甘勝進(jìn)，游文杰，涂開仁

(1，2.福建師范大學(xué)福清分校電子與信息工程學(xué)院 福建 福清350300;3.福建師范大學(xué)福清分校經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，福建 福清350300)

0 引 言

p 維連續(xù)型隨機(jī)變量X=(X1，X2，…，Xp)T的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x1，x2，…，xp)，邊緣分布函數(shù)分別為F1(x1)，F(xiàn)2(x2)，…，F(xiàn)p(xp)，則有:

其中諸Fi(Xi)～U［0，1］，F(xiàn)i(xi)=ui，(u1，u2，…，up)∈［0，1］p.由此可見Copula 函數(shù)把聯(lián)合分布函數(shù)與其邊緣分布函數(shù)連接起來，是［0，1］上均勻分布隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)，能夠有效研究變量間相依性，其在經(jīng)濟(jì)金融、風(fēng)險(xiǎn)管理等方面有著這廣泛的應(yīng)用.高斯Copula 函數(shù)是多元正態(tài)分布的Copula 形式，由于隨機(jī)變量的單調(diào)遞增變換不會(huì)改變其Copula 函數(shù)形式，故不妨設(shè)X ～Np(0，R)，其中R(＞0)為相關(guān)系數(shù)矩陣，φ(x)，φ(x)分別表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)和密度函數(shù)，則高斯Copula 函數(shù)為:

其Copula 密度為:

X 的聯(lián)合密度函數(shù):

1 利用高斯Copula 函數(shù)研究二元正態(tài)變量之間的相關(guān)性

為計(jì)算方便，不妨對(duì)二元高斯Copula 進(jìn)行探討，類似的方法可以推廣到多元，即

1.1 尾相依系數(shù)

稱p(X2≤x|X1≤x)為度量在隨機(jī)變量X1實(shí)現(xiàn)條件下X2實(shí)現(xiàn)的概率大小，當(dāng)x →－∞稱此時(shí)極限為極下尾相依系數(shù)(TDC)，記λL為，為了便于利用Copula 函數(shù)計(jì)算，假設(shè)X1，X2具有相同的邊緣分布為F(x)，則:

性質(zhì)1:λL=0.證明:

說明兩正態(tài)分布在尾部是漸進(jìn)獨(dú)立的.

性質(zhì)2: 當(dāng)－1 ≤ρ1≤ρ2≤1，Cρ1(u，v)≤Cρ2(u，v)，并且C－1(u，v)=max(u+v－1，0)，C1(u，v)=min(u，v)，進(jìn)而當(dāng)ρ ≥0，uv ≤Cρ(u，v)≤min(u，v).

此性質(zhì)的證明需要用到以下引理:

引 理［2］:(X1，X2，…，Xp)T， (X1′，X2′，…，Xp′)T分別服從Np(0，Σ)，Np(0，Σ′)多元正態(tài)分布，若Σ ≥Σ′(≥表示對(duì)應(yīng)元素大小關(guān)系)，則對(duì)于任意的實(shí)數(shù)t1，t2，…，tp，有

下圖是使用R 軟件繪出u=v 時(shí)，C(u，u)對(duì)ρ=0.5，0，－0.5 圖像

1.2 尾Copula 函數(shù).

另外一種描述尾部相依特征的是尾相依Copula 函數(shù)，下尾Copula 函數(shù)定義如下:

其中

圖1 Cρ(u，u)分別對(duì)ρ=0.5，0，－0.5 圖像

類似地可以定義上尾Copula 函數(shù)，在此不再贅述.當(dāng)u →0 時(shí)，稱)為極下尾Copula函數(shù)，而這往往是諸多學(xué)者研究的重點(diǎn)［3～4］.關(guān)于極尾Copula 計(jì)算，最初由文獻(xiàn)［5］給出相關(guān)計(jì)算定理，文獻(xiàn)［6］在此基礎(chǔ)上稍加改動(dòng)，更加一般化，定理如下:

定理1［6］:C(u，v)為［0，1］2連續(xù)函數(shù)，并且對(duì)于任意的u ＞0，v ＞0，有C(u，v)＞0，若下列極限存在:

則

其中

事實(shí)上，依據(jù)條件可得

故

關(guān)于高斯分布的極下尾Copula 函數(shù)計(jì)算參照文獻(xiàn)［5］方法，可得，故y)=xy，恰好漸進(jìn)獨(dú)立.與下極尾相關(guān)系數(shù)得到的結(jié)論相同.

2 高斯分布的極值copula 函數(shù).

二維高斯CopulaC(u，v)的極值Copula 函數(shù)為，為計(jì)算極值Copula 函數(shù)，作以下定義:稱b(w1，w2，…，wp)=為X=(X1，X2，…，XP)T尾相依函數(shù)，顯然當(dāng)p =1 時(shí)，b(w1)=w1，并且b(w1，w2，…，wp)為階數(shù)為1 的齊次函數(shù)，即b(tw1，tw2，…，twp)=tb(w1，w2，…，wp)，兩邊關(guān)于t 求導(dǎo)，然后令t=1 代入得到:

由尾相依函數(shù)定義可知:

令

wI表示由wi，i ∈I 構(gòu)成的集合.文獻(xiàn)［8］證明了C(u1，u2，…，up)的極值Copula 函數(shù):

性質(zhì)3: 二元正態(tài)分布的極值Copula 函數(shù)CEV(u1，u2)=u1u2

證明:

極值Copula 函數(shù)CEV(u1，u2)=u1u2，表明極值變量間也是相互獨(dú)立的.

［1］ Gabriel Frahm.On the Extremal Dependence Coefficient of Multivariate［J］.Statistics＆Probability Letters，2006，76:1470–1481.

［2］ Yin Chan and Haijun Li.Tail Dependence for Multivariate T －Copulas and Its Monotonicity［J］.Insurance:Mathematics and Economics，2008，42(2):763–770.

［3］ Demarta S，McNeil A J.The t Copula and Related Copulas［J］.International statistical review，2005，73(1):111－129.

［4］ Bortot P.Tail Dependence in Bivariate Skew－Normal and Skew－t Distributions［J］.Available Online:www2.stat.unibo.it/bortot/ricerca/paper－sn－2.pdf，2010.

［5］ Alessandro Juri and Mario V.Wüthrich.Tail Dependence from a Distributional Point of View［J］.Extremes，2003，6(3):213－246.

［6］ Elena Di Bernardino and V_eronique Maume－Deschamps.Estimating Bivariate Tail:a Copula Based Approach［J］.Journal of Multivariate Analysis，2013，119:81–100.

［7］ Roger B.Nelsen.An Introduction to Copulas［M］.Second Edition.New York:Springer Science Business Media，2006.

［8］ Aristidis K.Nikoloulopoulos and Harry Joe.Extreme Value Properties of Multivariate t Copulas［J］.Extremes，2009，12(2):129－148.