☉浙江省紹興市越城區(qū)孫端鎮(zhèn)中學(xué) 任冬海

初中數(shù)學(xué)四邊形教學(xué)的解題策略分析

☉浙江省紹興市越城區(qū)孫端鎮(zhèn)中學(xué) 任冬海

“堅(jiān)持以生為本的教學(xué)理念，將學(xué)習(xí)能力培養(yǎng)作為有效教學(xué)的第一要?jiǎng)?wù)，在教學(xué)活動(dòng)中，鍛煉和培養(yǎng)學(xué)生的分析、思考、解題能力，注重解題策略的有效運(yùn)用.”這是新實(shí)施的初中數(shù)學(xué)課程教學(xué)指標(biāo)的最新要求，力求在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中加強(qiáng)學(xué)生的解題思維訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生的解題策略.四邊形教學(xué)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)章節(jié)中最為重要的部分之一，針對(duì)此章節(jié)培養(yǎng)學(xué)生各種解題能力和策略方法，從而提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的技能，推動(dòng)數(shù)學(xué)教育的良性發(fā)展.［1］

初中四邊形的幾何圖形教學(xué)是整個(gè)幾何教學(xué)的重要組成部分，四邊形教學(xué)的解題思路探析不僅能夠提高學(xué)生的自我解題能力，而且還可以為以后復(fù)雜的立體幾何圖形解析打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，針對(duì)初中四邊形的解題方法是多種多樣的，接下來(lái)就針對(duì)初中數(shù)學(xué)四邊形的教學(xué)提供幾種解題策略.

一、添加輔助線

添加輔助線的方法是指通過(guò)添加輔助線將四邊形分割或者構(gòu)建出特殊三角形、特殊四邊形等新的幾何圖形進(jìn)行解析，充分運(yùn)用已知條件進(jìn)行輔助線添加，便于幾何解析.在進(jìn)行添加輔助線的方法培養(yǎng)時(shí)，要注意添加輔助線的原則——盡可能往已知條件靠攏，盡可能分割組建成特殊三角形、特殊四邊形等能創(chuàng)造出已知條件價(jià)值的幾何圖形.

圖1

1.添加對(duì)角線

例1如圖1所示，在四邊形ABCD中，AE、AF分別是BC、CD的中垂線，∠EAF=80°，∠CBD=30°，求∠ABC和∠ADC的度數(shù).

解析：如圖1所示，連接AC.

因?yàn)锳E、AF是BC、CD的中垂線，所以AB=AC=AD，所以B、C、D在以A為圓心，AB為半徑的圓上.

因?yàn)椤螩BD=30°，所以∠DAC=2∠DBC=60°，所以∠DAF=30°，因此∠ADC=60°.

又因?yàn)椤螮AC=80°-30°=50°，所以∠ABC=∠ACE= 90°-50°=40°.

2.添高線

例2如圖2所示，在四邊形ABCD中，BC＞BA，AD=DC，BD平分∠ABC.求證：∠A+∠C=180°.

證明：如圖3所示，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F.

因?yàn)锽D平分∠ABC，所以DE=DF，從而Rt△EAD≌Rt△FCD（HL），所以∠C=∠EAD.

因?yàn)椤螮AD+∠BAD=180°，所以∠BAD+∠C=180°，即∠A+∠C=180°.

圖2

二、利用補(bǔ)形法

補(bǔ)形法顧名思義就是將原有的四邊形通過(guò)邊線的延長(zhǎng)相交，形成一個(gè)新的幾何圖形，利用已知條件進(jìn)行解析.

例3如圖3所示，在四邊形ABCD中，∠B=∠C=60°，P為BC上的一點(diǎn)，且BP=3，PC=6，AB=1，CD=4，求∠APD的度數(shù).

解析：由∠B=∠C=60°，作延長(zhǎng)線補(bǔ)圖，將四邊形ABCD轉(zhuǎn)化為△QBC的問(wèn)題.

延長(zhǎng)BA、CD交于一點(diǎn)Q，連接QP，則△QBC為等邊三角形，所以PQ=CQ=BC=3+6=9.

圖3

得△BPA∽△BQP.

同理得∠CPD=∠CQP.

所以∠BPA+∠CPD=∠BQP+∠CQP=60°.

故∠APD=180°-（∠BPA+∠CPD）=180°-60°=120°.

三、平移法

平移法是指通過(guò)平行的線段或者角進(jìn)行等量的數(shù)據(jù)處理，由已知條件轉(zhuǎn)化出未知條件，從而進(jìn)行四邊形的幾何圖形解析.

例4在四邊形ABCD中，AD= BC，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，直線EF與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H.求證：∠AGE=∠BHE.

證明：如圖4所示，過(guò)點(diǎn)F作FM平行且等于AD，F(xiàn)N平行且等于CB，連接AM、BM、AN、BN、MN，則四邊形AMFD和四邊形NBCF是平行四邊形，從而有AM平行且等于DF，NB平行且等于FC.又因?yàn)镈F=FC，所以AM平行且等于NB，四邊形AMBN是平行四邊形.所以MN和AB互相平分.又因?yàn)镸F=AD，NF=BC，且AD=BC，所以MF=NF，所以△MFN是等腰三角形，F(xiàn)E是底邊MN上的中線.所以∠MFE=∠NFE.又易得∠MFE=∠AGE，∠NFE=∠BHE.所以∠AGE=∠BHE.

四、旋轉(zhuǎn)法

旋轉(zhuǎn)法是指將四邊形的其中一個(gè)部分以一點(diǎn)為中心進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，使其旋轉(zhuǎn)到一定的位置，與原有部分重新拼湊出一個(gè)新的幾何圖形，新的幾何圖形必須是利于解題的矩形、正方形等特殊幾何圖形.

圖5

例5如圖5所示，在四邊形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD= CD，DP⊥AB，P為垂足，且S四邊形ABCD= 18，求DP的長(zhǎng)度.

解析：將△DAP繞D點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°到△DQC的位置.因?yàn)椤螦DC=∠ABC= 90°，AD=CD，Rt△DQC≌Rt△DPA.從而可得四邊形DPBQ為正方形，DP為正方形的邊長(zhǎng).因?yàn)镾四邊形DPBQ= S四邊形ABCD=18，所以DP2=18，所以DP=

五、轉(zhuǎn)化法

轉(zhuǎn)化法是指通過(guò)將四邊形分割成便于計(jì)算的三角形、矩形等圖形來(lái)進(jìn)行解析，利用已知的條件，將四邊形進(jìn)行合理的分割轉(zhuǎn)化，便于學(xué)生理解與計(jì)算.這種方法的運(yùn)用，不僅需要教師進(jìn)行課堂的教學(xué)引導(dǎo)，而且需要學(xué)生有足夠的想象力與創(chuàng)造性，培養(yǎng)了學(xué)生主動(dòng)解決問(wèn)題和創(chuàng)新思維的能力.［2］

例6如圖6所示，在平行四邊形ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F、G分別在AB、CD上，EG交AC于點(diǎn)H，且∠D=∠ACB.

圖6

圖7

（1）若∠FEG=2∠D，試探究線段EF與EH之間的數(shù)量關(guān)系，并對(duì)你的結(jié)論加以證明；

解析：（1）易知△ABC為等腰三角形，∠BAC+2∠B= 180°.又因∠FEH=2∠B，故∠FAH+∠FEH=180°.得A、F、E、H四點(diǎn)共圓.連接AE，因∠EAF=∠EAH，得.所以EF=EH（同一個(gè)圓中，等弧所對(duì)的弦相等）.

（2）連接BD，AE，過(guò)點(diǎn)D向BC的延長(zhǎng)線作垂線，垂足為M，易知△DCM≌△ABE，得DM=AE、CM=BE，則BM=

初中四邊形的解題思路固然多樣，但在實(shí)際運(yùn)用中也不僅僅局限為其中某一種，而是多種方法的靈活運(yùn)用，最終達(dá)到清晰、簡(jiǎn)潔的完美解答.

六、結(jié)束語(yǔ)

初中數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)中承上啟下的階段，其中四邊形問(wèn)題的解析教學(xué)是一個(gè)不斷探索的過(guò)程，其解題思路有很大的靈活性，還需要我們不斷地探索新的解題思路和方法，運(yùn)用多種手段進(jìn)行解析.四邊形教學(xué)模式的探索對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)的發(fā)展是至關(guān)重要的，應(yīng)得到廣大教師的重視.做好這個(gè)環(huán)節(jié)，有助于提升中學(xué)生的解題技巧和解題能力，提高教師教學(xué)的水平，初中幾何的教學(xué)才能真正的實(shí)現(xiàn)突破，從而提高課堂教學(xué)的有效性.

1.楊洋.淺談四邊形教學(xué)中初中數(shù)學(xué)解題策略的應(yīng)用［J］.中學(xué)課程輔導(dǎo)（教學(xué)研究），2014（29）.

2.王國(guó)營(yíng).平行四邊形教學(xué)中學(xué)生學(xué)習(xí)能動(dòng)情感培養(yǎng)之探［J］.考試周刊，2014（53）