陳 龍， 王 麗， 陶坤宇

（上海無線電設備研究所，上海200090）

0 引言

在導彈打靶試驗中，脫靶量的測量對鑒定和評估導彈性能起著重要的作用。當前脫靶量測量中應用較多的是基于彈目交會段多普勒頻率變化率的無線電測量方法。由于彈目交會段多普勒頻率的時變特性以及近場體目標效應的影響，使得多普勒頻譜被展寬，從而降低了脫靶量的估計精度。因此，在彈目交會過程中，根據目標回波信號的特點，針對FFT 方法估計多普勒頻率的不足，本文采用分數階傅里葉變換的方式測量多普勒頻率，提高了測量精度。

1 標量脫靶量的多普勒測量原理

假設無線電脫靶量測量設備安裝于靶標上，導彈相對靶標作勻速直線運動，導彈運動軌跡與靶標相距最近的點到靶標的距離即為待測的脫靶量。在彈目共面遭遇時，以某時刻導彈的位置為基準點，且設定為坐標原點。導彈與靶標連線方向為x 軸，垂直該連線方向為y 軸，如圖1所示。在彈目交會階段，導彈A 相對靶機B以勻速vr飛行。記基準點時刻t＝0。在t0時刻，導彈與靶標交會于M 點，即當t＝t0時，導彈處于脫靶點位置（M 點），其與靶標間的距離最短，此時多普勒頻率fD（t0）＝0。

圖1 導彈-靶機交會示意圖

在彈目交會段，實時多普勒頻率為

式中：vr導彈相對靶標的速度；θ為相對速度矢量與彈目連線的夾角；λ為載波波長。

由圖1知

式中：t0為從基準點運動到遭遇點的時間；t為從基準點起的任意時刻；ρ 為脫靶量。多普勒頻率為

式中：ρ為脫靶量。設λ＝18.75mm；脫靶量分別為0.5，2，4，6，8，10m；相對速度vr分別為200，600，1 000m／s，1 500m／s；坐標原點為脫靶點前0.15s處，即t0＝0.15s。根據式（3），得到不同脫靶量、不同速度情況下的多普勒頻率變化情況如圖2所示。

圖2 不同速度、不同脫靶量情況下的多普勒頻率

從圖2中可看出，不同彈目相對速度及脫靶量情況下，回波多普勒信號的初始頻率和頻率變化率有較大差異。彈目相對速度越大，回波多普勒信號的初始頻率越高；相對速度相同時，回波多普勒信號的起始頻率相同，且脫靶量越小，交會時間越短，多普勒頻率的變化率越大。

由式（3）可知，彈目交會時，在相對速度vr一定的情況下，彈目多普勒曲線的變化僅與脫靶量ρ有關。也就是說，在距脫靶點同一個時刻（t0-t），不同的脫靶量ρ對應的多普勒頻率fD各不相同。當已知相對速度、工作波長的情況下，測量運動過程中任意兩個不同時刻對應的多普勒頻率，即可求解交會時刻t0及脫靶量ρ。

選取t1＝t（i）及t2＝t（j）兩個時刻的采樣數據，代入式（3），得方程組為：

即

令

由牛頓迭代法，可得

其中：

在彈目交會全過程中，為消除隨機誤差的影響，對連續(xù)測量多普勒信號頻率求解的脫靶量取平均，可以進一步提高脫靶量估計精度。

2 基于FRFT 的多普勒頻率估計

在彈目交會階段的多普勒信號可以近似為一段LFM 信號，分數階傅里葉變換是一種廣義的傅里葉變換，其核函數為

改變角度α，可對應不同的分數階傅里葉變換的基。當LFM 信號的調頻率與某一分數階傅里葉變換基的調頻率吻合，信號的分數階傅里葉變換就在該變換基上成為一個沖激函數。

假設多普勒信號時域表達式為

式中：f0為被分析時間段內信號的中心頻率；k為調頻斜率；T 為調制周期。

假設系統(tǒng)采樣頻率為fs，采樣點數為N，F(xiàn)RFT 階數為p，以p 為變量，對LFM 信號進行FRFT，形成（p，u）平面，其中p 從0 到4 滿足FRFT 的一個周期，在此二維平面上進行搜索，得到LFM 信號FRFT 域功率峰值相對應的位置（p0），p0即為FRFT 分析的最佳階數。最佳FRFT 旋轉角度α0＝πp0／2。

根據FRFT 峰值位置（p0）可得中心頻率f0及調頻斜率k的估計值：

設彈目相對速度vr＝1 500m／s，脫靶量ρ＝5 m，在采樣頻率fs＝1 MHz的條件下，在交會段脫靶點前10ms時間內進行仿真。多普勒時域信號、FFT 功率譜和FRFT 功率譜分別如圖3、圖4和圖5所示。

圖3 多普勒時域信號

圖4 FFT 功率譜

圖5 FRFT 功率譜

仿真結果表明，交會段多普勒信號經過FRFT 變換后，窄帶調頻頻譜在頻率軸上出現(xiàn)能量聚集，在某一頻點出現(xiàn)最大值，其譜線類似于點頻譜線。相對于FFT，F(xiàn)RFT 能夠更可靠的檢測，并計算出中心頻率，為下一步計算脫靶量提供準確參考。另外，為驗證FRFT 頻率估計的有效性，選取多組多普勒時域信號分別作FFT 和FRFT 運算，獲得的多普勒頻率如表1 所示。由表可見FRFT 具有更高的頻率估計精度。

表1 FFT及FRFT頻率估計結果對照表

表中：fD為理倫值；＾fD為估計值；絕對誤差為Δf＝＾fD-fD，相對誤差Δf／fD。

3 基于FRFT 的脫靶量仿真

假設系統(tǒng)工作頻率f0＝16GHz，即工作波長λ＝0.018 75m，測量系統(tǒng)采樣頻率fs＝1 MHz，信噪比SNR＝10dB，則經過FRFT 后的多普勒頻率估計結果與理論多普勒頻率對比如圖6所示。

在vr＝（200～1 500）m／s，ρ＝（0.5～10）m范圍內分別進行仿真驗證，其結果如表2所示。

4 結論

本文提出了基于分數階傅里葉變換（FRFT）的目標回波多普勒頻率估計算法，并根據牛頓迭代法估計標量脫靶量，通過仿真分析，證明本算法相對普通FFT 算法，具有更高的估計精度。

圖6 FRFT 頻率估計結果與理論多普勒頻率對比圖

表2 FRFT脫靶量估計結果

［1］ 陶然，鄧兵，王越.分數階傅里葉變換及其應用［M］.北京：清華大學出版社，2009.

［2］ 李興民，周敬國.導彈脫靶量測量方法研究［J］.戰(zhàn)術導彈技術，2004，（2）：22-25.

［3］ 趙興浩，鄧兵，陶然.分數階傅里葉變換數值計算中的量綱歸一化［J］.北京理工大學學報，2005，25（4）：360-364.

［4］ 張雯雯，劉黎平.一種簡化的分數階傅里葉變換及其應用［J］.數據采集與處理，2009，24（6）：814-818.