陳奕含，楊 璐，張 拓，卜曉明，楊忻怡，王志福

(渤海大學數(shù)理學院，遼寧 錦州121000)

0 引 言

保險公司在實際生活中除了保險業(yè)務(wù)外，相當大一部分資金是由投資獲得的，所以考慮了投資因素的風險模型對保險公司而言無疑是非常有意義的，對這一方面的研究也更有利于保險公司對自身前景預測和發(fā)展的安排.同時利率的影響也是經(jīng)濟中不可忽視的，本文在經(jīng)典風險模型的基礎(chǔ)上，考慮了投資收益也將利率因素的影響加以研究將其進行了推廣得到了一個新的風險模型，同時得到和經(jīng)典模型十分相似的破產(chǎn)概率的表達式以及Lundberg 不等式.

1 模型引入

設(shè)保險公司的盈余過程為

(1)u=U(0)為保險公司的初始資本，c ＞0是保險公司在單位時間內(nèi)收到的保費，i 為常數(shù)，是利率;

(2)N(n)服從參數(shù)是(n，p)的二項序列，是理賠次數(shù)的過程，Xk，k=1，2，…表示每次的理賠額，是非負獨立分布，它的分布函數(shù)是F(x)，E(Zk)=μ ＜∞;

(3)N1(n)服從參數(shù)是(n，p1)的二項序列，Yj，j=1，2，…是隨機收益次數(shù)過程，表示每次的隨機收益額，獨立同分布，它的分布函數(shù)為G(y)，E(Yj)=γ ＜∞;

(4)假設(shè)N(n)，N1(n)，Zk，k=1，2，…，Yj，j=1，2，…，相互獨立.記T=inf{n，U(n)＜0}為破產(chǎn)時刻，則Ψ(u)=P(T ＜∞)為發(fā)生破產(chǎn)的概率，若存在任意的n ＞0，U(n)≥0，約定T=∞.保險公司要保證自身的穩(wěn)定經(jīng)營，則在單位時間內(nèi)，投資收益和保險費應該大于保險的索賠額，于是c(1+i)+p1γ－pμ ＞0.

2 主要結(jié)果

引理1 n ≥0 時{V(n)}具有平穩(wěn)的獨立增量

引理2 E［V(n)］=［c(1+i)+p1γ－pμ］n ＞0

引理3 存在r ＞0，使得E［e－rV(n)］＜∞由以上性質(zhì)知可得:

定理1 方程E［r－V(1)］=1 存在正解R，則R為調(diào)節(jié)系數(shù).

證明: 令g(r)=E［r－V(1)］－1，則可知g(r)是連續(xù)的函數(shù)，且得g(1)=0，g′(1)=－c(1+i)，則一定存在R ＞1 使得g(R)=0，即E［r－V(1)］=1.R 稱為調(diào)節(jié)系數(shù).為了的到破產(chǎn)概率Ψ(u)的表達式，需知:

引理4 若R 為一常數(shù)，且E［R－V(1)］=1，則{R－U(n)，n ≥0}為一正鞅.

證明 令An=σ{U(k)，k ≤n}是σ 代數(shù)，U(n+1)=U(n)－W(n+1)，其中W(n+1)=V(n+1)－V(n)與{U(0)，U(1)，…，U(n)}獨立，與V(1)同分布，對任意自然數(shù)n，R－U(n)＞0，根據(jù)引理2 得

故{R－U(n)，n ≥0}為一正鞅.

定理2 初始準備金為的破產(chǎn)概率為

其中R 為調(diào)節(jié)系數(shù)，且Ψ(u)≤e－Ru(1+i)

證明: 根據(jù)引理1 可得{V(n)，n ≥0}具有平穩(wěn)獨立增量，且E(V(1))=c(1+i)+p1γ－pμ＜∞，所以，由強大數(shù)定律知∞，則，對任意n ≥0，因為破產(chǎn)時刻T是停時，則T ∧n 也為停時，又有引理4，由停時定理得

在上式中令n →∞，再由單調(diào)收斂定理和Lebesgue 控制收斂定理知

則

即

其中Ψ(u)≤e－Ru(1+i)，稱為Lundberg 不等式，e－Ru(1+i)稱為Ψ(u)的Lundberg 上界.

推論1 Ψ(u)≤R－u

推論3 存在正常數(shù)X，使得Ψ(u)～Xe－Ru(1+i)，u →∞

即

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