☉湖北省房縣教研室 昝光軍

導學案不要偏離課程標準
——以“同底數(shù)冪的除法”導學案中零指數(shù)冪的規(guī)定為例

☉湖北省房縣教研室 昝光軍

《中學數(shù)學》2014年第6、10期兩期關(guān)于導學案問題的討論，指出“導學案不能淪落為習題單”［1］、“導學案不能將教材擠向邊緣”［2］，筆者頗有同感.現(xiàn)以“同底數(shù)冪的除法”導學案中零指數(shù)冪的規(guī)定與課程標準的教學建議相對照，談?wù)剬Α皩W案不要偏離課程標準”的一點思考.

一、同底數(shù)冪的除法導學案與課程標準例子簡述

1.同底數(shù)冪的除法某導學案案例簡述

（一）引入新知.

（1）同底數(shù)冪的乘法法則.

（2）問題：一種數(shù)碼照片的文件大小是28K，一個存儲量為26M（1M=210K）的移動存儲器能存儲多少張這樣的數(shù)碼照片？列式為：_______________，這是一種什么運算？如何計算呢？

（二）探索新知.

請同學們做如下運算：

（1）①28×28；②52×53；③102×105；④a3·a3.

（2）填空：

①（）·28=216；②（）·53=55；

③（）·105=107；④（）·a3=a6.

除法與乘法是兩種互逆運算，要求空內(nèi)所填數(shù)，其實是一種除法運算，所以這四個小題等價于同底數(shù)冪的除法.從上述運算能否發(fā)現(xiàn)商與除數(shù)、被除數(shù)有什么關(guān)系？

①216÷28=（）；②55÷53=（）；

③107÷105=（）；④a6÷a3=（）.

從上述運算中歸納出同底數(shù)冪的除法法則：______________________.

根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則，問題2中計算的結(jié)果為：______________________.

例題講解：

（1）計算：①x8÷x2；②a4÷a；③（ab）5÷（ab）2.

（2）先分別利用除法的意義填空，再利用am÷an=am-n的方法計算，你能得出什么結(jié)論？

①32÷32=（）；

②103÷103=（）；

③am÷an=（）（a≠0）.

可得：am÷am=am-m=a0（a≠0）.這樣可以總結(jié)得a0=1（a≠0）.于是規(guī)定：a0=1（a≠0）.

即：任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1.

這樣，我們學習的同底數(shù)冪的除法的運算法則就可以擴展到：

am÷an=am-n（a≠0，m、n都是正整數(shù)，且m≥n）.

（三）運用新知.

若（2x+1）0=1，則（）.

（四）小結(jié).

（五）能力提升.

若32x-1=1，則x=__________；若（x-2）0=1，則x的取值范圍是___________.

（六）當堂反饋.

若（2a-3b）0=1成立，則a、b滿足什么條件？

2.2011版課程標準中教學建議原文

例80［3］“零指數(shù)冪”的教學設(shè)計（第三學段）.

本實例希望體現(xiàn)課程目標在課堂教學中的整體落實——通過本節(jié)課的學習，學生不僅理解和掌握有關(guān)的知識技能，而且初步了解指數(shù)概念是如何擴充的，感受零指數(shù)冪“規(guī)定”的合理性.

通過計算23÷23提出問題：如果應(yīng)用同底數(shù)冪的運算性質(zhì)，可以得到23÷23=23-3=20.那么20有什么意義呢？等于多少呢？我們需要做出解釋，教學面臨了挑戰(zhàn).

我們先回顧簡單的事實：23÷23=8÷8=1，于是可以自然提出猜想：20=1，然后采用各種途徑引導學生感受規(guī)定“20=1”的合理性.例如：

用細胞分裂作為情境，提出問題：一個細胞分裂1次變2個，分裂2次變4個，分裂3次變8個，…，那么，一個細胞沒有分裂時呢？

觀察數(shù)軸上表示2的正整數(shù)次冪的16、8、4、2等點的位置變化，可以發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

再觀察下列式子中指數(shù)、冪的變化，可以發(fā)現(xiàn)下面的規(guī)律：

24=16，23=8，22=4，21=2，20=1.

這樣，在學生感受“20=1”的合理性的基礎(chǔ)上，做出零指數(shù)冪意義的“規(guī)定”，即a0=1（a≠0）.

在規(guī)定的基礎(chǔ)上，再次驗證這個規(guī)定與原有“冪的運算性質(zhì)”是無矛盾的，原有的冪的運算性質(zhì)可以擴展到零指數(shù).例如，計算a5÷a0：

運用冪的運算性質(zhì)，得a5÷a0=a5-0=a5；

根據(jù)零指數(shù)冪意義的規(guī)定，得a5÷a0=a5÷1=a5.

綜上，學生在學習“零指數(shù)冪”時將經(jīng)歷如下的過程：面對挑戰(zhàn)進行思考—提出“規(guī)定”的猜想—通過各種途徑說明“規(guī)定”的合理性—做出“規(guī)定”—驗證這種“規(guī)定”與原有知識體系無矛盾—指數(shù)概念和性質(zhì)得到擴展.

這樣的過程較充分地體現(xiàn)了數(shù)學自身發(fā)展的軌跡，有助于學生感悟指數(shù)概念是如何擴展的，他們借助學習“零指數(shù)冪”所獲得的經(jīng)驗，可以進一步嘗試對負整數(shù)指數(shù)冪的意義做出合理的“規(guī)定”.這樣的過程較充分地展示了“規(guī)定”的合理性，有助于發(fā)展學生的理性思維.

二、兩者的對比

上述導學案只是眾多導學案中的一個，也很有代表性.粗看整個教學過程，設(shè)計思路清晰，不論是問題的提出，還是新知探究運用，都比較合理，但仔細分析，特別是與課程標準的教學建議相對照，就會發(fā)現(xiàn)問題.如在零指數(shù)冪意義的規(guī)定這一新知的產(chǎn)生過程中，導學案從具體32÷32=（），103÷103=（），抽象到am÷an=（）（a≠0），進而總結(jié)得到a0=1（a≠0）的規(guī)定.而課程標準的例80中“零指數(shù)冪”的教學設(shè)計是引導學生經(jīng)歷如下過程：①揭示矛盾.23÷23=8÷8=1，若應(yīng)用正整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，則23÷23=23-3=20，面對挑戰(zhàn)進行思考—提出“規(guī)定”的猜想—通過各種途徑說明“規(guī)定”的合理性—做出“規(guī)定”—驗證這種“規(guī)定”與原有知識體系無矛盾—指數(shù)概念和性質(zhì)得到擴展.

通過以上對比我們可以看到，上述導學案偏離了課程標準，與課程標準中的教學建議大相徑庭.

三、對比后的思考

1.導學案不要偏離課程標準

國家課程標準是教材編寫、教學、評估和考試命題的依據(jù)，是國家管理和評價課程的基礎(chǔ).由于課程標準規(guī)定的是國家對國民在某方面或某領(lǐng)域的基本素質(zhì)要求，因此，它毫無疑問地對教材、教學和評價具有重要指導意義，是教材、教學和評價的出發(fā)點與歸宿.因此，無論教材、教學還是評價，出發(fā)點都是為了課程標準中所規(guī)定的那些要求的培養(yǎng)，最終的落腳點也都是這些基本要求的實現(xiàn).可以說，課程標準中規(guī)定的基本要求是教學和評價的靈魂，也是整個基礎(chǔ)教育課程的靈魂.無論導學案如何設(shè)計，無論評價如何開展，都必須圍繞著這一基本要求，都不能偏離這個核心.

2.數(shù)學導學案應(yīng)引導學生進行探究性學習

在設(shè)計導學案時，應(yīng)遵循課程標準，注重“知識問題化，問題探究化”，從而培養(yǎng)學生的問題意識，以及發(fā)現(xiàn)問題的能力.從這一點來講，導學案可以簡單地理解為“問題式教學”，旨在讓探究性學習成為學生學習的一種常態(tài).當學習遇到問題的挑戰(zhàn)時，當學習發(fā)生質(zhì)疑對抗時，當學生投入到對知識的探究時，這時的學習體驗才變得更深刻，更有意義.為此導學案設(shè)計要有利于學生進行探究性學習，內(nèi)容由易到難，由淺入深，分層探究，有序引導，逐步生成，要通過對知識點的設(shè)疑、質(zhì)疑、解疑，來激發(fā)學生的思維，培養(yǎng)學生的探究精神和創(chuàng)新精神，以及對知識分析、歸納、演繹的能力.

3.導學案應(yīng)當給學生留下充分的思維空間

學生學習數(shù)學的目的不僅僅是獲得知識與技能，更重要的是獲得自己去探索數(shù)學的體驗和利用數(shù)學去解決實際問題的能力，獲得對客觀事實尊重的理性精神和對科學執(zhí)著追求的態(tài)度.因此，在數(shù)學教學中，必須通過激發(fā)學生主動的活動，包括觀察、描述、畫圖、操作、猜想、實驗、收集整理數(shù)據(jù)、思考、推理、交流和應(yīng)用等，讓學生親身體驗如何“做數(shù)學”、如何實現(xiàn)數(shù)學的“再創(chuàng)造”，并從中感受到數(shù)學的力量.教師在設(shè)計導學案時，應(yīng)當給學生留下充分的思維空間，使學生能夠真正地開展數(shù)學的思維活動.

1.熊俊.導學案不能淪落為“習題單”——以“中位數(shù)和眾數(shù)”的導學案為例［J］.中學數(shù)學（下），2014（6）.

2.朱月華.導學案不能將教材擠向邊緣——以“有理數(shù)”導學案為例［J］.中學數(shù)學（下），2014（10）.

3.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

4.史寧中.義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）解讀［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

5.張海晨，李炳亭.高效課堂導學案設(shè)計［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.Z