCorporateLiabilities[J].JournalofPoliticalEconomy,1973(81):637-659.

[4]HarrisonJM,KrepsDM.MartingalesandArbitrageinMultiperiodSecuritiesMarkets[J].JournalofEconomicTheory,1979(20):381-408.

Continuous Martingale Research in Option Pricing

ZHOU Yi-mei，WANG Zhi-fu，TIAN Jun-jie，YANG Ying，LIU Jia-rui

(School of Mathematics and Physics, Bohai University, Jinzhou Liaoning 121013, China)

In this paper, we use the relevant knowledge of continuous time martingale theory of classical to derive B-S formula. First, through the introduction of B-S formula require 7 kinds of assumptions to get risk-free securitiesB(t) and common stockS(t) in the expression. Next, through the introduction of Girsanov theorem to apply this theorem in the application of martingale method. Through two steps, B-S formula with normal distribution is obtained.

Brown movement; Girsanov theorem; standard normal distribution; B-S formula

2015-07-04

國家自然科學基金(11671070)。

周一美(1990- )，女，遼寧興城人，渤海大學數(shù)理學院碩士研究生，從事應用概率統(tǒng)計研究。

O211.9

A

2095-7602(2015)10-0017-03