吳 英

（浙江省紹興市高級中學）

新課程理念倡導的數(shù)學課堂教學必須“以學生的學為本”“以學生的發(fā)展為本”，即數(shù)學課堂教學應(yīng)當是人的發(fā)展的“學程”教學，而不是單純以學科為中心的“教程”的教學。故教師在把握數(shù)學課堂教學的科學性的同時，必須講究教學的藝術(shù)性。課堂上，教師在以學生為本的基礎(chǔ)上施以巧妙的教學方法、教學技巧，將起到事半功倍的效果。所以面對同樣的教材內(nèi)容，我們要從學生的認知角度培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)出發(fā)，適當加工，從特殊到一般，從具體到抽象，逐步深入，揭示知識本質(zhì)。那如何實行有效的課堂教學呢？筆者有以下幾個建議，僅供參考。

一、以問題為中心，建構(gòu)有效教學的課堂

1.創(chuàng)設(shè)有效問題情境

有效的教學應(yīng)該把學生置于一種完整或逼真的問題情境中，使他們產(chǎn)生學習的需要，并通過師生有效互動，促使他們主動學習、生成性地學習，最終獲得問題解決的技能。以問題為中心的學習要避免“開放過度”的問題情境，要避免“探究無力”和“探究無味”的問題情境，因此它必須具有如下特征：（1）問題的“研究性”能否引起更多學生的興趣，引起更多學生的深入思考，從而有效培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、研究問題的科學素養(yǎng)。（2）問題的“障礙性”與學生的認知水平是否辯證統(tǒng)一，會不會嚴重阻礙學生的接受和興趣，影響研究質(zhì)量和效率。

例如，在雙曲線應(yīng)用教學中，設(shè)計如下問題情境：一次，在海岸A、B 兩個觀察所，收到大海中一所油輪出事的求救信號，而且在觀察所A 處聽到爆炸聲的時間比在B 處晚2s。那么，爆炸點應(yīng)在什么樣的曲線上，曲線方程是什么？

這是一個基于真實情景設(shè)計的問題，解決問題的全部信息已經(jīng)呈現(xiàn)出來。首先，學生必須把握情境中包含的有用信息，如聲音在空氣中傳播的速度，A、B 兩個觀察所之間的距離等。其次，學生抽象出問題的實質(zhì)，并獨立地運用所學知識找到解決問題的辦法，如果學生不能獨立解決，則引導他們進行討論。

課堂上學生所面對的問題應(yīng)該是“跳一跳”能“夠得著”的才有意義，才能激起學生的學習興趣。以此為切入點，在課堂教學中教師必須要有問題意識，盡可能地以學生自主發(fā)現(xiàn)問題、主動探究解決問題為課堂的開始與歸屬。

2.創(chuàng)設(shè)有效問題串

問題串的有效性應(yīng)具備以下幾個特征：（1）問題的設(shè)計要符合學生一般認知規(guī)律，身心發(fā)展規(guī)律等；（2）開發(fā)性：問題富有層次感，入手較易，開發(fā)性強，解決方案多，學生思維與創(chuàng)造的空間較大；（3）挑戰(zhàn)性：能引起學生的認知沖突和學習心向，能激發(fā)興趣，促進學生能夠積極參與，接受問題的挑戰(zhàn)；（4）體驗性：能給學生提供深刻體驗，人人有所得，包括操作、探究的機會或替代性經(jīng)驗，學生能夠感受、體驗數(shù)學。

設(shè)計符合學情的“問題串”至關(guān)重要，只有這樣，才能使問題串搭建起“適切”的“腳手架”，從而突破核心思想教學的難點，引導學生自主探究，并在過程中形成思想，讓教學做到真正有效，適度開放。例如，高中數(shù)學必修五第三章“二元一次不等式（組）與平面區(qū)域”以問題串的形式探究二元一次不等式表示的平面區(qū)域。我們先從二元一次不等式x-y＜6 的解集開始研究。

問題①：二元一次不等式x-y=6 的解集是什么圖形？

問題②：在平面直角坐標系中，所有的點被直線x-y=6 分成幾類？

問題③：如何判斷點在直線上？

問題④：以不等式x-y＜6 的解為坐標的點與直線x-y=6 有怎樣的位置關(guān)系？

問題⑤：如果（x，y1）是直線x-y=6 上的點，則x-y1=6。當y1＞y時，點（x，y）是否滿足x-y＞6？

結(jié)論：一般地，平面直角坐標系中，在直線Ax+By+C=0 的一側(cè)Ax+By+C＞0，另一側(cè)Ax+By+C＜0（多媒體演示結(jié)論）

問題⑥：怎樣判斷二元一次不等式Ax+By+C＞0 表示的平面區(qū)域在直線Ax+By+C=0 的哪一側(cè)呢？

問題①到問題④設(shè)計于學生的現(xiàn)有發(fā)展區(qū)，問題⑤教師借助多媒體演示整個內(nèi)容，再提出問題⑥。課堂上，教師緊緊地牽引著學生的思維，進行針對性的指導和引領(lǐng)，使學生的新舊知識順利過渡，更易理解和掌握。當然，教育現(xiàn)實中，任何設(shè)計都不可能同時適合幾十位學生，但我們要追求的是——讓我們的問題串盡量去滿足盡可能多的學生，讓我們一起努力吧！

二、以探究性教學為中心，建構(gòu)有效教學的課堂

新一輪數(shù)學課程改革強調(diào)數(shù)學學習活動中自主探究、動手實踐、合作交流等學習方式。探究性教學是指在教師的幫助和支持下，學生圍繞一定的問題、文本或材料，自主尋求或自主建構(gòu)答案、意義、理解或信息的活動或過程。探究性教學應(yīng)該是全部數(shù)學教學模式的重要組成部分，但僅僅是一部分。筆者認為高中數(shù)學探究性教學在傳授學生知識的同時更重要的目標是：讓學生在經(jīng)歷探究的過程中，培養(yǎng)好奇心與求知欲；培養(yǎng)科學的推理能力；發(fā)展決策能力；培養(yǎng)抗挫力和克服困難的毅力以及形成實事求是的科學態(tài)度避免想當然的思維方式才是探究性教學的真正目標。

例如，在拋物線教學的習題中有這樣一道題。過拋物線y2=2x的焦點的一條直線和此拋物線相交，兩個交點的縱坐標為y1，y2，求證：y1y2=-1。

經(jīng)過探究，學生可以反思，教師也可以設(shè)置如下問題，繼續(xù)探究。

反思①：過x 軸上的任一點（a，0）的直線與拋物線y2=2px 交于兩點A（x1，y1），B（x2，y2），y1y2，x1x2是否也都為常數(shù)呢？

反思②：過y 軸上的任一點（0，b）（b≠0）的直線與拋物線y2=2px 交于兩點A（x1，y1），B（x2，y2），y1y2，x1x2是否也都為常數(shù)呢？

反思③：過平面上的任一點（a，b）的直線與拋物線y2=2px 交于兩點A（x1，y1），B（x2，y2），y1y2，x1x2是否也都為常數(shù)呢？

這樣可以使學生真正理解并掌握這塊知識并能正確運用。通過探究可以培養(yǎng)學生不斷探究，不斷反思的良好習慣，培養(yǎng)學生的抗挫力并鍛煉學生克服困難的毅力，以此來培養(yǎng)學生科學合理的推理能力并發(fā)展學生的決策能力。

三、以變式教學為中心，建構(gòu)有效教學的課堂

變式教學是在教學中用不同形式的直觀材料或事物說明事物的本質(zhì)屬性，或變換同類事物的非本質(zhì)特征以突出事物的本質(zhì)特征。通過變式教學能讓學生對概念、定理、公式有多角度的理解；同時通過對問題的多層次的變式構(gòu)造，可以使學生對問題解決過程及問題本身的結(jié)構(gòu)有一個清晰的認識，也能有效地幫助學生積累問題解決的經(jīng)驗和提高解決其他問題的能力。因此變式教學是提高課堂效率的有效途徑，是一種行之有效的教學方式。

變式時，適時改變問題情境，引導學生考察新情景中的結(jié)論、求解思路，有益于學生掌握類比遷移的技能，提高觸類旁通的解題能力。變式教學可以避免枯燥的重復演練，“重復經(jīng)過變式而得到發(fā)展”。例如，在高中教學必修5 第三章“數(shù)列”有這樣一道習題：已知Sn是等比數(shù)列｛an｝的前n 項和，S3，S9，S6成等差數(shù)列，求證：a2，a8，a5成等差數(shù)列。在求證過程中我們?nèi)菀字?+q3=2q6是一個關(guān)鍵的式子，有了此式，我們很容易得到大量的新的“結(jié)果”。

變式①：已知Sn是等比數(shù)列｛an｝的前n 項和，Sn，Sn+6，Sn+3成等差數(shù)列，求證：an，an+6，an+3成等差數(shù)列。

從這個意義上講，給村社集體以實權(quán)，讓他們具有依據(jù)當?shù)貙嶋H來進行公共事業(yè)建設(shè)的權(quán)力，而不是限制村社集體權(quán)力，約束村社集體權(quán)力，甚至直接虛化和架空村社集體，國家與農(nóng)民之間才會有一個有力的對接平臺與工作抓手。

變式②：已知Sn是等比數(shù)列｛an｝的前n 項和，Sk，Sk+m,Sk+n（k，m，n∈N+）成等差數(shù)列，求證：ap，ap+m，ap+n（p∈N+））成等差數(shù)列。

變式是教學的一種手段，我們在教學中要重視引導學生在變中悟，在變中練，有利于開拓思維，有效提高學生的學習能力，使教學收到事半功倍的效果。

四、以特殊化教學為中心，建構(gòu)有效教學的課堂

特殊化思想是中學數(shù)學中應(yīng)用最為廣泛的數(shù)學思想之一，可以起到形成良好的思維品質(zhì)，培養(yǎng)和發(fā)展思維能力的作用。在教學中應(yīng)有意識應(yīng)用這個載體，加強對學生數(shù)學思維的鍛煉的能力的培養(yǎng)。特殊化思想作為解題技巧，它沒有既定的模式，需要解題者從不同的角度和層面去探求特殊值，特殊化狀態(tài)，特殊位置等來得到問題的特殊情況。

特殊化思想作為一種技巧，關(guān)鍵在于選取“一針見血”的特例，但特例并非一貫的偶得，而是解題者的“數(shù)感”，是建立在合理的數(shù)學知識結(jié)構(gòu)，清晰的概念理解，廣泛而大膽的聯(lián)想與猜想之上的，是一種直接的領(lǐng)悟性的思維活動。在邏輯推理上，由反例來否定命題，還可以運用特例，得到問題的必要條件，然后再通過檢驗、證明，形成問題的充要條件。教師應(yīng)在教學中鼓勵學生大膽地聯(lián)想和猜想，然后通過比較和反思，去得到最優(yōu)的特例，并反思特例與問題本質(zhì)之間的聯(lián)系，從而提高學生的思維的靈活性和敏捷度，培養(yǎng)學生的直覺思維。英國心理學家瓦拉斯提出創(chuàng)造性思維的“準備—醞釀—豁朗—驗證”四個階段，在教學中以學習特殊化解題策略為載體，遵循這四個階段來培養(yǎng)創(chuàng)新思維，能夠達到很好的效果。

五、以信息技術(shù)教學為中心，建構(gòu)有效教學的課堂

當今教育的側(cè)重點必須隨著計算機在數(shù)學中的應(yīng)用而有所改變，特別是幾何畫板的運用，使數(shù)學學習更直觀化。教師可以讓學生通過自己動手操作，進行探究、發(fā)現(xiàn)、思考、分析、歸納等思維活動，最后獲得概念、理解或解決問題。教師應(yīng)鼓勵學生去探索數(shù)學問題以及用數(shù)學去解決問題，不僅要培養(yǎng)學生的邏輯能力，空間想象能力和運算能力，還要培養(yǎng)數(shù)學建模能力、數(shù)據(jù)處理能力和探究學習能力，加強在“用數(shù)學”方面的教育，使得學生明白數(shù)學是多么基礎(chǔ)又重要的學科。

六、以精講精練的教學為中心，建構(gòu)有效教學的課堂

例如，高二“有限制條件的排列問題”的數(shù)學內(nèi)容，課本中有這樣一道例題：用0 到9 這10 個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)？易見，課本中安排這道例題，旨在讓學生“提煉”解決有限制條件的排列問題的三種最基本最常用的方法：特殊元素分析法、特殊位置分析法、間接法。細細“揣摩”教材的用意以后，在設(shè)計本例時，給出以下兩個小問題：

①從這10 個數(shù)字中選出不重復的3 個數(shù)字作為函數(shù)y=ax2+bx+c 中a，b，c 的值，問可以組成多少個不同的二次函數(shù)？

②從這10 個數(shù)字中選出不重復的3 個數(shù)字作為圓的方程（xa）2+（y-b）2=r2中a，b，r 的值，問可以組成多少個不同的圓的方程？

第①小題后接著問：可以組成多少個關(guān)于y 軸對稱的二次函數(shù)？可以組成多少個不同的二次函數(shù)（把“二次函數(shù)”拓展為“函數(shù)”）？

第②小題后接著問：可以組成多少個圓心在x 軸上的圓方程？

練習是數(shù)學教學的一個重要組成部分，學生通過訓練，鞏固概念，體會數(shù)學思想，掌握數(shù)學方法。訓練內(nèi)容針對性和目的性要強，學習訓練的設(shè)計要有層次，根據(jù)學生的數(shù)學學習水平提出不同的訓練要求，重視學習訓練的質(zhì)量和效益。注重引導學生積極參與，讓學生體驗發(fā)現(xiàn)和解決數(shù)學問題的探究和學習過程，不斷地反思、歸納、優(yōu)化解決問題的策略，進而全面提高學生的數(shù)學素養(yǎng)。

七、以設(shè)置懸念的教學為結(jié)尾，建構(gòu)有效教學的課堂

在中學數(shù)學課堂教學的過程中課堂小結(jié)幾乎是少不了的，但教師在作課堂小結(jié)的時候，學生往往在做下課的準備，至多記下小結(jié)的內(nèi)容和作業(yè)，很少再積極主動深入地思考。因此，課堂小結(jié)成了課堂結(jié)束的序曲。教師應(yīng)在課堂結(jié)束時，提出一些富有啟發(fā)性的問題，不作解答，以造成懸念，預(yù)示新課，從而激發(fā)學生的求知欲，使他們渴盼“且聽下回分解”，這樣，此課的“尾”就成了彼課的“頭”，使新舊課之間有了銜接，把一次次的課堂教學連貫起來。教材中有許多開放性和探究性的問題，包括思考題、問題探究及探究、拓展練習等，另外還有一些閱讀材料，這些都是設(shè)置懸念的好材料。優(yōu)秀教師在教學結(jié)課時常常會使用設(shè)置懸念的方法，使學生在“欲知后事如何”時戛然而止，從而給學生留下了一個有待探索的未知數(shù)，激起學生學習新知識的強烈愿望。

數(shù)學教學是一門名副其實的藝術(shù)，數(shù)學課堂的“高效”設(shè)計，是科學與藝術(shù)的高度統(tǒng)一和完美結(jié)合。合理有效地安排教學內(nèi)容，合理有效地安排教學策略，努力實現(xiàn)數(shù)學課堂教學過程的最優(yōu)化。我們在探索數(shù)學課堂教學設(shè)計的科學性的同時要充分發(fā)揮它的藝術(shù)價值，不斷創(chuàng)新，追求高效課堂，有效教學。