☉江蘇省蘇州市工業(yè)園區(qū)青劍湖學(xué)校 王小林

有效轉(zhuǎn)化：數(shù)學(xué)本質(zhì)教學(xué)的課堂價(jià)值取向
——梯形復(fù)習(xí)課的教學(xué)實(shí)錄與反思

☉江蘇省蘇州市工業(yè)園區(qū)青劍湖學(xué)校 王小林

2014年4月，筆者在蘇州市初二數(shù)學(xué)教學(xué)研討活動(dòng)中，開設(shè)一節(jié)初二“平面圖形的認(rèn)識(shí)（二）——梯形”的復(fù)習(xí)課.本文整理該課的課前準(zhǔn)備、教學(xué)實(shí)錄及教后反思，與同行研討.

一、課前準(zhǔn)備

1.授課對(duì)象

學(xué)生來自蘇州市相城實(shí)驗(yàn)中學(xué)，基礎(chǔ)較好，有一定的推理能力與研究能力，能在教師的引領(lǐng)下自主探究和思維建構(gòu).

2.教材分析

所用教材為《義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)（八年級(jí)下冊(cè)）》（教育部審定2013年版），教學(xué)內(nèi)容為“梯形復(fù)習(xí)”.在前面的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已學(xué)習(xí)了解梯形的概念；理解并掌握等腰梯形的性質(zhì)、識(shí)別，并能熟練運(yùn)用梯形的輔助線、中位線來解決梯形的相關(guān)問題.這些內(nèi)容不僅進(jìn)一步發(fā)展了學(xué)生對(duì)“空間與圖形”的興趣，對(duì)學(xué)生理解、掌握、描述現(xiàn)實(shí)空間，獲得解決實(shí)際問題的方法有著重要價(jià)值.

3.學(xué)情分析

在學(xué)習(xí)本節(jié)之前，學(xué)生已學(xué)習(xí)了三角形、平行四邊形等基礎(chǔ)知識(shí)，已經(jīng)具備借助三角形、平行四邊形對(duì)梯形進(jìn)行處理的基礎(chǔ)技能.通過對(duì)梯形的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)梯形、等腰梯形的概念、性質(zhì)、識(shí)別有了一個(gè)較為全面的認(rèn)識(shí)，對(duì)梯形與三角形、平行四邊形之間的轉(zhuǎn)化有了深刻的體會(huì).當(dāng)然，也有一部分學(xué)生學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)，不是通過將梯形有效轉(zhuǎn)化，而是靠簡單的機(jī)械記憶去死記硬背梯形、等腰梯形的性質(zhì).基于上述的教材觀、學(xué)生觀、教學(xué)觀，可確定下列教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn).

4.目標(biāo)要求

（1）鞏固等腰三角形的性質(zhì)定理，并學(xué)會(huì)綜合運(yùn)用；理解解決梯形問題的基本思路，轉(zhuǎn)化為三角形或者平行四邊形；掌握梯形問題中常見輔助線的運(yùn)用.

（2）通過具體的例子，體會(huì)梯形學(xué)習(xí)中體現(xiàn)的從復(fù)雜到簡單、從未知到已知的科學(xué)思考問題、研究問題的方法，進(jìn)一步滲透轉(zhuǎn)化、歸納的數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展合情推理和演繹推理的能力.

（3）回顧本節(jié)所學(xué)的知識(shí)與方法，對(duì)本節(jié)知識(shí)進(jìn)行梳理，使所學(xué)知識(shí)系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，進(jìn)一步積累基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

（4）教學(xué)重點(diǎn)：結(jié)構(gòu)化梯形的相關(guān)知識(shí)，理解梯形問題的實(shí)質(zhì).

（5）教學(xué)難點(diǎn)：建構(gòu)梯形知識(shí)體系，初步感受“轉(zhuǎn)化”研究梯形問題.

二、教學(xué)過程簡錄

1.自然串發(fā)，本真梳理

師：數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)的靈魂，是形成數(shù)學(xué)能力、意識(shí)的橋梁.這節(jié)課老師和同學(xué)們一起來復(fù)習(xí)梯形.先請(qǐng)同學(xué)們對(duì)照復(fù)習(xí)目標(biāo)，完成知識(shí)梳理（教師多媒體呈現(xiàn)，學(xué)生在學(xué)案紙上完成）.

（1）梯形的定義：一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊_________的四邊形叫梯形；或一組對(duì)邊平行且不_________的四邊形叫梯形；

（2）兩腰_________的梯形是等腰梯形；

（3）有一個(gè)角是直角的梯形是_________；

（4）等腰梯形兩腰_________；

（5）等腰梯形兩腰在同一底上的_________相等；

（6）等腰梯形的兩條對(duì)角線_________.

（師生一起回憶）

師：很好.在研究梯形時(shí)，誰能告訴老師解決梯形問題的方法？

生1：好像可以添加輔助線轉(zhuǎn)化為三角形或平行四邊形來解決.

師：很好，通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線，將梯形問題實(shí)現(xiàn)了轉(zhuǎn)化.今天，我們將一起對(duì)梯形問題作一個(gè)系統(tǒng)的復(fù)習(xí)與回顧，請(qǐng)同學(xué)們趁熱打鐵完成“小試牛刀”（教師多媒體呈現(xiàn)，學(xué)生在學(xué)案上完成）.

①如圖1，在等腰梯形ABCD中，AB=CD=8，BC=15，∠B=60°，則AD=_________.

②如圖2，若梯形的上底長為4，下底長為7，一腰AD為5，則另一腰BC的取值范圍為_________.

圖1

圖2

③如圖3，梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=70°，∠C= 40°，AB=4cm，CD=11cm，則BC=_________.

④如圖4，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，DE∥AC交BC的延長線于點(diǎn)E，則△BDE是_________三角形.

圖3

圖4

生2～5講解思路，教師追問思考過程.

師：從這些問題的解決中，我們得到什么啟發(fā)？生6：通過添加輔助線，可以有效轉(zhuǎn)化梯形問題.

解讀：在學(xué)生“原有基礎(chǔ)”上“自主建構(gòu)”，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.正確把握知識(shí)的生長點(diǎn)、思維的連接點(diǎn)和方法的遷移點(diǎn)，為學(xué)生搭建好自主探究、有效轉(zhuǎn)化、體驗(yàn)自身探索創(chuàng)新能力的平臺(tái).

師：今天我們將一起繼續(xù)對(duì)梯形問題做深入探討.

2.師生活動(dòng)，探究性質(zhì)

例1我們知道“連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線”，“三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半”.類似地，我們把連接梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫做梯形的中位線（如圖5中的EF）.試探究其有何性質(zhì)？

圖5

師：課前各個(gè)小組都進(jìn)行了探究，下面大家把研究的成果共享一下.

生7：如圖6，可以連接AF并延長交BC的延長線于點(diǎn)G，先利用ASA證明△ADF≌△GCF，從而得到DF=CF，則F為AG的中點(diǎn)，由已知E為AB的中點(diǎn)，從而將EF順利地由原先的梯形ABCD的中位線轉(zhuǎn)化為△ABG的中位線……

圖6

師：很好！請(qǐng)問圖6中梯形ABCD的面積與哪個(gè)圖形的面積相等？

生8：因?yàn)椤鰽DF≌△GCF，所以S梯形ABCD=S△ABG.

師：有沒有其他的轉(zhuǎn)化？

生9：如圖7，連接BD交EF于點(diǎn)G，將梯形轉(zhuǎn)化為△ADB和△CDB，證明EG、GF分別為△ABD、△DBC的中位線……

圖7

生10：連接AC，由法2同理可得……

生11：如圖8，過點(diǎn)A作AH∥DC交EF、BC于點(diǎn)G、H，證明G為AH的中點(diǎn)，問題也可以迎刃而解……

圖8

師：我們來一起回顧這個(gè)問題的解決過程，無論是法1還是法2，究其本質(zhì)都是通過添加輔助線，將原本梯形的中位線無一例外地轉(zhuǎn)化成三角形的中位線，將未知轉(zhuǎn)化為已知.

師：請(qǐng)同學(xué)們運(yùn)用今天所學(xué)的方法，試著解決下面的問題.

例2如圖9，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm，AD= 18cm，BC=21cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AD邊向點(diǎn)D以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿CB邊向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)四邊形PQCD是等腰梯形時(shí)，求t為多少？

圖9

師：哪一組來回答？

生12：如圖10，因?yàn)锳D∥BC，等腰梯形是軸對(duì)稱圖形，要說明四邊形PQCD是等腰梯形，則作PN⊥BC，DM⊥BC，有QN=MC=3，即轉(zhuǎn)化為QC-PD=6得到解決.

圖10

師：這位同學(xué)回答非常好，他透過圖形，看到問題實(shí)質(zhì)，將所求的等腰梯形有效轉(zhuǎn)化為“QC-PD=6”.

生13：如圖11，由法1，可以考慮過點(diǎn)P作DC的平行線交QC于點(diǎn)E，可以直接轉(zhuǎn)化為QE=6.

師：對(duì)于這個(gè)問題的處理，這兩位同學(xué)都是抓住圖形的幾何特征，運(yùn)用了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的思想.課后，大家考慮一下能否從代數(shù)角度利用兩腰相等，通過計(jì)算解決問題？

解讀：通過例1、例2的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生在多重交互互動(dòng)（師生互動(dòng)、生生互動(dòng)、生師互動(dòng)）中體驗(yàn)梯形與三角形、平行四邊形之間的轉(zhuǎn)化，這樣的探究活動(dòng)發(fā)展了學(xué)生的思維能力，有效地改變了學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，有利于掌握認(rèn)識(shí)事物的一般規(guī)律；有利于學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

圖11

3.小結(jié)全課，提升理念（師生共同完成）

（1）方法比知識(shí)更重要.

（2）解決梯形問題的基本思路和方法：通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線，把梯形問題轉(zhuǎn)化為平行四邊形或三角形的問題來解決.

（3）梯形中常添加的輔助線有幾種，由學(xué)生小結(jié).

解讀：從知識(shí)、方法、過程等方面進(jìn)行課堂小結(jié)，鼓勵(lì)學(xué)生從獲得知識(shí)、形成技能、發(fā)展能力、養(yǎng)成品德等方面談?wù)勛约旱氖斋@及體會(huì).不僅能幫助學(xué)生從整體上掌握所學(xué)知識(shí)和方法，而且使學(xué)生逐步體會(huì)一些重要的數(shù)學(xué)思想方法，從而提升了學(xué)生的思維含量，促進(jìn)了學(xué)生的全面發(fā)展.

三、教后反思

日本著名的數(shù)學(xué)教育家米山國藏指出：“作為知識(shí)的數(shù)學(xué)出校門不到兩年就忘了，唯有深深銘記于頭腦中的數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)思想及研究方法等，這些隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使人們終生受益.”思想方法的滲透，會(huì)使思維變得開闊、靈動(dòng).久而久之，數(shù)學(xué)的枯燥、難學(xué)就會(huì)變得趣味橫生.思維的“思想”化，解題的“方法”化，是一個(gè)量變的積累過程，一個(gè)由學(xué)會(huì)向會(huì)學(xué)的轉(zhuǎn)化過程.

1.精心預(yù)設(shè)，將思想方法滲透給學(xué)生

方法比知識(shí)更重要，學(xué)生在解題過程中，可能不會(huì)對(duì)自己的思維過程進(jìn)行整理分析，這恰恰是教師需要引導(dǎo)的，要教會(huì)學(xué)生從正確的解題思路中總結(jié)方法，提高對(duì)解題的理解，最終形成學(xué)生自身的數(shù)學(xué)思維能力.在復(fù)習(xí)課的教學(xué)中，要能基于對(duì)解題這樣的理解，高屋建瓴地開展教學(xué)，可以達(dá)到事半功倍的效果.在本課例中，每探究完一組題后，教師都請(qǐng)同學(xué)們歸納解決問題的一般方法，及時(shí)和學(xué)生分享所運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想方法，這些都充分體現(xiàn)了對(duì)“四基”中基本思想方法及基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的深刻理解，從而有效地提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).當(dāng)然，從教學(xué)實(shí)際效果來看，把例1、例2的探究從課前移到課上，直觀感受“轉(zhuǎn)化思想”的生長過程，親自體會(huì)知識(shí)從手中誕生.這不僅能提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，而且大大拓展了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的廣度、深度及厚度，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和再創(chuàng)造能力.

2.多重交互，在對(duì)話互動(dòng)中共同發(fā)展

《課標(biāo)（2011年版）》指出：“教學(xué)活動(dòng)是師生積極參與、交往互動(dòng)、共同發(fā)展的過程.有效的教學(xué)活動(dòng)是學(xué)生學(xué)與老師教的統(tǒng)一，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者.這要求通過教師的“有效引領(lǐng)”，讓學(xué)生“在交互中自主創(chuàng)新，掌握探究之法；在體驗(yàn)中豐富數(shù)學(xué)思想，感受數(shù)學(xué)之美”，從而實(shí)現(xiàn)師生的“協(xié)同發(fā)展”.可以發(fā)現(xiàn)，本課例中以“梯形”為主題，以轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用為主線，開門見山，以題組形式，分類呈現(xiàn)，在教師的“有效引導(dǎo)”下，“例1”、“例2”是從學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)（梯形與三角形、平行四邊形之間的相互轉(zhuǎn)化），經(jīng)歷“親自操作”、“親自體會(huì)”、“積極參與”、“與人合作”、“自己提出并研究解決問題的方法”、“深刻體會(huì)”的過程，在體驗(yàn)中感悟，在感悟中升華，最后自主創(chuàng)新歸納得出對(duì)于梯形問題的解決策略.在這個(gè)過程中，學(xué)生獲得的不僅僅是數(shù)學(xué)知識(shí)、基本技能、研究和解決問題的策略，而且體驗(yàn)到數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿探索與創(chuàng)造的活力，并獲得了成功的喜悅，激勵(lì)了自主探究、合作學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性.

1.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

2.李善良.理清核心主線，優(yōu)化教學(xué)過程［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2013（10）.

3.章建躍.構(gòu)建邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程使學(xué)生學(xué)會(huì)思考［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2013（6）.H