☉江蘇省南通市易家橋中學(xué) 徐向清

中考命題“高觀點(diǎn)”，解題教學(xué)宜拓展
——2015年河南卷第23題思路突破與解后反思

☉江蘇省南通市易家橋中學(xué) 徐向清

近讀期刊，有老師就2015年隱含考查所謂拋物線“準(zhǔn)線”、“焦點(diǎn)”問題，筆者研習(xí)2015年全國各地中考卷時(shí)，關(guān)注到2015年河南卷最后一題，從高觀點(diǎn)看，也是一道涉及“準(zhǔn)線”、“焦點(diǎn)”問題.本文先呈現(xiàn)該題的思路突破，再給出問題結(jié)構(gòu)的反思，與同行研討.

一、考題及思路突破

圖1

考題（2015年河南卷，第23題）如圖1，邊長為8的正方形OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，點(diǎn)P是拋物線上點(diǎn)A、C間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），過點(diǎn)P作PF⊥BC于點(diǎn)F，點(diǎn)D、E的坐標(biāo)分別為（0，6）、（-4，0），連接PD、PE、DE.

（1）請(qǐng)直接寫出拋物線的解析式；

（2）小明探究點(diǎn)P的位置時(shí)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A或點(diǎn)C重合時(shí)，PD與PF的差為定值，進(jìn)而猜想：對(duì)于任意一點(diǎn)P，PD與PF的差為定值，請(qǐng)你判斷該猜想是否正確，并說明理由；

（3）小明進(jìn)一步探究得出結(jié)論：若將“使△PDE的面積為整數(shù)”的點(diǎn)P記作“好點(diǎn)”，則存在多個(gè)“好點(diǎn)”，且使△PDE的周長最小的點(diǎn)P也是一個(gè)“好點(diǎn)”.請(qǐng)直接寫出所有“好點(diǎn)”的個(gè)數(shù)，并求出△PDE周長最小時(shí)“好點(diǎn)”的坐標(biāo).

（3）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，DE大小不變，則PE與PD的和最小時(shí)，△PDE的周長最小，由第（2）問可知，PD-PF=2，有PD=PF+2，于是PE+PD=PE+PF+2，也就是當(dāng)P、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，PE+PF最小，此時(shí)點(diǎn)P，E的橫坐標(biāo)都為-4，將x= -4代入8，得y=6，所以（-4，6），此時(shí)△PDE的周長最小，且△PDE的面積為12，點(diǎn)P恰為“好點(diǎn)”.即△PDE的周長最小時(shí)“好點(diǎn)”的坐標(biāo)為（-4，6）.

上面其實(shí)是從特例角度通過計(jì)算驗(yàn)證出一個(gè)“好點(diǎn)”的位置，也順便把其中一個(gè)問題解答了.然而要想探究“好點(diǎn)”個(gè)數(shù)還有較長的路要走！

圖2

圖3

在圖3中，△PDE的面積可以用△PDQ的面積減去△PEQ的面積求出，經(jīng)過整理、化簡、配方仍然有S△PDE=

這時(shí)結(jié)合a的取值范圍：-8≤a≤0，根據(jù)S關(guān)于a的二次函數(shù)增減性，數(shù)形結(jié)合地分析出4≤S△PDE≤13，于是△PDE的面積可以等于4到13內(nèi)所有整數(shù)有10個(gè)，容易忽略的是在面積為12時(shí)，a的值有兩個(gè)，所以面積為整數(shù)時(shí)“好點(diǎn)”有11個(gè)，經(jīng)過驗(yàn)證周長最小的“好點(diǎn)”包含這11個(gè)點(diǎn)之內(nèi)，所以好點(diǎn)共11個(gè).

二、解后反思

1.第（2）問的“深層結(jié)構(gòu)”

上面在第（2）問解法突破時(shí)，用相同的參數(shù)a，構(gòu)造直角三角形表示出PD、PF的長，從而發(fā)現(xiàn)它們之間的數(shù)量關(guān)系，這里的難點(diǎn)還在于二次根式的化簡.事實(shí)上，如果熟悉高中階段提及的“兩點(diǎn)間距離公式”，則可繞開構(gòu)造直角三角形的麻煩，直接求出PD的長；還有，如果認(rèn)識(shí)深刻的話，還可發(fā)現(xiàn)這里隱藏著拋物線的“焦點(diǎn)”問題，即點(diǎn)D就是拋物線的焦點(diǎn)，而準(zhǔn)線就是直線y=10，構(gòu)造圖4.

圖4

根據(jù)拋物線準(zhǔn)線、焦點(diǎn)的性質(zhì)，很容易洞察這里的問題結(jié)構(gòu)，拋物線上任意一點(diǎn)P到焦點(diǎn)D、準(zhǔn)線y=10的距離相等，即PD=PG.而FG始終是一定值2，也就是PF+2= PD，即PD與PF的差為定值2.

圖5

2.第（3）問的“直觀”解法

如圖5，平移直線DE，與拋物線相交于三個(gè)特殊位置（如圖5中的直線l1與拋物線相切于點(diǎn)P，直線l2與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)恰為A點(diǎn)，直線l3經(jīng)過拋物線頂點(diǎn)C，此時(shí)計(jì)算出原點(diǎn)O到直線l1、l2、l3的距離分別足條件的點(diǎn)P到DE的距離（即△PDE中DE邊上的高）在這時(shí)當(dāng)分子在整數(shù)4～13內(nèi)，△PDE的面積為整數(shù)，又高△PDE有兩個(gè)點(diǎn)P符合，所以一共有11個(gè)“好點(diǎn)”.

三、命題導(dǎo)向與教學(xué)啟示

1.立足高觀點(diǎn)，構(gòu)思“初等”問題

從上面的求解來看，河南卷這道壓軸題的第（2）、（3）問都屬于“高觀點(diǎn)”下拋物線的認(rèn)識(shí)，如果有高中階段準(zhǔn)線、焦點(diǎn)的知識(shí)儲(chǔ)備，則可一眼洞穿第（2）問，獲得思路的快速突破；如果有直線平移與拋物線相交、相切的認(rèn)識(shí)，則可快速獲得第（3）問的直觀化思考.以筆者所見，這類考題在近年來的各地中考試題中還不是個(gè)例，一方面可能與中考命題題組中至少包含一名高中數(shù)學(xué)教師有關(guān)，另一方面也傳遞了一種命題導(dǎo)向：基于高觀點(diǎn)，構(gòu)思初等問題.

2.課標(biāo)是底線，解題教學(xué)宜拓展

我們知道，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對(duì)二次根式運(yùn)算化簡、二次函數(shù)教學(xué)的要求并沒有達(dá)到河南省考題的高度，如果以課標(biāo)剛性標(biāo)準(zhǔn)來衡量，考題確實(shí)有“超標(biāo)”之嫌，值得商榷.然而，作為平時(shí)解題教學(xué)，也應(yīng)該獲得不少啟示，比如，解題教學(xué)應(yīng)該倡導(dǎo)反思，在反思中成果擴(kuò)大，變式拓展，注意對(duì)問題深層結(jié)構(gòu)的揭示，促進(jìn)優(yōu)秀學(xué)生深刻理解.事實(shí)上，專家教師、南通市啟秀中學(xué)李庾南老師就曾表達(dá)過“課標(biāo)是底線要求，不是天花板”的觀點(diǎn).

1.羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論［M］．西安：陜西師范大學(xué)出版社，2008.

2.中華人民共和國教育部制定．義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］．北京：北京師范大學(xué)出版社，2012．

3.鮑建生，顧泠沅，等.變式教學(xué)研究［J］．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)，2003（1，2，3）．

4.賀信淳．從多角度審視一道中考試題說開去——談對(duì)初中數(shù)學(xué)教育現(xiàn)狀之惑［J］．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2013（12）.

5.夏再迅．試題改編需要理解深層結(jié)構(gòu)——由一道幾何考題的求解說起［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（12）