何紅兵

（福建省南平一中）

數(shù)形結(jié)合在數(shù)學解題中應用，要特別意識到數(shù)與形兩者之間相互表征的學習和鍛煉：數(shù)形結(jié)合主要彰顯數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化，通過二者的相互表征和轉(zhuǎn)化，能形象轉(zhuǎn)化數(shù)學解題的“互譯”。尤其當數(shù)學問題以代數(shù)形式或者與幾何題型結(jié)合時，學生在解題過程中，應有效利用圖形將問題轉(zhuǎn)化成圖形，使復雜的數(shù)學問題得以形象展現(xiàn)，即借助圖形直觀挖掘數(shù)學的幾何意義。這樣不僅有助于學生對數(shù)學問題的深層次理解，還能體現(xiàn)學生學習數(shù)學的靈活性和對知識的活學活用。

一、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想

我國著名數(shù)學家華羅庚曾經(jīng)說過：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微。”數(shù)形結(jié)合賦予了數(shù)學生命力，讓數(shù)學問題的條件和結(jié)論同時展現(xiàn)其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀效果，讓數(shù)學問題可以借助簡單的圖形、符號和文字所作的示意圖，促進學生形象思維和抽象思維的協(xié)調(diào)發(fā)展，溝通數(shù)學知識之間的聯(lián)系，從復雜的數(shù)量關(guān)系中凸顯最本質(zhì)的特征。

之所以說數(shù)形結(jié)合是一種重要的思想方法，是因為其在數(shù)學解題中的廣泛應用。數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學思想和一柄雙刃的解題利劍。這是數(shù)形結(jié)合在解題方法基礎上的一種提升，是目前高中數(shù)學教學中正在被接受的一種認識。它不再被看成是一種解題工具，而被看成是站在更高角度上用于指導解題教學，甚至是數(shù)學教學的一種思想策略。

數(shù)形結(jié)合既是一種解題方法，也是一種數(shù)學意識，在解題過程中有著十分廣泛的應用。數(shù)形結(jié)合是一種數(shù)學思想，是一個值得認可的觀點。但數(shù)形結(jié)合可以從數(shù)學思想上升為一種數(shù)學意識，甚至是一種意識。作為一種數(shù)學意識，時刻活動在數(shù)學教與學中，所發(fā)揮的數(shù)學教育意義會更大；作為一種意識，活動在生活的方方面面，發(fā)揮的作用會更大，影響會更廣，這樣它的教育價值也就更大。

二、高中數(shù)學中數(shù)形結(jié)合的解題策略

運用數(shù)形結(jié)合可以求解大量問題，但是在數(shù)學題型中，每類問題都各有特點，每一類問題都有一定的特點。以下就各類問題特征談論一下運用數(shù)形結(jié)合的解題策略：

1.適用性

在對高中數(shù)學問題的梳理中，可以具體分為以下幾類：（1）與函數(shù)相關(guān)的問題，通過圖象及其性質(zhì)來找到函數(shù)問題的突破口；（2）在求解方程和不等式問題中的運用；（3）在附屬問題上，經(jīng)常用到幾何圖形來求解；（4）求最大值或者最小值的問題，這類問題通過對圖形與數(shù)量之間的特殊關(guān)系分析，使得問題更加直觀，求解簡便快捷。

2.廣泛性

數(shù)與形的轉(zhuǎn)換在高中數(shù)學中的應用十分廣泛，通過數(shù)形轉(zhuǎn)化，可以借助于圖象研究函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的解析式、定義域、值城，極值與最值；還可以通過數(shù)形轉(zhuǎn)化來研究函數(shù)的奇偶性、增減性、周期性；比較大??；判斷和證明不等式以及解方程等。不僅如此，數(shù)形轉(zhuǎn)化在復數(shù)、三角、解析幾何中的應用也十分普遍。

3.以形促數(shù)

以形助數(shù)、以數(shù)輔形。這類方法通常用于代數(shù)式的幾何意義或借助函數(shù)的圖象構(gòu)造幾何圖形入手，例如數(shù)形結(jié)合思想在不等式證明中的幾點應用：（1）結(jié)合平面圖形，運用勾股定理和三角形三邊的關(guān)系來證明不等式；（2）結(jié)合平面圖形，通過面積的不等關(guān)系來證明不等式；（3）通過利用圓中直徑與弦的關(guān)系和其他圓的知識，證明不等式等等。

另外，在運用數(shù)形結(jié)合思想解題時，有些問題較明顯，但有些問題需要通過幾何圖形來形象展示，比如：（1）過構(gòu)造幾何模型；（2）三角函數(shù)中常用的構(gòu)造方法：構(gòu)造直角三角形、構(gòu)造相似三角形、構(gòu)造單位圓、構(gòu)造圓錐曲線方程。

綜上所述，能用數(shù)形結(jié)合求解的問題很多。通過數(shù)形結(jié)合解題在高中數(shù)學各知識層面中都比較常見，大致總結(jié)其常用如下：（1）在求解集合題的過程中，經(jīng)常是將文字和數(shù)軸相結(jié)合來進行；（2）在求解函數(shù)問題過程中的應用，包括三角函數(shù)求解，可以求函數(shù)的解析式、定義域、值城、極值與最值，也可以研究函數(shù)的奇偶性、增減性、周期性，還比較函數(shù)的大小，這些都是結(jié)合函數(shù)的圖象性質(zhì)進行的；（3）在求解向量問題中的應用，要充分聯(lián)系向量的幾何意義；（4）在求解不等式問題中的應用，可以通過函數(shù)特點或者構(gòu)造幾何圖形來求解；（5）在求解解析幾何問題中的應用，通常需要建模方法加以輔助等。

三、數(shù)形結(jié)合的解題實例分析

數(shù)形結(jié)合的解題過程：審題后聯(lián)想到距離公式，將所求的函數(shù)做如下轉(zhuǎn)化：

求解的函數(shù)圖形

在高中數(shù)學中，數(shù)形結(jié)合的思想更多的是作為眾多研究的思維方法和手段中的一種存在，可以簡單地理解為有些數(shù)學問題是難以用直觀的圖示來表達的。盡管如此，數(shù)形結(jié)合的方法依舊對高中數(shù)學解題乃至整個高中數(shù)學教學有著重要的作用。高中數(shù)學解題中常用的方法有數(shù)形結(jié)合、整體性、分類討論、類比聯(lián)想、逆向思維、化歸轉(zhuǎn)化和構(gòu)造性七種思想方法。數(shù)學思想與數(shù)學方法是數(shù)學知識的核心和靈魂。數(shù)形結(jié)合的思想在高中數(shù)學中占有舉足輕重的地位。高中數(shù)學的很多題目都需要根據(jù)題目條件畫出圖形，因為通過圖形能夠很直觀地看出各種關(guān)系。學習數(shù)學要勤思考，多總結(jié)，把數(shù)學的思想和方法靈活地運用到解題中去，才能發(fā)現(xiàn)數(shù)學學科的趣味和奧妙！

［1］李亞湖.數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學中的應用［J］.廣東教育：教研版，2011（06）：132.

［2］趙紅英.數(shù)形結(jié)合思想在解題中應用點滴［J］.中國科教創(chuàng)新導刊，2013（18）：205.