☉江蘇省無錫市江南中學(xué) 周君

聚焦二次三項(xiàng)式，設(shè)計(jì)中考復(fù)習(xí)課

☉江蘇省無錫市江南中學(xué) 周君

中考復(fù)習(xí)是一首老歌，年年歲歲花相似，但歲歲年年題不同.復(fù)習(xí)內(nèi)容是學(xué)生已學(xué)內(nèi)容，解題方法多是學(xué)生已有的解法，如何把這首老歌新唱，唱出新意，讓學(xué)生對復(fù)習(xí)課同樣充滿好奇和渴望，一直是中考復(fù)習(xí)研討的難點(diǎn).最近，筆者有機(jī)會在本地區(qū)中考復(fù)習(xí)研討活動中執(zhí)教中考復(fù)習(xí)研討課，精心構(gòu)思了一節(jié)聚焦二次三項(xiàng)式的復(fù)習(xí)課，得到與會同行的熱議與好評，本文梳理該課的教學(xué)設(shè)計(jì)，闡釋各個教學(xué)活動的設(shè)計(jì)意圖，最后再做出一些教學(xué)反思，與更多的同行研討.

一、教學(xué)設(shè)計(jì)

活動一：復(fù)習(xí)二次三項(xiàng)式的概念

問題1：已知多項(xiàng)式x2+2x+1，5-4x+x2，-6a+8+a2，12m-4m2-9.

（1）有同學(xué)認(rèn)為可以把4個多項(xiàng)式歸到一類？你覺得他的分類標(biāo)準(zhǔn)是什么？你能設(shè)計(jì)一種分類標(biāo)準(zhǔn)，把上述4個多項(xiàng)式分成兩類嗎？

（2）當(dāng)x=2時，求前面兩個多項(xiàng)式的值.

（3）有同學(xué)覺得后面三個多項(xiàng)式的形式不好，你能整理成類似第一個多項(xiàng)式那樣的形式嗎？

活動預(yù)設(shè)：第（1）問本質(zhì)上是寫出它們的共同點(diǎn)和不同點(diǎn)，學(xué)生可以從二次三項(xiàng)式、完全平方式、最高次數(shù)是2、未知數(shù)等角度確定不同的分類標(biāo)準(zhǔn)，然后分類；第（2）問主要訓(xùn)練求代數(shù)式值的問題，與后面從函數(shù)角度研究二次三項(xiàng)式做好教學(xué)環(huán)節(jié)之間的呼應(yīng)；第（3）問主要訓(xùn)練升冪或降冪排列，提高學(xué)生對多項(xiàng)式的整理變形能力.

鏈接一道考題：記多項(xiàng)式x2+2x+1為f（x），多項(xiàng)式y(tǒng)2-4y+4為f（y），且多項(xiàng)式f（x）的項(xiàng)數(shù)為a，f（y）的次數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)分別是b、m，數(shù)a、b、m在數(shù)軸上分別對應(yīng)著點(diǎn)A、B、M.

（1）求代數(shù)式a2-b2的值.

（2）數(shù)軸上有一點(diǎn)G，且到點(diǎn)M、B的距離相等.

①求線段GA的長；

②若n是關(guān)于x的方程mx+b=ax的解，且數(shù)軸上點(diǎn)N對應(yīng)著數(shù)n，比較線段NG與NB的大小.

考題講解：（1）由題意得a=3，b=2，m=-4.所以a2-b2= 32-22=5.

（2）因?yàn)辄c(diǎn)G到點(diǎn)M、B的距離相等，所以點(diǎn)G對應(yīng)著數(shù)-1，故線段GA的長為4.關(guān)于x的方程mx+b=ax，即-4x+ 2=3x，解這個方程得所以數(shù)軸上的點(diǎn)N對應(yīng)著的數(shù)為線段NG的長為線段NB的長為故NG＜NB.

活動二：整式乘法與二次三項(xiàng)式

問題2：按要求解以下問題.

（1）一組計(jì)算：①（x+1）（x+1）=______；②（x-2）2+1= ______；③（a-2）·（a-4）=______；④4m（3-m）-9=______.

（2）分解因式：①-6a+8+a2；②12m-4m2-9.

（3）已知關(guān)于x的多項(xiàng)式4x2-mx+9是完全平方式，求m的值.

（4）若（x-a）（x-5）的展開式中不含有x的一次項(xiàng)，求a的值.

拓展題：如果a、b是整數(shù)，x2-x-1是ax3+bx2+1的一個因式，求a+b的值.

教學(xué)處理：這道拓展題本質(zhì)上還是多項(xiàng)式相乘展開后不含項(xiàng)問題，為了追求較好的啟發(fā)式講解，筆者設(shè)計(jì)了PPT漸次呈現(xiàn)（截圖如圖1）.

圖1

活動三：一元二次方程根的判別式

問題3：繼續(xù)來看多項(xiàng)式x2+2x+1，5-4x+x2，-6a+8+ a2，12m-4m2-9．

（1）把這些多項(xiàng)式改成方程，得x2+2x+1=0，5-4x+x2= 0，-6a+8+a2=0，12m-4m2-9=0．請快速解方程．

預(yù)設(shè)：學(xué)生可以迅速由前面兩個教學(xué)活動中的化簡與變形的經(jīng)驗(yàn)，將方程轉(zhuǎn)化如下：x2+2x+1=0，x2-4x+5=0，a2-6a+8=0，-（4m2-12m+9）=0，即（x+1）2=0，（x-2）2+1=0，（a-2）（a-4）=0，-（2m-3）2=0．從而快速獲解．

（2）已知關(guān)于x的方程4x2-mx+9=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，求m的值.

（3）如果關(guān)于x的方程x2-ax-5x+5a=0的兩個實(shí)數(shù)根恰互為相反數(shù)，求a的值．

對這些方程重新變式，包括無解，十字相乘法兼顧復(fù)習(xí).

鏈接教材：教材“一元二次方程”的“圍長方形”問題提要求并思考：

用一根120cm的細(xì)繩分別圍出長方形，試一試，能圍出面積大于900cm2的長方形嗎？你能解釋你的結(jié)論嗎？

預(yù)設(shè)意圖：讓學(xué)生列出一元二次方程，并根據(jù)根的判別式迅速判定該方程無解，從而說明不能圍繞出這樣的長方形．這個習(xí)題為后續(xù)二次函數(shù)復(fù)習(xí)環(huán)節(jié)提供鋪墊．

二、教學(xué)立意的進(jìn)一步闡釋

1.深刻理解主干知識，串起復(fù)習(xí)課堂

初中數(shù)學(xué)知識中有很多核心概念，根據(jù)我們一線教學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，也可稱之為主干知識．像本文聚焦的二次三項(xiàng)式就是一個核心概念，因?yàn)樗诔踔须A段首次出現(xiàn)時，是在七年級整式加減中，然而不少初任教師并不認(rèn)為這是一個重要概念，往往用力不夠，沒有引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度理解二次三項(xiàng)式，以致有一些學(xué)有困難的學(xué)生到了九年級之后，對二次三項(xiàng)式這個名詞仍然有些陌生．此外，二次三項(xiàng)式進(jìn)入八年級整式乘除、因式分解之后，將逐漸顯示出它的重要性，不僅是完全平方公式展開的結(jié)果是二次三項(xiàng)式，還有很多兩個一次二次項(xiàng)乘積也是二次三項(xiàng)式，比如，我們在上述課例中選用的“（a-2）（a-4）”．基于上述理解，我們選擇了二次三項(xiàng)式作為一個訓(xùn)練和聚焦的主線，串起一節(jié)代數(shù)復(fù)習(xí)課．其實(shí)類似的主干知識還有很多，比如，對一次二項(xiàng)式也可以從整式加減、乘除、因式分解、二元一次方程、不等式、一次函數(shù)等角度來構(gòu)思串聯(lián)．

2.精心選取高頻問題，反思多解歸一

在明確聚焦二次三項(xiàng)式這個復(fù)習(xí)主題之后，還面臨著如何選擇典型的二次三項(xiàng)式，從上面課例來看，我們最終鎖定“多項(xiàng)式x2+2x+1，5-4x+x2，-6a+8+a2，12m-4m2-9”也是精心預(yù)設(shè)的，一方面這些多項(xiàng)式是高頻考點(diǎn)，各具代表性，這在后續(xù)的教學(xué)活動中都得到了體現(xiàn)，比如，通過圍繞這4個多項(xiàng)式展開的多角度問題，突破教學(xué)難點(diǎn)．特別是，活動二、三中的兩個問題“多項(xiàng)式4x2-mx+9是完全平方式”、“關(guān)于x的方程4x2-mx+9=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根”，在結(jié)構(gòu)上都是一類問題，學(xué)生在練習(xí)過程中可以感受到它們的一致性，從而獲得“多解歸一”的解題感悟．

三、寫在最后

章建躍老師在《全面深化數(shù)學(xué)課改的幾個關(guān)鍵》一文中指出：“可以非?？隙ǖ恼f，我國當(dāng)前數(shù)學(xué)教育中出現(xiàn)的問題，不在理念認(rèn)同，而在理念落地．也就是說，缺少體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)規(guī)律、具有可操作性的數(shù)學(xué)教學(xué)策略、方法和手段，是當(dāng)前深化課改的主要問題之一．”［1］并認(rèn)為“教學(xué)設(shè)計(jì)能力是教師專業(yè)水平和教學(xué)能力的關(guān)鍵，……在正確理解教學(xué)的前提下，設(shè)計(jì)‘問題串’而形成教學(xué)主線……”．當(dāng)然，我們引導(dǎo)學(xué)生聚焦二次三項(xiàng)式，開發(fā)中考復(fù)習(xí)課例的這些努力還處于初步階段，期待更多的同行實(shí)踐跟進(jìn)給予批評指正．

1.章建躍．全面深化數(shù)學(xué)課改的幾個關(guān)鍵［J］．課程·教材·教法，2015（5）.

2.浦?jǐn)⒌?，朱宸材．以小見大見微知著［J］．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)研究，2015（9）.

3.朱宸材，等．淺談數(shù)學(xué)課堂教學(xué)為探究活動設(shè)計(jì)［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（8）