王紅旗，毛啊敏

河南理工大學(xué) 電氣工程與自動化學(xué)院，河南 焦作 454000

1 引言

倒立擺是一個強耦合、欠驅(qū)動、非自衡、不確定的高階非線性系統(tǒng)，在軍工、航天和機器人控制等應(yīng)用領(lǐng)域具有重要的研究價值?；谀Ｐ偷木€性化控制方法在倒立擺控制中得到了較為廣泛的應(yīng)用。如：宋運忠等基于線性化模型研究了平面二級倒立擺的性能協(xié)調(diào)LQR控制，設(shè)計出一種實習(xí)性較好的控制器[1]。張蛟龍等基于平面二級倒立擺的近似線性化模型，設(shè)計了雙模糊自調(diào)整控制器[2-3]。上述研究成果都是基于平面二級倒立擺的近似線性化模型展開的，這些控制方法具有較好的運行速度，但是對模型精度的依賴性較高，抗干擾能力較差，難以實現(xiàn)穩(wěn)定控制。隨著控制理論的發(fā)展，不依賴動力學(xué)模型并具有更好抗擾動能力的一些控制方法也相繼出現(xiàn)并成功應(yīng)用到平面倒立擺中。如：段學(xué)超等基于平面二級倒立擺的近似線性化解耦，設(shè)計了自適應(yīng)滑?？刂破鳎瑢崿F(xiàn)了倒立擺的圓周行走控制[4]。李洪興等采用變論域自適應(yīng)模糊控制理論，實現(xiàn)了三級平面倒立擺的穩(wěn)定控制[5-7]。

本文針對實驗室的固高GPIP2002平面二級倒立擺，用模糊邏輯系統(tǒng)逼近倒立擺的不確定動態(tài)，基于李雅普諾夫穩(wěn)定理論提出了另一種不依賴于倒立擺模型的魯棒自適應(yīng)控制方法，實現(xiàn)了平面二級倒立擺的魯棒穩(wěn)定控制。

2 倒立擺動力學(xué)模型

固高平面二級倒立擺中，車體與第一級擺桿之間及兩級擺桿之間用虎克絞鏈接?；⒖私g的兩個轉(zhuǎn)軸相互垂直，沿虎克絞的軸向確定組件坐標(biāo)系[6]，坐標(biāo)原點建在虎克絞兩個轉(zhuǎn)軸的十字交點，并分別固結(jié)在虎克絞的輸入輸出軸套上?；⒖私g鏈接的相鄰兩個組件之間的齊次坐標(biāo)變換矩陣為：

如圖1建立平面二級倒立擺坐標(biāo)系，其中{OXYZ}為全局坐標(biāo)系，{eixiyizi}，i=1，2為虎克鉸輸入軸套坐標(biāo)系，原點在兩個正交轉(zhuǎn)軸的交點上，與虎克鉸輸入軸套固結(jié)，zi軸沿虎克鉸輸入軸方向，xi軸沿虎克鉸的轉(zhuǎn)軸方向；{oixiyizi}，i=1，2為虎克鉸輸出軸套即擺桿坐標(biāo)系，zi軸沿虎克鉸輸出軸即擺桿方向，坐標(biāo)原點同坐標(biāo)系{eixiyizi}，i=1，2 。

圖1 平面二級倒立擺系統(tǒng)

其中，Ni是車體，擺桿1，擺桿2和質(zhì)量塊的廣義質(zhì)心慣性張量。平面二級倒立擺系統(tǒng)的勢能可表示為：

其中，rci為車體，擺桿1，擺桿2和質(zhì)量塊的質(zhì)心在全局坐標(biāo)系中的位置矢量，g=(0，0，-g，0)T是重力加速度矢量。定義拉格朗日多項式L=T-V，按照拉格朗日原理計算、整理得平面二級倒立擺動力學(xué)方程為：

其中，z=[x，y，θx1，θy1，θx2，θy2]T是倒立擺系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)向量，u=(ux，uy)T是倒立擺平臺的驅(qū)動輸入轉(zhuǎn)矩，M(z)∈R6×6是倒立擺系統(tǒng)正定對稱的慣性矩陣，F(xiàn)(z，˙)∈R6是倒立擺系統(tǒng)由哥氏力和重力項組成的多項式向量，d(z)∈R6表示倒立擺系統(tǒng)的等效擾動和未建模動態(tài)，B(z)∈R6×2是倒立擺系統(tǒng)的輸入變換矩陣。

文中建模過程參考了文獻(xiàn)[6，9-10]和文獻(xiàn)[11]，但是文獻(xiàn)[6]中的建模方法忽略了質(zhì)量塊的動態(tài)，模型誤差較大；文獻(xiàn)[11]中的建模方法對虎克絞的坐標(biāo)變換順序有誤。本文糾正了這些做法，在建模中考慮了質(zhì)量塊的動態(tài)，并按右乘規(guī)則計算虎克絞的坐標(biāo)變換矩陣。

3 控制器設(shè)計

為實現(xiàn)控制器設(shè)計，首先需提出下面兩個假設(shè)：

（1）等效擾動和未建模動態(tài)d(z)∈R6有界。

（2）廣義坐標(biāo)向量的期望值向量zd二階導(dǎo)數(shù)存在且有界。

上述假設(shè)是合理的，在實際控制器設(shè)計中不難滿足，因為倒立擺實際存在的擾動和未建模動態(tài)等都是有界的；而倒立擺的實際運動軌跡及速度也是連續(xù)有界的，所以在設(shè)計倒立擺的期望軌跡時，可以使期望軌跡二階導(dǎo)數(shù)存在且有界。

設(shè)平面二級倒立擺系統(tǒng)的期望軌跡為zd∈R6，跟蹤誤差為 e=z-zd，濾波誤差為Kre。定義模糊控制器的輸入變量和平面倒立擺的多項式矩陣分別為0＜k＜1和

式（2）是倒立擺的不確定動態(tài)，不能直接基于這樣的動力學(xué)模型設(shè)計控制器。但是當(dāng)滿足假設(shè)（1）和（2）條件時，式（2）是連續(xù)有界的非線性函數(shù)。由于模糊邏輯系統(tǒng)是致密集上的通用逼近器[12]，所以，可構(gòu)造一個非線性參數(shù)化模糊邏輯系統(tǒng)逼近上述不確定動態(tài)，從而設(shè)計出倒立擺的控制器。設(shè) χ=(cT，σT，ωT)T，cT，σT∈RM×N，ωT∈RM，N是模糊邏輯系統(tǒng)的輸入變量數(shù)，M是模糊規(guī)則數(shù)，得到：

其中，H*(x，χ*)是 H(x)的最佳模糊逼近，χ*∈Ωχ是模糊邏輯系統(tǒng)的最佳模糊逼近參數(shù)，ε是最佳模糊逼近誤差：

采用單值模糊化、乘積推理和中心平均解模糊邏輯系統(tǒng)[13-14]：

cji，σji，ωj分別是高斯隸屬度函數(shù)的實值可調(diào)參數(shù)。

定義魯棒控制器：

和模糊邏輯系統(tǒng)的參數(shù)自適應(yīng)律：

k=1，2，…，6，j=1，2，…，M，i=1，2，…，N

定理考慮參數(shù)和外界擾動等不確定性，在滿足假設(shè)（1）和假設(shè)（2）的條件下，魯棒控制器（8）和自適應(yīng)律（9）使式（1）所描述的平面二級倒立擺魯棒漸近穩(wěn)定。

證明定義Lyapunov候選函數(shù)[17]：

微分得：

由式（1）得：

代入式（11），考慮式（2）和式（3）得：

式（6）、式（8）和式（9）代入式（13）得：

因此，平面二級倒立擺系統(tǒng)的濾波誤差s和模糊邏輯系統(tǒng)的參數(shù)誤差 χ～都是有界的，即 s∈L∞，∈L∞。另外，由式（14）知：

所以，s∈L2。由 s=˙+Kre，e=z-zd得，e∈L∞，˙∈L∞且 e∈L2，˙∈L2。式（12）的右邊有界，所以˙∈L∞，進(jìn)而¨∈L∞。由 Barbalat定理[18]可推知：

所以

4 仿真

平面二級倒立擺的仿真參數(shù)如表1。

表1 平面二級倒立擺參數(shù)

模糊邏輯系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)分別取N=6，M=5，K=6，高斯隸屬度函數(shù)的參數(shù)初值在[-100，100]中平均選取，模糊系統(tǒng)輸入?yún)?shù)k=0.5?？刂破髦袇?shù)矩陣K和Kε取對角陣，對角元素為500和0.5。外界擾動信號用方差為0.05的白噪聲模擬。設(shè)平面二級倒立擺系統(tǒng)廣義坐標(biāo)向量的初值為[0.5，0.5，0，0，0，0]，期望的平衡狀態(tài)為xd=yd=0，θdi1=θdi2=0，i=1，2，仿真結(jié)果如圖2～4所示。

圖2 小車位移

圖3 擺桿1關(guān)節(jié)角

由圖2可見，倒立擺的車體從起始位置迅速擺動到坐標(biāo)原點并能長期穩(wěn)定下來；圖2和圖3中，兩級擺桿的擺角從初始平衡態(tài)出發(fā)，小幅順滑地擺動，擺動平穩(wěn)。由于控制器不依賴倒立擺的不確定動態(tài)，控制器參數(shù)有自適應(yīng)能力，所以，設(shè)計的控制器具有較強的魯棒性和適應(yīng)能力。

圖4 擺桿2關(guān)節(jié)角

5 結(jié)語

由理論推導(dǎo)過程和仿真結(jié)果知，在給定的條件下，針對平面二級倒立擺所設(shè)計的控制器具有較好的魯棒性和自適應(yīng)能力，能控制平面二級倒立擺平穩(wěn)運行。另外，在系統(tǒng)控制仿真中，模糊自適應(yīng)控制器中的參數(shù)矩陣K和Kε對倒立擺系統(tǒng)的控制結(jié)果有重要的影響，這兩個參數(shù)的取值范圍可根據(jù)式（9）來確定。

[1]宋運忠，張蛟龍，張偉.基于性能協(xié)調(diào)的平面二級倒立擺控制[J].控制工程，2011，18（2）：258-261.

[2]張蛟龍，宋運忠.基于LQR的平面二級倒立擺控制策略研究[J].自動化技術(shù)與應(yīng)用，2009，28（12）：1-4.

[3]Zhang Jiaolong，Zhang Wei.LQR self-adjusting based control for the planar double inverted pendulum[J].Physics Procedia，2012，24：1669-1676.

[4]段學(xué)超，仇原鷹，盛英.平面二級倒立擺的圓周行走與鎮(zhèn)定控制[J].自動化學(xué)報，2007，33（12）：1337-1340.

[5]李洪興，苗志宏，王加銀.四級倒立擺變論域自適應(yīng)模糊控制[J].中國科學(xué)：E輯，2002，32（1）：65-75.

[6]馮艷賓.基于模糊推理建模和變論域自適應(yīng)模糊控制的三級平面倒立擺仿真與硬件實現(xiàn)[D].北京：北京師范大學(xué)，2007.

[7]張永立，程會鋒，李洪興.三級倒立擺的自動擺起與穩(wěn)定控制[J].控制理論與應(yīng)用，2011，28（1）：38-45.

[8]Murray R M.A mathematical introduction to robotic manipulation[M].Beijing：China Machine Press，1998：1-296.

[9]侯濤，范多旺，楊劍鋒.基于T-S型的平面倒立擺雙閉環(huán)模糊控制研究[J].控制工程，2012，19（5）：753-756.

[10]侯濤，牛宏俠.平面一級倒立擺的雙閉環(huán)模糊控制研究[J].蘭州交通大學(xué)學(xué)報，2011，30（4）：11-20.

[11]段學(xué)超.平面倒立擺的建模、控制與實驗研究[D].西安：西安電子科技大學(xué)，2006.

[12]Wang Lixin.Fuzzy basis functions，universal approximation，and orthogonal least-squares learning[J].Transactions on Neural Networks，1992，3（5）：807-814.

[13]王紅旗，王慶林.移動機械手魯棒自適應(yīng)模糊控制[J].控制與決策，2010，25（3）：461-465.

[14]Yang C，Li J，Li Z.Optimized adaptive control design and NN based trajectory planning for a class of wheeled inverted pendulum vehicle models[J].IEEE Transactions on Cybernetics，2013，43（1）：24-35.

[15]Li Z.Adaptive fuzzy output feedback motion/force controlfor wheeled inverted pendulums[J].IET Control Theory&Applications，2011，5（10）：1176-1188.

[16]Postelnik L，Liu G，Stol K，et al.Approximate output regulation for a spherical inverted pendulum[C]//American Control Conference（ACC），San Francisco，CA，2011：539-544.

[17]Khalil H K.Nolinear systems[M].3rd ed.Beijing：Publishing House of Electronics Industry，2007：1-750.

[18]閔穎穎，劉允剛.Barbalat引理及其在系統(tǒng)穩(wěn)定性分析中的應(yīng)用[J].山東大學(xué)學(xué)報：工學(xué)版，2007，37（1）：51-55.