鮑吉鋒

（浙江海洋學(xué)院數(shù)學(xué)系，浙江 舟山 316022）

0 引言

《數(shù)學(xué)物理方程》以來(lái)源于物理、化學(xué)、力學(xué)等自然科學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域的偏微分方程（組）作為主要研究對(duì)象，系統(tǒng)地介紹數(shù)學(xué)模型的導(dǎo)出和各類(lèi)定解問(wèn)題的求解方法，討論三類(lèi)典型方程的適定性基本理論，對(duì)提高數(shù)學(xué)專業(yè)人才的數(shù)學(xué)素養(yǎng)起到十分重要的作用，服務(wù)工科學(xué)科的功能異常顯著。數(shù)學(xué)學(xué)科本身各分支聯(lián)系日趨密切，數(shù)學(xué)物理方程是溝通數(shù)學(xué)各分支的重要橋梁，其中最典型的就是微分幾何①。有別于其他課程，《數(shù)學(xué)物理方程》把數(shù)學(xué)理論、解題方法和實(shí)際應(yīng)用緊密結(jié)合起來(lái)了，對(duì)培養(yǎng)大學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)和研究能力有極大的功效。因此，無(wú)論從理論還是從應(yīng)用來(lái)看，《數(shù)學(xué)物理方程》課程都是一門(mén)十分重要的基礎(chǔ)課程。為此，各高校紛紛建立網(wǎng)絡(luò)精品課程[1-2]，對(duì)教學(xué)方式、方法加以改進(jìn)。教學(xué)研究論文亦層出不窮[3-4]。

然而，《數(shù)學(xué)物理方程》始終是本科理科和工科專業(yè)課程中的硬骨頭，學(xué)生在學(xué)習(xí)之初興趣濃烈，隨著課程深入，積極性馬上降溫，期末成績(jī)普遍不太理想。究其原因，我們將其歸結(jié)為如下幾點(diǎn)：第一，課程的知識(shí)點(diǎn)多，涉及面極其廣泛，學(xué)好這門(mén)課程十分辛苦；第二，對(duì)于數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生而言，不熟悉物理背景知識(shí)導(dǎo)致理解困難，對(duì)于工科學(xué)生而言，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)欠缺導(dǎo)致學(xué)習(xí)吃力；第三，這個(gè)課程主要以偏微分方程為研究對(duì)象，數(shù)學(xué)推導(dǎo)過(guò)程繁瑣，所得到的結(jié)果形式復(fù)雜，往往以積分或者級(jí)數(shù)形式表達(dá)，其中還免不了使用三角函數(shù)或者特殊函數(shù)，學(xué)生容易產(chǎn)生畏難情緒；第四，該課程與數(shù)學(xué)其他分支如《數(shù)學(xué)分析》、《常微分方程》等課程聯(lián)系密切，學(xué)習(xí)過(guò)程中新舊知識(shí)銜接不暢，學(xué)習(xí)積極性受挫。

本文針對(duì)上述分析得出的問(wèn)題癥結(jié)，梳理所積累的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，提出五點(diǎn)想法，以期在《數(shù)學(xué)物理方程》教學(xué)改革中拋磚引玉。在課程教學(xué)實(shí)踐中提高學(xué)生的主觀能動(dòng)性、增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力,是我們一直努力堅(jiān)守的事業(yè)，熱切期盼本課程成為一門(mén)生動(dòng)的、充滿現(xiàn)代氣息的課程。

1 個(gè)人體會(huì)（教學(xué)改革方法與措施）

1.1 加強(qiáng)背景故事介紹，增強(qiáng)趣味性

興趣是最好的老師，提高復(fù)雜知識(shí)的趣味性可以大大提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。數(shù)學(xué)物理方程中所研究的幾類(lèi)方程的導(dǎo)出都經(jīng)歷了一個(gè)漫長(zhǎng)的過(guò)程，甚至富有曲折的故事情節(jié)，例如Russell與KdV方程的導(dǎo)出就是一個(gè)很精彩的故事。此外，達(dá)朗貝爾（d′Alembert）對(duì)弦振動(dòng)方程，F(xiàn)ourier對(duì)熱傳導(dǎo)方程的研究過(guò)程所折射出的科學(xué)精神也是特別值得向?qū)W生介紹的?，F(xiàn)舉兩例加以說(shuō)明。

熱傳導(dǎo)方程：Fourier在1807年就提交了第一篇關(guān)于熱傳導(dǎo)的論文，當(dāng)時(shí) Laplace（1749－1827）和 Lagrange（1736－1813）等人是評(píng)閱人，F(xiàn)ourier在1811年呈上修改過(guò)的論文，并得到獎(jiǎng)金，但未發(fā)表在當(dāng)時(shí)法國(guó)科學(xué)院《報(bào)告》上，1922年Fourier發(fā)表了他的名著《熱的解析理論》，兩年后Fourier成為科學(xué)院秘書(shū)，把1811年修改過(guò)的論文，發(fā)表在科學(xué)院《報(bào)告》?！稛岬慕馕隼碚摗吩摃?shū)研究了有限長(zhǎng)桿上的熱傳導(dǎo)方程的混合初邊值問(wèn)題的解，并用今天熟知的分離變量法將解寫(xiě)成級(jí)數(shù)。最后一部分討論半無(wú)限長(zhǎng)桿上的溫度分布，得到Fourier積分，也就是Fourier變換。

這樣一個(gè)充滿戲劇性的故事可以立刻提高將學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。有心的教師還可以借此機(jī)會(huì)給學(xué)生適當(dāng)滲透思想教育，教育學(xué)生不要憤世嫉俗，人情冷暖古今中外概莫能免，以平常心面對(duì)社會(huì)現(xiàn)實(shí)乃明智之舉。

KdV方程：1834年英國(guó)科學(xué)家Russell在第十四屆科學(xué)進(jìn)展大會(huì)（14th meeting of the British Association for the Advancement of Science）上以《論波動(dòng)》（Report on Waves）為題生動(dòng)地描述了他是如何發(fā)現(xiàn)孤立波的。因?yàn)檫@個(gè)發(fā)現(xiàn)在當(dāng)時(shí)看來(lái)太違背常理，多次遭到當(dāng)時(shí)權(quán)威人物的否定。可是，Russell在自家后花園建立池塘力圖重復(fù)自己所看到的場(chǎng)景，雖然最終未能實(shí)現(xiàn)，科學(xué)精神足以讓人敬仰。

如果老師用英語(yǔ)深情重現(xiàn)Russell在第十四屆科學(xué)進(jìn)展大會(huì)報(bào)告的情景，效果將是可以預(yù)期的 （此處作為資料給出這段話：I was observing the motion of a boat which was rapidly drawn along a narrow channel by a pair of horses,when the boat suddenly stopped not so the mass of water in the channel which it had put in motion;it accumulated round the prow of the vessel in a state of violent agitation,then suddenly leaving it behind,rolled forward with great velocity,assuming the form of a large solitary elevation,a rounded,smooth and well-defined heap of water,which continued its course along the channel apparently without change of form or diminution of speed.I followed it on horseback,and overtook it still rolling on at a rate of some eight or nine miles an hour,preserving its original figure some thirty feet long and a foot to a foot and a half in height.Its height gradually diminished,and after a chase of one or two miles I lost it in the windings of the channel.Such,in the month of August 1834,was my first chance interview with that singular and beautiful phenomenon which I have called the Wave of Translation[5].）。

1.2 注意前后課程銜接，化解理解困難

《數(shù)學(xué)物理方程》除了與現(xiàn)實(shí)聯(lián)系緊密，還與其他數(shù)學(xué)分支關(guān)系密切。與《數(shù)學(xué)物理方程》聯(lián)系最為緊密的課程莫過(guò)于《數(shù)學(xué)分析》，《常微分方程》?？墒?，這些課程本身難度大，《數(shù)學(xué)物理方程》中用到的知識(shí)點(diǎn)也是當(dāng)中的難點(diǎn)，例如散度定理，鏈?zhǔn)椒▌t，常系數(shù)高階常微分方程的求解等。

《數(shù)學(xué)物理方程》是高年級(jí)課程，數(shù)學(xué)學(xué)科的環(huán)環(huán)相扣的特征決定了老師授課必須適時(shí)注意回顧舊知識(shí)，只有做好、做足承上啟下的銜接工作，學(xué)生聽(tīng)課才不至于腦子“斷電”。

例1 在講分離變量法時(shí)，必須及時(shí)給學(xué)生回顧《常微分方程》中的常系數(shù)方程求解方法，否則，分離變量所得的常微分方程的求解也會(huì)被卡住。又比如《數(shù)學(xué)分析》中的Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)定理本身就不容易記住，如果不及時(shí)回顧，學(xué)生很有可能在最終確定級(jí)數(shù)解的系數(shù)時(shí)不知所以然，而在求解的最后一步卡住。

例2 在講授能量不等式之前，必須花一定時(shí)間全面總結(jié)《數(shù)學(xué)分析》中的積分定理，即Green公式，Gauss公式，Stokes公式等。尤其必要補(bǔ)充《數(shù)學(xué)分析》課后習(xí)題中給出的[6]

以及Green第一恒等式：

和Green第二恒等式：

甚至一般的散度定理。我們的經(jīng)驗(yàn)是專門(mén)制作一個(gè)課時(shí)的課件系統(tǒng)地加以介紹。

例3 回顧常微分方程的通解結(jié)構(gòu)，幫助理解記憶偏微分方程通解結(jié)構(gòu)。給學(xué)生交待：對(duì)于常微分方程而言，方程是幾階的，它的通解中就包含幾個(gè)任意常數(shù)。據(jù)此引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比得出：對(duì)于偏微分方程而言，方程是幾階的，它的通解中就包含幾個(gè)任意函數(shù)。此外，結(jié)合數(shù)學(xué)分析，在課程開(kāi)始階段引導(dǎo)學(xué)生推出如下簡(jiǎn)單微分方程的通解也是極其必要的。

其中f(·)為任意連續(xù)可微函數(shù)；

其中 f(·)，g(·)為任意連續(xù)可微函數(shù)。

1.3 挖掘物理背景，提高記憶效果

《數(shù)學(xué)物理方程》相對(duì)其他數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程的優(yōu)勢(shì)在于應(yīng)用性，每一個(gè)公式，每一條定理都來(lái)源于物理規(guī)律。把物理背景交代清楚，學(xué)生理解和記憶方面的困難便可大大減輕，學(xué)習(xí)興趣也會(huì)明顯提升。例如波動(dòng)方程的推導(dǎo)，既可以用牛頓第二定律“F=ma”推導(dǎo)，也可以根據(jù)動(dòng)量守恒定律“沖量=動(dòng)量改變量”推導(dǎo)；由于“熱量從溫度高的地方流向溫度低的地方”，所以熱傳導(dǎo)方程關(guān)于時(shí)間是不可逆的。教師結(jié)合物理規(guī)律來(lái)講解，學(xué)生結(jié)合熟識(shí)的物理規(guī)律來(lái)學(xué)習(xí)和記憶，自然事半功倍。而且可以幫助學(xué)生將短時(shí)記憶變成長(zhǎng)時(shí)記憶。

再舉個(gè)具體的例子，初學(xué)者對(duì)哪怕形式最簡(jiǎn)單的初邊值問(wèn)題

也是望而生畏的。我們的經(jīng)驗(yàn)是，通過(guò)用“F=ma”和“沖量=動(dòng)量改變量”兩個(gè)物理規(guī)律建立方程的過(guò)程，學(xué)生對(duì)弦振動(dòng)建模已有較深的認(rèn)識(shí)，只是對(duì)附加的初、邊值條件很茫然，此時(shí)不宜立刻進(jìn)入達(dá)朗貝爾公式和分離變量法來(lái)求解。這里我們可以設(shè)計(jì)例題講解初值條件和三類(lèi)邊界條件，使之認(rèn)清定解條件的物理意義，就可以加強(qiáng)印象，既深化了對(duì)整個(gè)弦振動(dòng)模型式（3）的理解，又可幫助記憶。

初值條件的認(rèn)識(shí)：

例1 在d處將弦拉到h處?kù)o止（如圖），則初始位置φ(x)有表達(dá)式：

例2 弦靜止于平衡位置，經(jīng)敲擊后開(kāi)始振動(dòng)，求初始位移φ(x)和速度 φ(x)。

三類(lèi)邊界條件的認(rèn)識(shí)：

例1（Dirichlet條件） 長(zhǎng)為l的弦兩端固定，則u(0,t)=u(l,t)=0。

例2（Neumann條件） 弦的端點(diǎn)自由滑動(dòng)，即端點(diǎn)不受垂直方向力的作用，從而張力在垂直方向的分量為零，即ux(0,t)=ux(l,t)=0。

例3（Robin條件） 弦的端點(diǎn)固定在彈性支撐上（彈性系數(shù)分別設(shè)為 k1，k2）。 根據(jù)胡克（Hooke）定律，

在上述特殊例子講解的基礎(chǔ)上，再總結(jié)出三類(lèi)邊界條件，學(xué)生往往就可以接受了。

1.4 突出問(wèn)題實(shí)質(zhì)，繞開(kāi)復(fù)雜計(jì)算、證明

《數(shù)學(xué)物理方程》的計(jì)算和證明都是異常復(fù)雜的，基礎(chǔ)稍差的學(xué)生就有可能因?yàn)槲窇掷щy而中途放棄。對(duì)于高年級(jí)學(xué)生，點(diǎn)撥思路遠(yuǎn)比公式演算重要，他們已經(jīng)脫離了計(jì)算的階段了，因?yàn)槟遣皇菙?shù)學(xué)的本質(zhì)。《數(shù)學(xué)物理方程》求解的一個(gè)基本的原則就是“化偏微分方程為常微分方程”[4]，分離變量法，F(xiàn)ourier變換法，Laplace變換法無(wú)不體現(xiàn)這一原則，講課過(guò)程中應(yīng)集中精力引導(dǎo)學(xué)生“化偏微分方程為常微分方程”，而不是把時(shí)間精力耗費(fèi)在具體的計(jì)算上。變分法思想其實(shí)就是“求泛函的極值點(diǎn)”，這是又一個(gè)本質(zhì)的東西，教師應(yīng)根據(jù)函數(shù)極值的求法，引導(dǎo)學(xué)生找“駐點(diǎn)”并最終解決問(wèn)題，計(jì)算當(dāng)然是次要的東西。因此有經(jīng)驗(yàn)的教師往往會(huì)只講結(jié)構(gòu)和思路，抓住問(wèn)題本質(zhì)，給予學(xué)生方法論的引導(dǎo)，才能穩(wěn)定其情緒，幫助建立信心。下面舉個(gè)具體例子來(lái)說(shuō)明。

對(duì)于

通過(guò)變換：

可將方程式（3）化成

從式（1）發(fā)現(xiàn)其通解為：

據(jù)此，對(duì)于波動(dòng)方程

可以聯(lián)想到完全平方式，形式上將其分解[7]

學(xué)生立即可以根據(jù)式（6）去推測(cè)式（7）的通解形式：

u(x,y)=F(x-at)+G(x+at)

在上述處理過(guò)程中，避免了由式（7）化成 uξη(ξ,η)=0 的十分復(fù)雜的過(guò)程，但是，上述求解過(guò)程也并沒(méi)有忽略了這種變量替換的思想，實(shí)際上包含在由式（4）化為式（5）的過(guò)程中了。

1.5 借助數(shù)學(xué)軟件輔助教學(xué)，培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)物理方程的意識(shí)

Matlab，Maple，Mathematic等數(shù)學(xué)軟件都具有強(qiáng)大的處理微分方程的能力，例如Matlab工具箱中的PDE包可以用于求解三類(lèi)典型二階偏微分方程的定解問(wèn)題，掌握起來(lái)容易，使用起來(lái)方便②，還可以通過(guò)圖像直觀地演示所得的解[8]。Matlab還有強(qiáng)大的符號(hào)運(yùn)算能力，也可以用于求解通解。其實(shí)符號(hào)運(yùn)算功能Maple比Matlab稍勝一籌。如果教學(xué)過(guò)程中教師能現(xiàn)場(chǎng)演示一兩個(gè)例子，并布置相關(guān)習(xí)題，學(xué)生積極性可以極大地調(diào)動(dòng)起來(lái)，還可以激發(fā)學(xué)生主動(dòng)運(yùn)用微分方程解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)。

2 結(jié)語(yǔ)

教學(xué)有法，教無(wú)定法，教學(xué)理論改革往往仁者見(jiàn)仁，智者見(jiàn)智，教學(xué)實(shí)踐改革也是八仙過(guò)海、各顯神通。教學(xué)改革不要拘泥于形式，套用鄧小平同志經(jīng)濟(jì)改革經(jīng)驗(yàn)之談：白貓黑貓能逮住耗子的就是好貓，可謂是恰如其分。而且，他人成功經(jīng)驗(yàn)往往不可復(fù)制。所以，教學(xué)改革是沒(méi)有止境的，怎么研究都不過(guò)分，這就是教學(xué)改革的困擾之所在，也是教學(xué)改革的魅力之所在。本文只是個(gè)人經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)，其適用面的大小無(wú)法預(yù)知，能夠起到拋磚引玉之功效，便心滿意足了！

［1］http://lgxy.jnu.edu.cn/sxwlfc/Content.Asp?m=24(暨南大學(xué)數(shù)學(xué)物理方程精品課程,負(fù)責(zé)人:馬宏偉)[OL].

［2］http://desktop.swpu.edu.cn:8000/C1138/zcr-1.htm(西南石油大學(xué)數(shù)學(xué)物理方程精品課程網(wǎng)站,負(fù)責(zé)人:吳小慶)[OL].

［3］王琦.“數(shù)學(xué)物理方程”課程教學(xué)改革的探索與實(shí)踐[J].廣東工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào):社會(huì)科學(xué)版,2010,2:1-4.

［4］李芳,薛波,曹建莉.“數(shù)學(xué)物理方程”課程教學(xué)改革試探[J].中國(guó)電力教育,2011,22:22-25.

［5］L.Rosier,B-Y.Zhang,Control and stabilization of the Kortewege-de Vries equation:recent progress[J].Journal of Systems Science and Complexity,2009,22:647-682.

［6］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析下冊(cè)[M].3版.北京:高等教育出版社,2001.

［7］姜禮尚,陳亞浙,等.數(shù)學(xué)物理方程講義[M].北京:高等教育出版社,2003.

［8］薛定宇,陳陽(yáng)泉.高等應(yīng)用數(shù)學(xué)問(wèn)題的Matlab求解[M].北京:清華大學(xué)出版社,2004.

［9］谷超豪,李大潛.等,數(shù)學(xué)物理方程[M].北京:高等教育出版社,2002.

注釋：

①龐加萊(Poincare)猜想這個(gè)純幾何問(wèn)題最終就是轉(zhuǎn)化成偏微分方程解決的.

②在命令窗口鍵入pdetool即可調(diào)用.