☉天津市靜?？h沿莊鎮(zhèn)中學(xué) 劉家良

培養(yǎng)學(xué)生觀察與思考能力的四個(gè)著眼點(diǎn)

☉天津市靜海縣沿莊鎮(zhèn)中學(xué) 劉家良

問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，而觀察是學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的起點(diǎn).《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過(guò)程.”觀察是思維的先導(dǎo)，那么在數(shù)學(xué)課堂中從何處著眼能培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)觀察和善于思考的能力呢？

一、在歷經(jīng)概念的形成和定理（法則、公式）的探究中引導(dǎo)學(xué)生觀察與思考

概念是數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的“基元”，它源自生產(chǎn)、生活或知識(shí)內(nèi)在體系的一種“繁衍”.教師在創(chuàng)設(shè)情景后，引導(dǎo)學(xué)生提煉所研究的對(duì)象，讓學(xué)生歷經(jīng)觀察、比較、抽象和概括等系列過(guò)程，從中尋找到該對(duì)象“成員”的共同點(diǎn)，從而歸納出概念的屬性.如，單項(xiàng)式的定義可在學(xué)生列式的基礎(chǔ)上觀察所得式子中的數(shù)與字母在運(yùn)算上存在的共同點(diǎn)，由此感悟單項(xiàng)式的內(nèi)涵.對(duì)鄰近、易混概念的把握同樣需要學(xué)生的觀察、比較、辨析等過(guò)程，去尋找異同點(diǎn)，在準(zhǔn)確理解和正確運(yùn)用中培養(yǎng)學(xué)生一絲不茍的態(tài)度和嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的品質(zhì).如，在辨析一個(gè)式子是否為單項(xiàng)式的練習(xí)中，有學(xué)生說(shuō)式子表示x與3的商，不符合單項(xiàng)式定義的描述，故此認(rèn)為它不是一個(gè)單項(xiàng)式.此時(shí)教師可引導(dǎo)學(xué)生利用“除以一個(gè)數(shù)（不能為0）等于乘上這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”這一法則進(jìn)行轉(zhuǎn)換，得出，這樣學(xué)生透過(guò)現(xiàn)象看到了本質(zhì)，明確了定義中的“數(shù)”包括分?jǐn)?shù)及其符號(hào).緊接著，可讓學(xué)生再辨析式子是不是單項(xiàng)式.定理（法則、公式）是數(shù)學(xué)對(duì)象之間關(guān)系的規(guī)律性反映，數(shù)的法則、公式的導(dǎo)出一般都遵循著從特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律.如，有理數(shù)的加法法則是借助數(shù)軸這個(gè)“工具”來(lái)展示兩個(gè)加數(shù)同正、同負(fù)、一正一負(fù)（含絕對(duì)值不等的兩種情況和絕對(duì)值相等的情況）、正和零、負(fù)和零這7種情形，引導(dǎo)學(xué)生觀察“和”的符號(hào)、絕對(duì)值同兩個(gè)加數(shù)的符號(hào)、絕對(duì)值之間存在的聯(lián)系，從中讓學(xué)生體驗(yàn)到觀察是數(shù)學(xué)知識(shí)探究的起點(diǎn)，同時(shí)體驗(yàn)到數(shù)形結(jié)合思想和分類(lèi)思想在探究有理數(shù)加法法則中所起的作用.在“機(jī)械性”的運(yùn)算和推理中讓學(xué)生意識(shí)到：若能主動(dòng)觀察、善于思考，就會(huì)有所發(fā)現(xiàn).如，平方差公式就植根在多項(xiàng)式乘法運(yùn)算中，來(lái)源于對(duì)其中特例的觀察與思考，其“路徑”遵循著從一般到特殊再到一般的認(rèn)知規(guī)律，類(lèi)似的還有完全平方公式、韋達(dá)定理等，因此人們將觀察作為自然科學(xué)研究的一種基本方法.某些圖形的性質(zhì)定理，如等腰三角形的性質(zhì)是在動(dòng)手實(shí)驗(yàn)（折、剪）中觀察思考而獲得的.近年來(lái)，涌現(xiàn)出一類(lèi)考查學(xué)生觀察、猜想和歸納能力的數(shù)、式和形的“規(guī)律型”中考題，其出發(fā)點(diǎn)就是使學(xué)生養(yǎng)成一種觀察和思考的“常態(tài)”習(xí)慣.

例1（2014年安徽省中考卷）觀察下列關(guān)于自然數(shù)的等式：

①32-4×12=5；

②52-4×22=9；

③72-4×32=13.

……

根據(jù)上述規(guī)律解決下列問(wèn)題：

（1）完成第四個(gè)等式：92-4×（）2=（）；

（2）寫(xiě)出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的式子表示），并驗(yàn)證其正確性.

例2（2014年武漢中考卷）觀察圖1所示的一組圖形中點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其中，第1個(gè)圖中共有4個(gè)點(diǎn)，第2個(gè)圖中共有10個(gè)點(diǎn)，第3個(gè)圖中共有19個(gè)點(diǎn)，…，按此規(guī)律第5個(gè)圖中共有點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）.

圖1

A.31B.46C.51D.66

分析：例1中3個(gè)已知等式的左邊都是減法運(yùn)算，被減數(shù)是連續(xù)奇數(shù)3、5、7、…的平方，減數(shù)是連續(xù)正整數(shù)1、2、3、…平方的4倍，而等式右邊的5、9、13、…分別是序號(hào)1、2、3、…的4倍與1的和（這是源自觀察下的思維“成果”）.據(jù)此，第n個(gè)等式為（2n+1）2-4×n2=4n+1.例2中第1個(gè)圖形中有4個(gè)點(diǎn)，即1+1×3；第2個(gè)圖形中有10個(gè)點(diǎn)，即1+ 1×3+2×3；第3個(gè)圖形中有19個(gè)點(diǎn)，即1+1×3+2×3+3×3；…據(jù)此，第n個(gè)圖形中的點(diǎn)的個(gè)數(shù)計(jì)算式為1+1×3+2×3+3× 3+…+3n.所以，第5個(gè)圖形中共有點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1+1×3+2× 3+3×3+4×3+5×3=46（個(gè)）.

二、在解題思路的探尋中引導(dǎo)學(xué)生觀察與思考

解題是對(duì)所求對(duì)象（數(shù)、式、圖形等）的觀察、聯(lián)想、比較、思考和發(fā)現(xiàn)的系列過(guò)程，在尋找“蛛絲馬跡”的線索中開(kāi)啟思維之門(mén).主動(dòng)觀察，善于思考，表現(xiàn)在將條件（已知）和結(jié)論（未知）化為一體的綜合性聯(lián)動(dòng)，將整體和部分二者聯(lián)系在一起做出宏觀分析和微觀思考，如，整體替換法、構(gòu)造法、換元法等，使求解過(guò)程呈現(xiàn)出一種巧妙、靈活、簡(jiǎn)約的思維“氣息”，從而達(dá)到鍛煉學(xué)生思維靈活性和深刻性的目的.

例3（2014年齊齊哈爾中考卷）已知x2-2x=5，則代數(shù)式2x2-4x-1的值為_(kāi)________.

分析：將結(jié)論和條件進(jìn)行比對(duì)觀察，從中就會(huì)發(fā)現(xiàn)式子2x2-4x是式子x2-2x的2倍.對(duì)此，可采用“整體替換”法.

解：2x2-4x-1=2（x2-2x）-1=2×5-1=9.

評(píng)注：解答中若觀察到結(jié)論和條件之間的數(shù)量關(guān)系，就會(huì)折射出整體的思想，使解答呈現(xiàn)一種自然、簡(jiǎn)約的“狀態(tài)”，避免了先解方程后代入的繁雜運(yùn)算.

例4（2013年山東菏澤中考卷）已知m是方程x2-x-2=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根，求代數(shù)式的值.

分析：多數(shù)同學(xué)會(huì)想到先求方程的根再代入所求式子的這樣一種思路，但這樣的運(yùn)算耗時(shí)費(fèi)力.而若留意到m是方程x2-x-2=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根，就會(huì)有m2-m-2=0，進(jìn)而m2-m=2.再對(duì)所求式子進(jìn)行適時(shí)變形就會(huì)輕松破解.

解：因?yàn)閙是方程x2-x-2=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根，所以m2-m-2=0，m2-m=2，m2-2=m.所以原式

尋找觀察與思考的切入點(diǎn)，會(huì)使問(wèn)題的解答往往變得輕松和有趣，還是一個(gè)對(duì)解題經(jīng)驗(yàn)的深化過(guò)程.如，從復(fù)雜圖形中觀察、透視并提煉出基本圖形，成為人們破解圖形綜合題的切入點(diǎn)；將復(fù)雜問(wèn)題特殊化（如，特殊點(diǎn)、特殊值），在特殊化中觀察、思考再拓展到一般化，也是人們解決問(wèn)題的常見(jiàn)思路.

例5如圖2，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，以頂點(diǎn)A、B為圓心，1為半徑的兩弧交于點(diǎn)E，以頂點(diǎn)C、D為圓心，1為半徑的兩弧交于點(diǎn)F，則EF的長(zhǎng)為_(kāi)________.

圖2

分析：四條弧同時(shí)交織在一個(gè)正方形內(nèi)，使整個(gè)圖形給人一種“凌亂”的感覺(jué).結(jié)合題意，深入圖形，細(xì)心觀察就會(huì)發(fā)現(xiàn)△EAB和△FCD都是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，問(wèn)題的突破口就暴露無(wú)遺了.

解：由題意，得△EAB和△FCD都是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，所以點(diǎn)E、F分別在AB、CD的垂直平分線上，直線EF垂直平分邊AB、CD.易求點(diǎn)E到邊AB的距離（等邊△EAB的高）為所以點(diǎn)E到邊CD的距離為1-因?yàn)辄c(diǎn)E、F分別到邊CD、AB的距離相等，所以EF的長(zhǎng)為

三、在相似問(wèn)題的類(lèi)比與對(duì)比中養(yǎng)成學(xué)生觀察問(wèn)題的細(xì)致性和準(zhǔn)確性

有些問(wèn)題的解法看上去似乎是一樣的，而事實(shí)上同中有異，這需要在求同的基礎(chǔ)上對(duì)問(wèn)題要細(xì)心觀察，用心思考，注意細(xì)節(jié)的把握，在類(lèi)比中去對(duì)比，養(yǎng)成學(xué)生認(rèn)真求實(shí)的態(tài)度和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì)，從中體驗(yàn)到細(xì)節(jié)決定完美的哲理，去克服學(xué)生考慮問(wèn)題粗心大意，做事不求甚解的毛病.

例6如圖3，已知△ABC，∠ACB= 90°，AC=BC，點(diǎn)E、F在AB上，∠ECF= 45°，若△ABC的面積為24，則AF·BE的值為（）.

圖3

分析：欲求AF·BE的值，需先將AF和BE分別置身在兩個(gè)三角形中，再看這兩個(gè)三角形是否相似.

所以AF·BE=AC·BC=2S△ABC=48.

例7如圖4，在△ABC中，∠C= 90°，AC=BC，M、N是斜邊AB上的點(diǎn)，且∠MCN=45°，AM=3，BN=5，則MN= _________.

解析：基于△ABC中，∠C=90°，AC= BC，以及AM、BN、MN共線特點(diǎn)的觀察與思考，選擇旋轉(zhuǎn)法，其出發(fā)點(diǎn)是設(shè)法將這三條線段以等線段替換的方式集中在同一個(gè)三角形中.如圖5，將△ACM繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△BCQ，連接QN，可證△MCN≌△QCN，于是MN= QN=

圖4

圖5

評(píng)注：例7也可應(yīng)用例6所得的結(jié)論去求，但運(yùn)算比較煩瑣.例6與例7中的圖形雖都是同一個(gè)，但分別考查了相似形和旋轉(zhuǎn)法的知識(shí)，這樣的對(duì)比，使學(xué)生既掌握了處理這類(lèi)圖形的多種策略，又鍛煉了學(xué)生思維的靈活性.

讀題是審題的前提，而讀離不開(kāi)對(duì)字眼和題眼這些細(xì)節(jié)的留意與觀察，以此從“題眼”中挖掘隱含條件.

例8n支球隊(duì)參加比賽，每?jī)芍蜿?duì)之間都進(jìn)行一場(chǎng)比賽，寫(xiě)出比賽場(chǎng)數(shù)m與球隊(duì)數(shù)n的關(guān)系式.

解析：n支球隊(duì)中每個(gè)球隊(duì)都要與其他的（n-1）個(gè)球隊(duì)進(jìn)行比賽，比賽數(shù)為（n-1）場(chǎng).因?yàn)槊績(jī)申?duì)之間都進(jìn)行一場(chǎng)比賽，所以

例9一個(gè)QQ群里共有若干個(gè)好友，每個(gè)好友都分別給群里其他好友發(fā)送了一條消息，這樣共有870條消息，則這個(gè)QQ群里共有多少個(gè)好友？

評(píng)注：例8可歸結(jié)為“一條線段上有n個(gè)點(diǎn)，求所有線段的條數(shù)”問(wèn)題，例9雖也是這個(gè)思路，但和例8有所不同，它是有向線段（端點(diǎn)有序）的問(wèn)題，其結(jié)果為30個(gè).

四、在尋找“個(gè)（對(duì)）數(shù)”或解答開(kāi)放性問(wèn)題中訓(xùn)煉學(xué)生的觀察視角

觀察是有目的性和計(jì)劃性的特殊感知，所以就會(huì)受所解決任務(wù)的制約.對(duì)此人們確定了觀察的對(duì)象、觀察的角度、觀察的步驟等.達(dá)爾文曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“我沒(méi)有突出的理解力，也沒(méi)有過(guò)人的機(jī)智，只是在覺(jué)察那些稍縱即逝的事物并對(duì)他們進(jìn)行精細(xì)觀察的能力上，我可能是中上之人.”而有關(guān)“個(gè)（對(duì)）數(shù)”或開(kāi)放性問(wèn)題的解答有助于訓(xùn)練學(xué)生觀察的視角，養(yǎng)成學(xué)生觀察問(wèn)題的有序性和條理性.

例10若兩平行線AB，CD與相交直線EF，GH相交成如圖6所示的圖形，則共得同旁內(nèi)角（）.

A.4對(duì)B.8對(duì)

C.12對(duì)D.16對(duì)

分析：同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角都是兩條直線被第三條直線所截而形成的角，即“三線八角”.為避免重復(fù)或遺漏，需要確立分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)即哪兩條直線被哪條直線所截，為此可用樹(shù)形圖有序地將各種可能情形表示出來(lái).

圖6

綜上，有16對(duì).

例11如圖7，∠BAC=∠ABD，BD、AC交于點(diǎn)O，請(qǐng)你添加一個(gè)條件：使OC=OD（只要添一個(gè)即可）.

分析：此題的條件開(kāi)放.從∠BAC=∠ABD，得OA= OB.如果OC=OD，加之∠DOA=∠COB，則有△DOA≌△COB，△DAB≌△CBA.于是，可以圍繞全等條件去思考.

解：由∠BAC=∠ABD，得OA=OB.若∠DAO=∠CBO或∠C=∠D，則△DOA≌△COB，于是OC=OD.若∠DAB=∠CBA，則△DAB≌△CBA，于是DB=CA，OD=OC.

評(píng)注：“AD=BC”不能作為添加條件.

觀察是發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的開(kāi)始、思考的前提.觀察有利于概念的形成和定理（公式、法則）的探究，有助于確定解題的思路和方法，而且使某些問(wèn)題的解答會(huì)變得巧妙、簡(jiǎn)約.因此，教師在新知的引入、形成和運(yùn)用中，都要引導(dǎo)學(xué)生去主動(dòng)觀察和思考，久之，發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力自然就會(huì)形成.

圖7

1.孫劍.解題的關(guān)鍵——淺談數(shù)學(xué)審題［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（10）.

2.劉家良.適時(shí)鏈接分類(lèi)整合——首輪中考復(fù)習(xí)的實(shí)踐與思考［J］.中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中版），2014（6）.H