劉革　鄧慶彪

摘要：給出保單持有人退保行為影響下的變額年金定價(jià)模型和對(duì)沖模型，當(dāng)保單持有人分別采取無(wú)退保、固定退保和動(dòng)態(tài)退保三種行為策略時(shí)，基于包含最低身故利益保證、最低滿(mǎn)期利益保證和最低提取利益保證的三種不同的變額年金，運(yùn)用蒙特卡羅模擬測(cè)試出保單持有人采取不同的退保策略對(duì)不同利益保證的變額年金風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖有著顯著的不同影響。

關(guān)鍵詞： 退保行為；變額年金；最低利益保證；風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖

中圖分類(lèi)號(hào)：D912.28文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1003-7217（2015）02-0022-06

一、引言

2011年5月，中國(guó)保監(jiān)會(huì)先后發(fā)布了《關(guān)于開(kāi)展變額年金保險(xiǎn)試點(diǎn)的通知》和《變額年金保險(xiǎn)管理暫行辦法》，并正式在北京、上海、廣州、深圳、廈門(mén)五市啟動(dòng)變額年金保險(xiǎn)的試點(diǎn)工作。變額年金種類(lèi)復(fù)雜，技術(shù)性強(qiáng)，對(duì)資本市場(chǎng)的要求非常高，若經(jīng)營(yíng)不善，可能會(huì)使保險(xiǎn)公司蒙受重大虧損。因此，在引入變額年金的同時(shí)如何合理控制風(fēng)險(xiǎn)是各大保險(xiǎn)公司需要考慮的問(wèn)題。由于我國(guó)保險(xiǎn)市場(chǎng)并不完善，保監(jiān)會(huì)在變額年金試點(diǎn)中，只允許保險(xiǎn)人提供風(fēng)險(xiǎn)相對(duì)較低的四類(lèi)保證，它們分別是最低累積利益保證（GMAB）、最低滿(mǎn)期利益保證（GMMB）、最低年金給付保證（GMIB）和最低身故利益保證（GMDB）。對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)較高的最低提取利益保證（GMWB）則暫不允許提供。而在國(guó)外，銷(xiāo)售業(yè)績(jī)最好的變額年金則恰恰是最低提取利益保證，其產(chǎn)品的年金給付期一般為15～20年，終身型GMWB的期限則更長(zhǎng)，這在一定程度上是符合消費(fèi)者需求的。在我國(guó)金融市場(chǎng)和保險(xiǎn)市場(chǎng)發(fā)展逐漸完善的未來(lái)，我國(guó)很有必要開(kāi)發(fā)此類(lèi)保險(xiǎn)產(chǎn)品。

在國(guó)外的變額年金研究中，保單持有人退保行為和風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖都是熱點(diǎn)問(wèn)題，但把兩者結(jié)合起來(lái)研究的還比較少。研究保單持有人退保行為對(duì)風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖的影響的文獻(xiàn)也主要集中在風(fēng)險(xiǎn)較大、近年來(lái)在國(guó)外比較流行的最低提取利益保證（GMWB）方面，而對(duì)風(fēng)險(xiǎn)較小的最低累積利益保證（GMAB）、最低年金給付保證（GMIB）則少有研究。在允許離散提取的前提下，Bacinello等（2011）在更一般化資本市場(chǎng)模型下，考慮了一系列的采用隨機(jī)利率和隨機(jī)波動(dòng)率模型的保證定價(jià)，特別是對(duì)于最低提取利益保證（GMWB），作者采用了標(biāo)準(zhǔn)蒙特卡羅模擬來(lái)對(duì)靜態(tài)行為策略（每年提取量為G且無(wú)退保）進(jìn)行定價(jià)[1]；在隨機(jī)利率模型和每年提取量為G且無(wú)退保的靜態(tài)連續(xù)提取策略假設(shè)下，Peng等（2012）給出了GMWB定價(jià)的上下邊界[2]；在忽略死亡率和假設(shè)保單持有人采取靜態(tài)提取行為且無(wú)退保的情形下，Thorsten Moenig和Daniel Bauer（2011）深入分析了保單持有人的取款行為。他們指出保單持有人的提取行為會(huì)受到產(chǎn)品設(shè)計(jì)等的影響，而產(chǎn)品的定價(jià)和管理過(guò)程也會(huì)反過(guò)來(lái)受到保單持有人的提取行為的影響[3]。

國(guó)內(nèi)方面，對(duì)于保單持有人的研究則主要集中在其權(quán)益保護(hù)方面，有關(guān)保單持有人退保行為的研究基本沒(méi)有。同時(shí)，由于2011年我國(guó)剛剛啟動(dòng)變額年金試點(diǎn)工作，有關(guān)變額年金的研究則大多將重點(diǎn)放在定價(jià)的研究上。徐慧丹（2010）在分析國(guó)內(nèi)外研究成果的基礎(chǔ)上，主要通過(guò)理論探討、個(gè)案分析、博弈均衡分析、國(guó)際對(duì)比研究等方式，考慮了外部法律、內(nèi)部管理、自身保護(hù)三個(gè)維度，并初步建立了符合我國(guó)特色的保單持有人權(quán)益保護(hù)制度[4]；顏榮芳等（2007）闡明了保險(xiǎn)人在年金累積期及年金給付期的不同投資策略，并以此構(gòu)建保險(xiǎn)公司變額年金的最優(yōu)投資控制模型，進(jìn)而得到變額年金產(chǎn)品的最優(yōu)控制策略[5]；徐景峰和廖樸（2012）在固定乘數(shù)平衡管理模式下討論了最低生存保證給付保險(xiǎn)（GMLB）和最低死亡保證給付保險(xiǎn)（GMDB）兩類(lèi)變額年金的風(fēng)險(xiǎn)管理問(wèn)題。結(jié)果表明，如果采用保監(jiān)會(huì)規(guī)定的固定乘數(shù)平衡管理模式來(lái)管理變額年金，適當(dāng)?shù)淖畹褪找媛时ＷC不會(huì)帶來(lái)風(fēng)險(xiǎn)，但當(dāng)最低收益率超過(guò)一定水平時(shí)，變額年金業(yè)務(wù)必然破產(chǎn)[6]；李冰清和廖樸（2012）建立了資產(chǎn)隨機(jī)模型并使用破產(chǎn)概率和尾部期望損失兩個(gè)指標(biāo)度量保險(xiǎn)公司銷(xiāo)售最低生存利益保證保險(xiǎn)（GMLB）和最低身故利益保證保險(xiǎn)（GMDB）承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)[7]；鄧慶彪和戴怡然（2013）在對(duì)變額年金中含有最低累積利益保證的研究中，運(yùn)用蒙特卡羅模擬分析了兩種風(fēng)險(xiǎn)管理模式，即內(nèi)部組合對(duì)沖模式和固定乘數(shù)平衡模式，并對(duì)變額年金在不同的市場(chǎng)狀況下，應(yīng)采取的風(fēng)險(xiǎn)管理方式提出了一些建議：一般情況下，應(yīng)選取優(yōu)化后的固定乘數(shù)平衡模式，選取2～4左右的投資乘數(shù)；當(dāng)市場(chǎng)出現(xiàn)多頭時(shí)，應(yīng)采用內(nèi)部組合對(duì)沖模式[8]。

綜合考慮國(guó)內(nèi)外的研究現(xiàn)狀，本文主要研究保單持有人退保行為對(duì)變額年金中三類(lèi)利益保證（GMIB、GMAB、GMWB）風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖的影響，對(duì)于如今市場(chǎng)上GMIB、GMAB的風(fēng)險(xiǎn)管理和GMWB的推出均有較強(qiáng)的理論價(jià)值和現(xiàn)實(shí)意義。主要研究保單持有人的不同退保行為對(duì)三類(lèi)最低利益保證（最低累積利益保證、最低年金給付保證、最低提取利益保證）的市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖及其有效性的影響，通過(guò)比較三類(lèi)最低利益保證的變額年金在不同保單持有人退保行為下的風(fēng)險(xiǎn)大小及風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖的有效性，分析不同保單持有人退保行為對(duì)三類(lèi)最低利益保證變額年金產(chǎn)品的風(fēng)險(xiǎn)及對(duì)沖是否有影響以及影響究竟有多大。從而針對(duì)保險(xiǎn)公司在推出變額年金產(chǎn)品時(shí)，能夠通過(guò)謹(jǐn)慎的產(chǎn)品設(shè)計(jì)，合理假設(shè)，合理定價(jià)，規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)。

財(cái)經(jīng)理論與實(shí)踐（雙月刊）2015年第2期2015年第2期（總第194期）劉革，鄧慶彪：保單持有人退保行為對(duì)變額年金利益保證風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖的影響研究

二、保單持有人退保行為下的對(duì)沖模型

保單持有人退保行為風(fēng)險(xiǎn)是指在保險(xiǎn)合同沒(méi)有完全履行時(shí)，保單持有人提出解除保險(xiǎn)合同而給保險(xiǎn)人帶來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)。變額年金的利益保證本質(zhì)上是一個(gè)看跌期權(quán)，當(dāng)我們知道了它在某一時(shí)刻的價(jià)值，就可以通過(guò)股票和貨幣來(lái)構(gòu)造一個(gè)適合的虛擬期權(quán)，從而對(duì)其進(jìn)行有效對(duì)沖。本文測(cè)定變額年金利益保證的價(jià)值的主要思想是：t時(shí)刻利益保證價(jià)值可以用所有未來(lái)保證支付減去未來(lái)保證費(fèi)用的現(xiàn)值的期望來(lái)表示，得到利益保證的期權(quán)價(jià)值公式后，由于零時(shí)刻保單的期權(quán)價(jià)值為零，我們就可以得到利益保證的公平保證費(fèi)φ；確定了公平保證費(fèi)后，就能夠進(jìn)行對(duì)沖了。

（一）資本市場(chǎng)

假設(shè)存在概率空間（Ω，F(xiàn)，Q），F(xiàn)=（It）-t∈0，T為此概率空間上的σ域流，Q為風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度。假設(shè)市場(chǎng)上存在兩種主要的可交易資產(chǎn)：S（·）表示風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格，B（·）表示無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格。該市場(chǎng)是無(wú)套利的，可以用風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)來(lái)復(fù)制期權(quán)。假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格變動(dòng)服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)dSt=μStdt+σStdWt，其中，μ為漂移項(xiàng)，σ為波動(dòng)率，Wt為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。假設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的運(yùn)動(dòng)滿(mǎn)足dBt=rBtdt，其中，r為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)常數(shù)利率。

（二）保單模型

考慮一個(gè)期限為T(mén)（其中T為有限整數(shù)）的變額年金保單，在t=0時(shí)，躉交保費(fèi)為P。在保單期內(nèi)，只考慮與保證相關(guān)的費(fèi)用，如連續(xù)扣除的保證費(fèi)和退保費(fèi)用。忽略所有前置費(fèi)用，即假設(shè)保單的交易費(fèi)用、管理費(fèi)用均為零。t時(shí)刻的賬戶(hù)價(jià)值記為AVt。于是有AV0=P。除了GMWB外，只要從保單的賬戶(hù)中有任何提取金額的行為均要收取退保費(fèi)用，為了簡(jiǎn)便起見(jiàn)，本文只討論完全退保，也就是提取金額為當(dāng)時(shí)的所有賬戶(hù)余額。連續(xù)扣除的保證費(fèi)φ為賬戶(hù)價(jià)值的一定比例，而退保費(fèi)用率s為所提取金額的一定比例。為了評(píng)估保單的價(jià)值，需要定義兩個(gè)虛擬賬戶(hù)：Wt和Dt。Wt表示t時(shí)刻的累積提取額的價(jià)值，稱(chēng)作提取賬戶(hù)。每次提取都會(huì)累加到這個(gè)賬戶(hù)中，并且以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率累積到T時(shí)刻。當(dāng)t=0時(shí)，有W0=0。類(lèi)似的，Dt表示t時(shí)刻的死亡收益的價(jià)值，稱(chēng)作死亡收益賬戶(hù)Dt。Dt也以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率累積到T時(shí)刻。當(dāng)t=0時(shí)，D0=0，記t時(shí)刻的最低死亡保證利益為GDt，則有t時(shí)刻的死亡利益為max{AVt，GDt}。如果保單包含GMDB，則GD0=AV0，否則GD0=0。記t時(shí)刻的最低滿(mǎn)期保證利益為GMt，則當(dāng)保單到期時(shí)，保單持有人可以獲得max{AVT，GMT}的利益。如果保單包含GMMB，則GM0=AV0，否則GM0=0。假設(shè)GMMB是累積型的，保證的累積利率為i。記t時(shí)刻的保證賬戶(hù)余額為GWt，t時(shí)刻允許單次領(lǐng)取的最大金額為GEt。如果保單包含GMWB，則GW0=AV0，GE0=xw·AV0，其中xw為提取率，是保證賬戶(hù)的一定比例。否則GW0=0，GE0=0。狀態(tài)向量yt=（AVt，Wt，Dt，GDt，GMt，GWt，GEt）包含了t時(shí)刻有關(guān)含保證利益的變額年金的所有信息。

本文討論的是躉交保費(fèi)的情況，所以，保單持有人的行為僅限于死亡、退保、提取等。假設(shè)只允許在保單周年日退?；蛱崛∏胰绻槐ｋU(xiǎn)人在當(dāng)年死亡的話(huà)，死亡利益也只在保單周年日支付。故這些行為都只在保單周年日，即t=1，2，3…，T等這些整數(shù)時(shí)間點(diǎn)上發(fā)生。所以，在t=1，2，3…，T時(shí)，必須要嚴(yán)格區(qū)分狀態(tài)向量中的變量在死亡利益支付、退保、提取等發(fā)生之前（·）-t和發(fā)生之后（·）+t的價(jià)值。

下面分別描述保單在兩個(gè)保單周年日之間的運(yùn)作過(guò)程和保單周年日前后的轉(zhuǎn)換過(guò)程，通過(guò)這樣的轉(zhuǎn)換過(guò)程，能夠決定任何給定的保單持有人退保行為策略和任何資本市場(chǎng)路徑中狀態(tài)向量中的所有變量的價(jià)值，從而利用蒙特卡羅方法來(lái)分析這樣的保單。

1.兩個(gè)保單周年日之間的運(yùn)作過(guò)程。

賬戶(hù)價(jià)值的變化取決于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格的變化，再考慮到保證費(fèi)，則有：

AV--t+1=AV+t·S-t+1/St·e-φ。兩個(gè)虛擬賬戶(hù)按照無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率累積：W--t+1=W+ter，D--t+1=D+ter。保證賬戶(hù)如下：GD--t+1=GD+t，GM--t+1=（1+i）GM+t，GW--t+1=GW+t，GE--t+1=GE+t。

2.保單周年日前后的運(yùn)作過(guò)程。

（1）保單持有人死亡。

由于模型假設(shè)死亡只發(fā)生在保單周年日，故在期間（t，t+1]死亡等同于在t+1時(shí)刻死亡。死亡收益將加入死亡收益賬戶(hù)中：D+-t+1=D--t+1+max{GD--t+1；AV--t+1}。

因?yàn)楸纬钟腥怂劳?，未?lái)收益便不存在了，于是，AV+-t+1=0，GD+-t+1=GM+-t+1=GW+-t+1=GE+-t+1=0。而提取賬戶(hù)保持不變，W+-t+1=W--t+1，保單終止。（2）保單持有人存活并退保。

保單持有人退保，保單失效。AV+-t+1=0，GD+-t+1=GM+-t+1=GW+-t+1=GE+-t+1=0。

死亡收益賬戶(hù)保持不變，D+-t+1=D--t+1。

扣除退保費(fèi)用后的賬戶(hù)余額加入到提取賬戶(hù)中，W--t+1=W+-t+1+（1-s）×AV--t+1，其中s為退保費(fèi)用率，為賬戶(hù)余額的一定比例。

（3）保單持有人存活且不退保。

對(duì)于GMDB和GMMB來(lái)說(shuō)，保單持有人不采取任何行動(dòng)，W+-t+1=W--t+1，D+-t+1=D--t+1，AV+-t+1=AV--t+1，GD+-t+1=GD--t+1，GM+-t+1=GM--t+1，GW+-t+1=GW--t+1，GE+-t+1=GE--t+1。

對(duì)于GMWB來(lái)說(shuō)，保單持有人將進(jìn)行提取。為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，本文假設(shè)保單持有人的提取額等于每次保證提取的最大限額。則有AV+-t+1=max{AV--t+1-GE--t+1，0}，W+-t+1=W--t+1+GE--t+1，D+-t+1=D--t+1，GD+-t+1=GD--t+1，GW+-t+1=GW--t+1-GE--t+1，GE+-t+1=GE--t+1。

3.保單到期日T時(shí)刻的收益。

在保單到期日T時(shí)刻：對(duì)于GMDB來(lái)說(shuō)，如果保單持有人存活，則到期利益為剩余賬戶(hù)價(jià)值A(chǔ)V-T，否則到期利益為max{AV-T；GD-T}；對(duì)于GMMB來(lái)說(shuō)，如果保單持有人存活，則到期利益為max{AV-T；GM-T}，否則到期利益為剩余賬戶(hù)價(jià)值A(chǔ)V-T；對(duì)于GMWB來(lái)說(shuō)，如果保單持有人存活，則到期利益為max{AV-T；GE-T}，否則到期利益為剩余賬戶(hù)價(jià)值A(chǔ)V-T。

（三）保證利益的價(jià)值

假設(shè)保單持有人購(gòu)買(mǎi)保單時(shí)的年齡為x歲，tpx表示x歲的人存活t年的概率，q-x+t表示x+t歲的人在下一年死亡的概率，則保單持有人在區(qū)間（t，t+1]內(nèi)死亡的概率為tpx·q-x+t。

考慮大量的保單持有人，他們購(gòu)買(mǎi)了同樣的保險(xiǎn)，有著同樣的年齡、性別和死亡率，而他們的行為可能會(huì)有所不同。假設(shè)保單持有人的數(shù)量足夠多以致實(shí)際死亡人數(shù)與概率q-x+t表示的死亡人數(shù)會(huì)保持一致。

假設(shè)保單持有人的退保行為由一族隨機(jī)變量ξ=（ξt）-t=1，…，T所確定，其中0≤ξt≤1，t=1，…，T。它表示t時(shí)刻退保的保單持有人占當(dāng)時(shí)總?cè)藬?shù)的比例。

對(duì)于給定的保單持有人退保行為假設(shè)ξ=（ξt）-t=1，…，T，保單池中的所有現(xiàn)金流都由給定的資本市場(chǎng)情況決定。因此，時(shí)刻i∈{1，2，…，T}由保險(xiǎn)公司提供的保證支付GPi（ξ）（例如，對(duì)于GMWB來(lái)說(shuō)，在賬戶(hù)價(jià)值降為0后，保險(xiǎn)公司支付給保單持有人的金額，即保單持有人的提取額）和時(shí)刻i∈{1，2，…，T}由保單持有人提供的保證費(fèi)支付GFi（ξ）（包括退保費(fèi)用）均可以計(jì)算得到。于是，對(duì)于任意給定的保單持有人退保行為策略ξ，保證利益的t時(shí)刻的價(jià)值VGt（ξ）可以用所有未來(lái)保證支付GPi（ξ）減去未來(lái)保證費(fèi)用GFi（ξ）的現(xiàn)值的期望來(lái)表示。

VGt（ξ）=EQ∑Ti=t+1e-r（i-t）（GPi（ξ）-GFi（ξ））（1）

（四）保單持有人退保行為策略

主要討論以下三類(lèi)保單持有人退保行為：

1.無(wú)退保（No Surrender，NS），是指保單持有人永遠(yuǎn)不會(huì)退保，則ξ0=（ξ0t）-t=1，…，T，ξ0t=0，t=1，…，T

2.確定性退保（Deterministic Surrender，DS），是指保單持有人會(huì)按照事先確定的比例（時(shí)間依賴(lài)）（pst）-t=1，…，T，0≤pst≤1，t=1，…，T來(lái)進(jìn)行退保。ξd=（ξdt）-t=1，…，T，ξdt=pst，t=1，…，T

3.動(dòng)態(tài)退保（In-The-Moneyness，ITM），即假設(shè)保單持有人的退保行為是時(shí)間和ITM（In The Moneyness，即保證與賬戶(hù)價(jià)值的比率）的函數(shù)。

定義時(shí)刻t的保證的貨幣價(jià)值為θt退保價(jià)值（賬戶(hù)價(jià)值減去退保費(fèi)用）與保證的執(zhí)行價(jià)格（未來(lái)保證支付的現(xiàn)值）的比值。本文使用θt/θ0（θ0為保證的初始貨幣價(jià)值）作為ITM的度量。

假設(shè)保單持有人退保行為的基數(shù)是一系列事先給定的比例（pst）-t=1，…，T，0

SymbolcB@ pst

SymbolcB@ 1，t=1，…，T（與確定性退保中的相同）。此外，假設(shè)保單持有人在t時(shí)刻的退保率為pst與某個(gè)因子（由θt/θ0來(lái)決定）的乘積。

ξitm=（ξitmt）-t=1，…，T

ξitmt=pst·η（θt/θ0），t=1，…，T

η（x）=1/3，x<0.95

1，0.95≤x<1.05

3，1.05≤x<1.15

5，x≥1.15

（五）公平保證費(fèi)的確認(rèn)

合同訂立之初，當(dāng)變額年金的最低利益保證的價(jià)值為零時(shí)，該合同才是公平的。所以有VG0=0。由于VG0的表達(dá)式中只有保證費(fèi)φ是未知的，故可以將其求出。

VG0（ξ）=EQ∑Ti=1e-ri（GPi（ξ）-GFi（ξ））（2）

（六）對(duì)沖效率的度量

本文假設(shè)保險(xiǎn)公司采用Black-Scholes模型來(lái)對(duì)沖并在對(duì)沖組合ΠHedge（·）中運(yùn)用簡(jiǎn)單的Δ對(duì)沖策略。也就是說(shuō)，為了使組合對(duì)基礎(chǔ)資產(chǎn)的價(jià)格的微小變動(dòng)產(chǎn)生免疫，保險(xiǎn)公司對(duì)沖組合中基礎(chǔ)資產(chǎn)的數(shù)量為Δ，即Ψ（·）對(duì)S（·）的偏導(dǎo)。于是，ΠHedget=ΔtSt+Bt，Δt=Ψt/St。由于Δ通常為負(fù)值，所以保險(xiǎn)公司通常會(huì)賣(mài)出基礎(chǔ)資產(chǎn)，假設(shè)對(duì)沖組合每年重新調(diào)整一次。

本文采用下面三種指標(biāo)來(lái)比較不同的對(duì)沖結(jié)果，每個(gè)指標(biāo)經(jīng)過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化后，表示在t=0時(shí)支付給保險(xiǎn)公司的躉交保費(fèi)之和的百分比。

1.Epe-rTΠT，真實(shí)世界測(cè)度下的保險(xiǎn)公司利潤(rùn)的保單期末值的現(xiàn)值的期望。這是保險(xiǎn)公司期望利潤(rùn)的度量。其值為1表示在期望水平下，客戶(hù)每支付100的躉交保費(fèi)，保險(xiǎn)公司通過(guò)售出并對(duì)沖利益保證而獲得的期望利潤(rùn)為1。

2.CTE-1-α（χ）=Ep-χ-χ≥VaRα（χ），隨機(jī)變量χ的條件尾部期望，其中χ=min e-rtΠtt=0，…，T表示在所有的保單周年日的保險(xiǎn)公司利潤(rùn)的現(xiàn)值的最小值，VaR表示在險(xiǎn)價(jià)值。這是某一對(duì)沖策略下保險(xiǎn)公司對(duì)應(yīng)風(fēng)險(xiǎn)的度量?？梢岳斫鉃榧词乖陔S機(jī)模型下，市場(chǎng)發(fā)展到了α（如10%等）最壞情況的平均水平時(shí)，也能使保險(xiǎn)公司的組合在整個(gè)保單期內(nèi)都不會(huì)成為負(fù)值，所需要的額外的初始資金。其值為1表示在期望水平下，超過(guò)α最壞情況，客戶(hù)每支付100的躉交保費(fèi)，保險(xiǎn)公司需要持有額外1單位的資本。

3.CTE-1-α（e-rTΠT）=Ep[-e-rTΠT|-e-rTΠT≥VaRα（e-rTΠT）]，保險(xiǎn)公司的保單期末利潤(rùn)的現(xiàn)值的條件尾部期望。這一風(fēng)險(xiǎn)度量關(guān)注的是在期末T時(shí)刻，在所有負(fù)債都已經(jīng)支付的情況下，保險(xiǎn)公司的利潤(rùn)狀況。其值為1表示在期望水平下，超過(guò)α最壞情況，客戶(hù)每支付100的躉交保費(fèi)，保險(xiǎn)公司的期望損失為1。由定義可知，CTE-1-α（χ）≥CTE-1-α（e-rTΠT）。

三、蒙特卡羅模擬

由于本文考慮的保證利益是依賴(lài)于路徑且路徑比較復(fù)雜，故無(wú)法直接求出保證費(fèi)用φ，必須使用數(shù)值方法。而對(duì)于確定的或給定的策略來(lái)說(shuō)，蒙特卡羅算法可以快速地得到準(zhǔn)確的結(jié)果，故本文采用蒙特卡羅模擬來(lái)得出結(jié)果。

（一）模擬步驟

1.確定AVt與φ之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

由前面確定的資本市場(chǎng)模型，可得以下公式：

AV--t+1=AV+t·S-t+1/St·e-φ

=AV+t·e（r-φ-σ2/2）+σZ-t+1 （3）

上式中除了保證費(fèi)用φ之外，其他變量都是已知的，其中r為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，σ為波動(dòng)率，Z-t+1為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量，由此，可以找到AVt與φ之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

2.求出保證價(jià)值的蒙特卡羅模擬值。

由公式（2），對(duì)于給定的策略ξ，當(dāng)φ值一定時(shí)，給定標(biāo)的資產(chǎn)變化的樣本路徑a（j），便可以得到一個(gè)確定的VG0（φ）（j）。假設(shè)有J條路徑a（j），則得到J個(gè)VG0（φ）（j）值，對(duì)這J個(gè)VG0（φ）（j）值求平均，可以得到：

VG0（φ）=1J∑Jj=1VG0（φ）（j） （4）

VG0（φ）為保證價(jià)值的蒙特卡羅模擬值，其中J代表模擬的次數(shù)。

3.求出公平保證費(fèi)用φ。

對(duì)給定一個(gè)保證費(fèi)用φ，由公式（4）得到一個(gè)對(duì)應(yīng)的保證價(jià)值VG0（φ），不斷地變動(dòng)φ時(shí)，便可以得到與之對(duì)應(yīng)的VG0（φ）。當(dāng)VG0（φ）恰好等于0時(shí)，可求出本文所要求的公平保證費(fèi)用φ。

由計(jì)算出公平保證費(fèi)用后，運(yùn)用蒙特卡羅模擬的方法，便可計(jì)算出用于比較對(duì)沖結(jié)果的三個(gè)指標(biāo)Epe-rTΠT、CTE-1-α（χ）、CTE-1-α（e-rTΠT）。

（二）蒙特卡羅模擬公平保證費(fèi)用的結(jié)果

本文采用Alexander等（2011）中的參數(shù)設(shè)定，即假設(shè)保單持有人均為60歲男性，一次性繳納10000元保費(fèi)P，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r為4%，市場(chǎng)波動(dòng)率σ為22%，退保費(fèi)用率φsurr為3%，使用生命表為《中國(guó)人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表（2000-2003）》。最低身故利益保證為GD0=P=10000，即返還初始保費(fèi)或賬戶(hù)價(jià)值的最高者。最低滿(mǎn)期利益保證為GM0=P=10000，且累積利率i為6%，即保險(xiǎn)到期時(shí)返還GM0·（1+i）T或賬戶(hù)價(jià)值的最高者。最低提取利益保證的保證取款率為10%，即單次可提取的最大金額，即最低提取利益保證GE0為1000元。

限于篇幅，本文沒(méi)有列出GMDB、GMMB、GMWB的公平保證費(fèi)用和保證價(jià)值關(guān)系圖。將模擬結(jié)果整理后，如表1所示，其中，公平保證費(fèi)率的變動(dòng)幅度為1bps（bps表示萬(wàn)分之一，即0.01%）。對(duì)應(yīng)于保證價(jià)值為0時(shí)的保證費(fèi)率即為公平保證費(fèi)率。

當(dāng)保單持有人采取固定退保策略時(shí)，無(wú)論附加哪種類(lèi)型的保證，保險(xiǎn)公司的期望利潤(rùn)都接近于0。雖然保險(xiǎn)公司準(zhǔn)確了解保單持有人的行為，但是仍然無(wú)法達(dá)到完美對(duì)沖，導(dǎo)致了平均水平上的小損失。在GMDB、GMMB、GMWB保證下，在期望水平下，超過(guò)10%的最壞情況，保險(xiǎn)公司的期末利潤(rùn)的現(xiàn)值的條件尾部期望分別為躉交保費(fèi)的2.1%、2.4%、2.8%。而保險(xiǎn)公司的最大利潤(rùn)的現(xiàn)值的條件尾部期望則稍高一點(diǎn)。在動(dòng)態(tài)退保行為下，保險(xiǎn)公司承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)最大，也即動(dòng)態(tài)退保行為對(duì)保險(xiǎn)公司風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖的影響最大。

在GMDB保證下，無(wú)論保單持有人采取哪種行為策略，保險(xiǎn)公司的期望利潤(rùn)都接近于0。雖然保險(xiǎn)公司準(zhǔn)確地了解保單持有人的行為，但是仍然無(wú)法達(dá)到完美對(duì)沖，導(dǎo)致了平均水平上的小損失。在保單持有人采取無(wú)退保、固定退保、動(dòng)態(tài)退保策略下，在期望水平下，超過(guò)10%的最壞情況，保險(xiǎn)公司的期末利潤(rùn)的現(xiàn)值的條件尾部期望分別為躉交保費(fèi)的1.7%、2.1%、3.1%。而保險(xiǎn)公司的最大利潤(rùn)的現(xiàn)值的條件尾部期望則稍高一點(diǎn)。在GMWB保證下，保險(xiǎn)公司承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)最大，也即在GMWB保證下，保單持有人退保行為對(duì)保險(xiǎn)公司風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖的影響最大。

四、結(jié)論

通過(guò)以上對(duì)保單持有人退保行為影響的分析，有如下的結(jié)論：

1.當(dāng)保單持有人的退保行為隨機(jī)性增強(qiáng)時(shí)，其對(duì)應(yīng)的公平保證費(fèi)也在增加，相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)也增加了。對(duì)于保單持有人來(lái)說(shuō)，采取動(dòng)態(tài)退保的方式能使保單價(jià)值更高，獲得更大的利益，而此時(shí)，相反地，對(duì)于保險(xiǎn)公司來(lái)說(shuō)，由于保單持有人退保行為的不確定性較強(qiáng)，其面臨的風(fēng)險(xiǎn)很大，增加了風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖的難度和成本，其對(duì)保險(xiǎn)公司風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖的影響也就最大。

2.保單持有人采取退保行為，一般會(huì)損失一定的退保費(fèi)用，而在本文中卻能在一定程度上使得保單價(jià)值更高，這是因?yàn)?，在市?chǎng)表現(xiàn)較好時(shí)，保單賬戶(hù)價(jià)值較高，最低利益保證的觸發(fā)條件一般較難達(dá)到，而此時(shí)退保，直接將資金投入市場(chǎng)中，可以獲得較高的收益，節(jié)省了交納給保險(xiǎn)公司的保證費(fèi)，而使得獲利更多。故在這種情況下，退保反而成了較為理性的行為。

3.在GMDB、GMMB、GMWB三種保證中，GMWB保證下保單持有人退保行為對(duì)保險(xiǎn)公司風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖的影響最大。這是因?yàn)?，在這三種利益保證中，GMWB保證和保單持有人的退保行為關(guān)系最密切。GMWB保證給出了每個(gè)周年點(diǎn)的保證提取率，是否退保直接關(guān)系到接下來(lái)的年份是否會(huì)提取金額，故其風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖受保單持有人退保行為的影響也是最大的。

4.無(wú)論保單持有人采取哪種退保行為策略，當(dāng)保險(xiǎn)公司假設(shè)的保單持有人退保行為與其真實(shí)的退保行為保持一致時(shí)，保險(xiǎn)公司面臨的風(fēng)險(xiǎn)都較小且非常相近。

根據(jù)上述結(jié)論，保險(xiǎn)公司在推出變額年金產(chǎn)品時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）相對(duì)于GMDB和GMMB來(lái)說(shuō)，GMWB具有更強(qiáng)的不確定性和復(fù)雜性，其風(fēng)險(xiǎn)更大，因此，保險(xiǎn)公司在推出變額年金產(chǎn)品時(shí)，應(yīng)先從較簡(jiǎn)單、風(fēng)險(xiǎn)較小的GMDB和GMMB開(kāi)始，待時(shí)機(jī)成熟時(shí)再推出GMWB。（2）通過(guò)宣傳和普及知識(shí)，鼓勵(lì)保單持有人持續(xù)持有保單，不要提前退保，減少不確定的提取行為給保險(xiǎn)公司帶來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)。（3）當(dāng)保險(xiǎn)公司假設(shè)保單持有人不退保，而保單持有人實(shí)際上采取動(dòng)態(tài)退保策略時(shí)，此時(shí)的保證費(fèi)就會(huì)過(guò)低而給保險(xiǎn)公司帶來(lái)風(fēng)險(xiǎn)；而當(dāng)保險(xiǎn)公司假設(shè)保單持有人動(dòng)態(tài)退保，而保單持有人實(shí)際上采取不退保策略時(shí)，此時(shí)因?yàn)榧僭O(shè)過(guò)于復(fù)雜，而增加定價(jià)和對(duì)沖的成本，浪費(fèi)資源，給公司帶來(lái)不利。又因?yàn)楸纬钟腥送吮Ｐ袨槟Ｊ绞嵌喾N多樣的，存在著很多可行的方案，且并不是所有的保單持有人都會(huì)采取看上去理性的或者符合邏輯的行為方案。所以，保險(xiǎn)公司在實(shí)際定價(jià)時(shí)首先要根據(jù)歷史數(shù)據(jù)、市場(chǎng)情況和中國(guó)民眾特有的風(fēng)險(xiǎn)觀(guān)念，考察不同提取行為出現(xiàn)的概率，通過(guò)謹(jǐn)慎的產(chǎn)品設(shè)計(jì)，合理假設(shè)，合理定價(jià)，規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)。

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（責(zé)任編輯：鐘 瑤）