胡之英

西安翻譯學(xué)院 基礎(chǔ)課部，西安 710105

1 引言

國民經(jīng)濟的快速發(fā)展加快了城鎮(zhèn)化的步伐，隨之而來的是城市機動車數(shù)量的急劇增長和城市交通問題的日益凸顯。為了解決由交通擁堵帶來的一系列負(fù)面問題，各國學(xué)者從多方面對交通擁堵產(chǎn)生的機理進行了研究。其中，利用跟馳模型對交通流進行建模和穩(wěn)定性分析是交通流理論研究的熱點內(nèi)容之一。1961年，Newell[1]在總結(jié)前人工作的基礎(chǔ)上提出了一個帶有時延的交通流跟馳模型。1995年，Bando等[2]人利用最優(yōu)速度函數(shù)描述駕駛員根據(jù)車間距調(diào)整車輛最優(yōu)速度的思想提出了優(yōu)化速度（OV）模型，該模型采用加速度變化描述車輛的跟馳行為，因此更符合交通實際，可以解釋交通流時走時停、穩(wěn)態(tài)失衡及擁堵演化等多種現(xiàn)象。此后，多位學(xué)者在此模型的基礎(chǔ)上進行了一系列改進研究[3-16]。1998年，Helbing和Tilch[17]通過實測數(shù)據(jù)對OV模型進行參數(shù)標(biāo)定和辨識，發(fā)現(xiàn)OV模型會產(chǎn)生與實際不符的加速度和減速度，為此提出了廣義力（GF）模型。GF模型雖然改進了OV模型的不足，但由于該模型僅考慮了負(fù)速度差對跟馳車的影響，因此仍然不能準(zhǔn)確描述交通流的跟馳現(xiàn)象。2000年，姜銳等人[18]提出了全速度差（FVD）模型，該模型同時考慮了全速度差信息對跟馳車輛的影響，因此成為繼OV模型之后又一重要的基礎(chǔ)模型。王濤等人[19]在FVD模型的基礎(chǔ)上，考慮多輛前車的速度差信息提出了多速度差（MVD）模型，并對模型進行了數(shù)值模擬證明了MVD模型能有效抑制交通流堵塞。

在上述模型中，所有模型均是從車間距或速度差信息對后車跟馳行為影響的角度出發(fā)，構(gòu)建描述車輛跟馳行為的微觀模型，而沒有考慮前車的加速度對跟馳車輛的影響。在實際交通中，后車駕駛員往往會根據(jù)前車的加減速行為調(diào)整自身車輛的行駛狀態(tài)，因此，本文在OV模型的基礎(chǔ)上，考慮前導(dǎo)車加速度信息對后車跟馳行為的影響，提出了一種改進的OV跟馳模型，并討論了模型的穩(wěn)定性條件。最后對模型進行了數(shù)值模擬，驗證了改進OV模型的有效性。

2 跟馳模型

跟馳模型是研究車輛跟馳行為的一類重要的微觀交通流模型。1995年，Bando等[2]以車間距優(yōu)化速度函數(shù)描述跟馳車的加速度變化過程，提出了最優(yōu)速度（OV）模型，該模型雖然簡單但可以模擬多種實際的交通流現(xiàn)象。車輛的跟馳過程如圖1所示。

圖1 車輛跟馳過程示意圖

2.1 OV模型

最優(yōu)速度（OV）模型可用如下的微分方程描述：

其中，k為敏感系數(shù)；xn(t)表示第n輛車在t時刻的位置；Δxn(t)表示第n輛車與前車的車間距；vn(t)表示第n輛車在t時刻的速度；V(·)表示車輛的優(yōu)化速度函數(shù)，即

其中，vmax是車輛的最大行駛速度，hc是車輛間的安全距離。

2.2 改進OV模型

由于OV模型缺乏考慮前導(dǎo)車加速度信息對跟馳車輛的影響，從而無法描述當(dāng)車間距減小，跟馳車速度大于前導(dǎo)車時，前導(dǎo)車加速而跟馳車并不減速的交通現(xiàn)象。為了改進OV模型的不足，本文在考慮前導(dǎo)車加速度信息的基礎(chǔ)上提出如下改進最優(yōu)速度（Improved Optimal Velocity，IOV）跟馳模型：

式中，k為敏感系數(shù)；λ為加速度項的權(quán)系數(shù)，反映駕駛員對加速度信息的感知程度；an+1(t)表示第n+1輛車即前導(dǎo)車在t時刻的加速度；V(Δxn(t))是車間距優(yōu)化速度函數(shù)，這里仍然采用與OV模型相同的優(yōu)化速度函數(shù)。

3 線性穩(wěn)定性分析

考慮交通流的初始狀態(tài)為穩(wěn)定交通流，即所有車輛以相同的車間距b和最優(yōu)速度V(b)運動：

其中，b為均勻交通流的車間距，V(b)為相同的優(yōu)化速度。

假設(shè)yn(t)是偏離初始狀態(tài)(t)的擾動，那么就有將其代入改進OV模型（3）中，可得到如下線性化方程：

其中，Δyn(t)=yn+1(t)-yn(t)；V'(b)是優(yōu)化速度函數(shù)V(Δxn(t))在 Δxn(t)=b處的導(dǎo)數(shù)，即

按照yn(t)=exp(iαkn+zt)展開后，得到關(guān)于z的方程：

現(xiàn)基于長波展開推導(dǎo)模型的穩(wěn)定性條件，即令iαk≈0 。展開z=z1(iαk)+z2(iαk)2+…， 代入式（7），當(dāng)(iαk)2的系數(shù)為正時，初始均勻的交通流受到小擾動后仍能保持穩(wěn)定狀態(tài)。由此得出IOV模型的穩(wěn)定性條件如下：

當(dāng)λ=0時，有：

上式為OV模型的穩(wěn)定性條件，可見當(dāng)不考慮加速度項時IOV模型將退化為經(jīng)典的OV模型。

根據(jù)IOV模型的中性穩(wěn)定性條件（8），以車間距為自變量，駕駛員反應(yīng)敏感系數(shù)為因變量，令模型參數(shù)[20]vmax=2、hc=4；加速度項權(quán)系數(shù)λ的值分別?。害?0.1，λ=0.2，λ=0.5和λ=0.8，可以得到IOV模型的中性穩(wěn)定性曲線如圖2所示。曲線上方為交通流的穩(wěn)定區(qū)域，曲線下方為交通流的不穩(wěn)定區(qū)域。

圖2 IOV模型的中性穩(wěn)定性曲線

圖3 當(dāng)k=1.35時，不同λ值對應(yīng)的全車輛速度演化圖

圖2顯示了交通流的穩(wěn)定性隨加速度項權(quán)系數(shù)λ值的變化情況。從圖中可以看出，交通流的穩(wěn)定性隨著加速度項權(quán)系數(shù)λ的增大而逐漸增強，同時滿足交通流穩(wěn)定條件的駕駛員反應(yīng)敏感系數(shù)逐漸減小?？梢姡cOV模型的穩(wěn)定性條件相比，IOV模型的穩(wěn)定性條件更容易滿足，且考慮前導(dǎo)車加速度信息后交通流變得更加穩(wěn)定。圖中，當(dāng)λ=0.5時，駕駛員的臨界反應(yīng)敏感系數(shù)k0≈1.35，當(dāng)k＞k0時，交通流穩(wěn)定；當(dāng)k＜k0時，交通流不穩(wěn)定，下面的數(shù)值模擬也證實了這一結(jié)論。

4 數(shù)值模擬

為了進一步驗證IOV模型的穩(wěn)定性條件，現(xiàn)進行下面的數(shù)值模擬實驗，假設(shè)在周期邊界條件下，道路總長L=400 m，車輛總數(shù)N=100，交通流在穩(wěn)態(tài)時的平均車間距h=L/N=4 m，仿真時車輛的初始位置及擾動設(shè)置如下：

取駕駛員反應(yīng)敏感系數(shù)k=1.35，令加速度項權(quán)系數(shù)λ的值分別為：λ=0.1，λ=0.2，λ=0.5和λ=0.8進行仿真實驗，仿真結(jié)果如圖（2）（a）、（b）、（c）、（d）所示。

從圖3數(shù)值模擬結(jié)果可以看出，在給定初始條件下，初始擾動x1(0)=1 m引起了車輛速度的明顯波動，且波動隨著時間的增大向后傳播。但由于前導(dǎo)車加速度信息對交通流穩(wěn)定性的影響，考慮前導(dǎo)車加速度信息后，交通流的穩(wěn)定性隨著加速度權(quán)系數(shù)λ值的增大而逐漸增強。當(dāng)加速度項權(quán)系數(shù)λ=0.8時由初始擾動引起的波動很快消散，交通流趨于穩(wěn)定。由第2章得到的IOV模型的穩(wěn)定性條件可知，當(dāng)駕駛員臨界反應(yīng)敏感系數(shù)k0≈1.35時，對應(yīng)的臨界加速度權(quán)系數(shù)為λ=0.5，即：λ＞0.5時交通流將趨于穩(wěn)定；λ＜0.5時交通流處于不穩(wěn)定狀態(tài)。上述數(shù)值模擬結(jié)果與模型穩(wěn)定性條件得到結(jié)論一致。數(shù)值模擬結(jié)果顯示，當(dāng)考慮前導(dǎo)車加速度信息后，穩(wěn)定的交通流能有效抑制初始擾動，使交通流逐漸趨于穩(wěn)定。因此，IOV模型除了能解釋OV模型所描述的跟馳現(xiàn)象外，同時也適用于交叉口信號燈由紅轉(zhuǎn)綠時，在車間距減小的情況下，前導(dǎo)車加速通過交叉口而跟馳車并不減速的特殊跟馳情形。

5 結(jié)束語

為了研究前導(dǎo)車加速度信息對車輛跟馳行為的影響，本文在經(jīng)典OV跟馳模型的基礎(chǔ)上，綜合考慮了車間距和前導(dǎo)車加速度信息對跟馳車輛的影響，提出一種改進OV跟馳模型，并討論了模型的穩(wěn)定性條件。最后通過數(shù)值模擬的方法對改進OV模型的穩(wěn)定性條件進行了驗證。研究結(jié)果表明：與經(jīng)典OV模型相比，改進OV跟馳模型的穩(wěn)定性條件更容易滿足，且在相同條件下交通流的穩(wěn)定區(qū)域顯著增大，考慮前導(dǎo)車加速度信息后交通流的穩(wěn)定性明顯增強。上述結(jié)論對進一步研究車輛跟馳理論具有一定的參考價值。

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