☉江蘇省昆山市石浦中學 潘田芬

例談初中數(shù)學開放題教學對學生思維品質(zhì)的培養(yǎng)

☉江蘇省昆山市石浦中學 潘田芬

《義務教育數(shù)學課程標準》強調(diào)：“數(shù)學課程要面向全體學生，適應學生個性發(fā)展的需要，使得：人人都能獲得良好的數(shù)學教育，不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展.”［1］教育部《中考改革指導意見》明確指出：“理科在試卷中適當增加開放性試題，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力，初步體現(xiàn)素質(zhì)教育的要求.”隨著開放題在高考和中考數(shù)學試卷上的頻頻出現(xiàn)，對數(shù)學學科教學提出了一個新的課題，開放題教學研究就越來越受到廣大數(shù)學教師的重視.下面結合初中數(shù)學新課程教學案例，就此作探討.

一、初中數(shù)學開放題教學的內(nèi)涵

戴再平老師的研究認為：“數(shù)學開放題是指那些答案不唯一，并在設問方式上要求學生進行多方面、多角度、多層次探索的數(shù)學問題.”［2］可見，數(shù)學開放題教學就是從學生的數(shù)學現(xiàn)實出發(fā)，把生產(chǎn)、生活中的現(xiàn)實數(shù)學問題，用數(shù)學語言將其數(shù)學化，即通過設計數(shù)學情境或建立數(shù)學模型來引導學生探索問題解決結果的教學過程和方法.

開放題教學具有探索性和拓展性，這是因為開放題教學具有非常規(guī)性、發(fā)散性和創(chuàng)新性，通常都要運用一定的數(shù)學思維方法來探索求解，而且在此過程中又會生成一些新的問題，從而發(fā)展成一系列的問題，或?qū)栴}加以推廣，找出更一般、更有概括性的結論.

開放題教學需要學生的廣泛參與，體現(xiàn)了學生的主體地位.這是因為開放題的答案是不確定的，解答過程具有層次性，能滿足各層次水平學生的需求，使全體學生都能參與到對問題的探索解答過程中，在自己的能力范圍內(nèi)解決問題，得到不同深度的答案.開放題的條件有時會不足，要求學生予以補充，有時會多余，要求學生進行選擇，才能著手解題.

因此，在教學過程中，富有技巧地設計一些開放性問題，恰到好處地搭建一個開放性的教學平臺，不但有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學思維品質(zhì)，更有利于因材施教，實施個性化教學，對于實現(xiàn)學生“四基”（基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗）培養(yǎng)目標也具有重要意義.

二、初中數(shù)學開放題教學的初步實踐

1.運用條件不唯一型開放題，培養(yǎng)學生思維的深刻性

案例1：（2013年鹽城市中考題）寫出一個過點（0，3），且函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小的一次函數(shù)關系式：_________.（填上一個答案即可）

思路分析：此題可用待定系數(shù)法來解決.設此一次函數(shù)關系式是y=kx+b（k≠0）.把x=0、y=3代入得：b=3.根據(jù)y隨x的增大而減小，知k＜0.此條件包含的答案不唯一，故此題只要給定k為一個負數(shù)，如k取-1，則y=-x+3.

反思：條件不唯一型開放題，所給條件包含著答案不唯一的因素.在解題過程中，學生必須遷移已有知識，結合有關條件，從不同角度對問題作全面分析，正確判斷，得出結論，這能培養(yǎng)學生思維的深刻性.本題的條件“函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小”，表明答案不唯一，此時要求學生根據(jù)一次函數(shù)的增減性做出正確的判斷，并給定k為任一個負數(shù)即可得解.

2.運用結論未知型開放題，培養(yǎng)學生思維的求異性

案例2：（2005年濟寧市中考題）結合生活中的實例，（1-15%）x可以解釋為_________.

思路分析：此題主要考查學生對代數(shù)式表示意義的理解和掌握，學生只要結合生產(chǎn)、生活實際，用數(shù)學模型解釋清楚就行，其答案不唯一，如：一件商品的原單價為x元，降價15%后的單價是（1-15%）x元.

反思：這類問題因其結論具有多樣性，所以學生能從多角度、多層次、多側面來思考問題，這對于適應學生個性發(fā)展，使學生養(yǎng)成求異思維、發(fā)散思維的學習習慣，提高學生觀察生活、發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、遷移知識、解決問題的能力都很有益處.

3.運用條件隱藏型開放題，培養(yǎng)學生思維的縝密性

案例3：（2011年牡丹江市中考題）如圖1，△ABC的高BD、CE相交于點O.請你添加一對相等的線段或一對相等的角的條件，使BD=CE.你所添加的條件是_______.

圖1

思路分析：由△ABC的高BD、CE相交于點O，可得∠BEC=∠CDB=90°，或可得∠AEC=∠ADB=90°，要使BD=CE，只需證明△BCE≌△CBD或△ACE≌△ABD即可.根據(jù)全等三角形的判定定理與性質(zhì)，要證△BCE≌△CBD，除了∠BEC=∠CDB=90°外，可根據(jù)圖形挖掘出隱含條件BC=CB，還要添加一對相等的線段：BE=CD；或添加一對相等的角：∠EBC=∠DCB或∠DBC=∠ECB.若證△ACE≌△ABD，除了∠AEC=∠ADB=90°外，可根據(jù)圖形挖掘出隱含條件∠A=∠A，還要添加AC=AB或AE= AD.故此題答案不唯一.

反思：條件隱藏型開放題，是指解題所需的某些條件隱藏在題目中，如不注意容易遺漏.在解題時既要充分利用已知的條件，又要挖掘與問題有關的隱藏的條件.這樣有利于學生養(yǎng)成認真細致的審題習慣，培養(yǎng)學生思維的縝密性.

4.運用多向型開放題，培養(yǎng)學生思維的廣闊性和靈活性

案例4：如圖2，已知線段AB，C為線段AB上任一點，M、N分別為AC、BC的中點，若AB=10cm，BC=4cm，求MN的長.

圖2

解：由AB=10cm，BC=4cm，得AC=AB-BC=10-4=6（cm）.

變式1：若AB=10cm，BC=6cm或BC=8cm，…，發(fā)現(xiàn)MN恒等于5cm；若AB=8cm，BC=4cm，發(fā)現(xiàn)MN=4cm；求證MN的長與BC的長度無關，始終等于AB的一半.

變式2：將題中“C為線段AB上任一點”改為“C為線段AB的延長線上任一點”（如圖3），M、N分別為AC、BC的中點，此時MN與AB又有怎樣的數(shù)量關系？

圖3

變式3：角的計算與線段的計算存在著緊密的聯(lián)系，它們之間可互相借鑒解法，請你模仿設計一道以角為背景的計算題.

解：（1）如圖4，OC是∠AOB內(nèi)任一條射線，OM、ON分別平分∠AOC和∠BOC.

①若∠AOC=30°，∠AOB=90°，求∠MON的度數(shù)；

②猜想∠MON與∠AOB有何數(shù)量關系，并說明理由；

（2）如圖5，若OC是∠AOB外任一條射線，則∠MON與∠AOB的數(shù)量關系還成立嗎？請說明理由.

圖4

圖5

反思：多向型開放題，可有多種思考方向，這樣就可引導學生通過聯(lián)想進行一題多變、一題多解、一題多思，以培養(yǎng)學生思維的廣闊性和靈活性.此案例先讓學生發(fā)現(xiàn)不管點C在線段AB上何處，兩中點的距離MN始終等于AB的一半，由數(shù)的運算到線段數(shù)量關系的說理，逐步引導學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并滲透數(shù)學整體思想，啟發(fā)學生一題多解；接下來通過“變式”讓學生發(fā)現(xiàn)不管點C在線段AB的上還是在線段AB的延長線上，MN始終等于AB的一半；最后運用類比轉化，由線段問題聯(lián)想到角的問題，引導學生發(fā)現(xiàn)角方面的相似規(guī)律.這樣通過探究、交流、反思等活動，不僅引導學生發(fā)現(xiàn)了圖形中蘊含的一般規(guī)律，還讓學生體會了數(shù)形結合、轉化、整體等數(shù)學思想，體驗了由特殊到一般、分類討論、類比等解題方法，培養(yǎng)了學生思維的廣闊性和靈活性，提高了學生分析和解決問題的能力.

5.運用設計型開放題，培養(yǎng)學生思維的創(chuàng)新性

案例5：在一服裝廠里有大量形狀為等腰直角三角形的邊角布料，現(xiàn)找出其中一種，測得∠C=90°，AC=BC= 4，今要從這種三角形中剪出一種扇形，做成不同形狀的玩具，使扇形的邊緣半徑恰好都在△ABC的邊上，且扇形的弧與△ABC的其他邊相切，請設計出符合題意的方案示意圖，并求出扇形的半徑（只要畫出圖形，并直接寫出扇形半徑）.

思路分析：所設計的扇形要求滿足兩個條件.①弧線與三角形的邊相切，有兩種情形：與其中一邊相切（直角邊或斜邊）；與其中兩邊相切（兩直角邊、一直角邊和一斜邊）.②半徑都在三角形的邊上，且盡量能利用邊角料（即找到最大的扇形）.根據(jù)題意可設計出如下四種方案（.1）如圖6，與一直角邊相切，r1=4；（2）如圖7，與一斜邊相切，；（3）如圖8，與兩直角邊相切，r3=2；（4）如圖9，與一直角邊和一斜邊相切，r4=-4.

圖6

圖7

圖8

圖9

反思：設計型開放題是近年來出現(xiàn)的一種題型，代表一種命題的新思路.這類試題往往利用給定的幾個基本圖形，要求設計一個有意義的圖形，一般背景新穎、形式活潑，主要運用添畫、分割、剪拼等方法，主要考查學生的動手能力和實踐能力，讓學生在充滿探索的過程中感受數(shù)學創(chuàng)造的樂趣，從而培養(yǎng)學生思維的創(chuàng)新性.

開放型試題已成為數(shù)學中考的熱點試題之一.以上僅是筆者實踐開放題教學的一瞥，要強調(diào)的是上述五例開放性問題對思維品質(zhì)的培養(yǎng)是相互交叉、互相滲透、很難分清的，其區(qū)別僅在于側重點不同而已.

1.中華人民共和國教育部制定.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

2.戴再平，等.開放題——數(shù)學教學的新模式［M］.上海：上海教育出版社，2004.

3.張清芳.解決數(shù)學開放性問題對思維品質(zhì)的要求［J］.云南教育，2006（2）.Z