☉江蘇省江陰市敔山灣實(shí)驗(yàn)學(xué)校 金岳

基于APOS理論的“代數(shù)式復(fù)習(xí)”教學(xué)設(shè)計(jì)探索

☉江蘇省江陰市敔山灣實(shí)驗(yàn)學(xué)校 金岳

美國教育家杜賓斯基在上世紀(jì)80年代提出了一種關(guān)于數(shù)學(xué)概念教學(xué)的理論模型.他認(rèn)為數(shù)學(xué)概念的建立應(yīng)該包含以下四個(gè)階段：活動(dòng)（Action）、程序（Process）、對(duì)象（Object）、圖示（Scheme），取四個(gè)階段的英文首字母，命名為APOS理論.APOS理論認(rèn)為，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的過程是一種自我心理的建構(gòu)過程.因此，在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，教師應(yīng)努力引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)過思維的操作、過程和對(duì)象等多個(gè)階段，使學(xué)生在自主建構(gòu)和不斷反思的基礎(chǔ)上，把概念組成圖示，不斷經(jīng)過同化過程，完善自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)，順利完成對(duì)概念的理解和掌握.

鑒于APOS理論對(duì)于數(shù)學(xué)概念教學(xué)的科學(xué)性和實(shí)用性，筆者以蘇科版教材“代數(shù)式復(fù)習(xí)”為載體，對(duì)如何進(jìn)行數(shù)學(xué)概念的教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行一次有益的探索，借此談?wù)劰P者對(duì)于APOS理論運(yùn)用于概念復(fù)習(xí)課的一些理解.

一、教學(xué)過程

（一）活動(dòng)階段（Action）——提出問題，創(chuàng)設(shè)情境

教師：很好，剛才這位同學(xué)帶著我們梳理了本章知識(shí)要點(diǎn)，下面就來回顧做習(xí)題時(shí)我們?cè)?jīng)出現(xiàn)的錯(cuò)誤，希望大家在今后的練習(xí)中引以為戒.

投影展示學(xué)生整理的錯(cuò)題，教師歸納.

教師板演：單項(xiàng)式的系數(shù)、次數(shù)的錯(cuò)誤.

（2）多項(xiàng)式-3a2b-x-y的次數(shù)是5，它是個(gè)五次三項(xiàng)式.

教師板演：多項(xiàng)式次數(shù)誤加.

教師板演：單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、整式的歸類錯(cuò)誤.

教師板演：去括號(hào)時(shí)系數(shù)漏乘.

教師板演：去括號(hào)時(shí)符號(hào)誤判.

教師：除了以上幾個(gè)錯(cuò)誤，老師還提醒大家：（6）合并同類項(xiàng)時(shí)系數(shù)的誤算；（7）代數(shù)式求值時(shí)有理數(shù)運(yùn)算出錯(cuò).這兩點(diǎn)也需要大家注意.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生歸納整理練習(xí)中的錯(cuò)誤，是對(duì)過去學(xué)習(xí)的回顧與反思，讓學(xué)生再次梳理平時(shí)曾出現(xiàn)的錯(cuò)誤，更是對(duì)今后解題的提醒，學(xué)生自我的提醒比教師直接給出的提醒，對(duì)于學(xué)生來說印象更為深刻.

教后反思：本環(huán)節(jié)中，學(xué)生對(duì)于錯(cuò)誤一眼識(shí)別，起到了很好的警示作用.同時(shí)也教會(huì)了學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)中也要經(jīng)常對(duì)自己犯過的錯(cuò)誤回顧反思，避免相同錯(cuò)誤的多次發(fā)生.

（二）過程階段（Process）——嘗試探索，體驗(yàn)新知

（1）用代數(shù)式表示：

①比a的相反數(shù)大2的數(shù)________；②x的平方的3倍與-7的和________.

（3）單項(xiàng)式-π2x2y的系數(shù)是______，次數(shù)是_______.

（4）若5a4b與2a2xby是同類項(xiàng)，則x-y=___________.

讓學(xué)生練習(xí)，教師投影后，集體批改.

設(shè)計(jì)意圖：通過練習(xí)，進(jìn)一步夯實(shí)基礎(chǔ)，也是對(duì)上一個(gè)環(huán)節(jié)的檢驗(yàn)，趁熱打鐵，在練習(xí)中避免上述錯(cuò)誤的發(fā)生.

教后反思：學(xué)生解題時(shí)，教師應(yīng)該指出學(xué)生練習(xí)中的錯(cuò)誤，實(shí)時(shí)批改，加深學(xué)生印象.

（三）對(duì)象階段（Object）——認(rèn)識(shí)概念，動(dòng)手操作

（1）請(qǐng)你按照如下的數(shù)字規(guī)律，分別寫出第n個(gè)數(shù)字：（n為正整數(shù)）

①2，4，6，8，10，…，____；

②1，3，5，7，9，…，____；

③3，5，7，9，11，…，____；

④2，4，8，16，32，…，______.

（2）用火柴棒按以下方式拼搭，第n個(gè)圖形需要_____根火柴棒.

把第一根火柴棒單獨(dú)看，第一個(gè)圖形需要（1+3）根火柴棒，第二個(gè)圖形需要（1+3×2）根火柴棒，…，所以第n個(gè)圖形需要（3n+1）根火柴棒.

……

把前兩根火柴棒單獨(dú)看，第一個(gè)圖形需要（2+5）根火柴棒，第二個(gè)圖形需要（2+5×2）根火柴棒，…，所以第n個(gè)圖形需要（5n+2）根火柴棒.

……

把前三根火柴棒單獨(dú)看，第一個(gè)圖形需要（3+7）根火柴棒，第二個(gè)圖形需要（3+7×2）根火柴棒，…，所以第n個(gè)圖形需要（7n+3）根火柴棒.

m個(gè)m個(gè)m個(gè)m個(gè)m個(gè)m個(gè)

學(xué)生分組討論，把前m根火柴棒單獨(dú)來看，第一個(gè)圖形需要（m+2m+1）根火柴棒，第二個(gè)圖形需要［m+ 2（2m+1）］根火柴棒，…，所以第n個(gè)圖形需要［m+（2m+ 1）n］根火柴棒.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生感受到代數(shù)式是數(shù)學(xué)符號(hào)組成的語言，是刻畫數(shù)量關(guān)系的重要工具.在數(shù)學(xué)中，從幾個(gè)簡單的例子入手，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并用代數(shù)式來表示規(guī)律，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的歸納思想，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)思想方法.

教后反思：第（2）題中用代數(shù)式來表示規(guī)律，不僅可以從圖形中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)從前三小題中，也可以根據(jù)數(shù)的規(guī)律來得到第（2）題第④小問的規(guī)律，更為簡便.在數(shù)學(xué)歸納思想中，規(guī)律的推出還需要證明，還應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生將第一個(gè)圖形的答案代入式子，以檢驗(yàn)用于表示規(guī)律的代數(shù)式是否正確.

（四）圖示階段（Scheme）——作圖比較，共同提高

學(xué)生到對(duì)照屏幕，進(jìn)行講解，復(fù)習(xí)本章基本概念.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生自行梳理知識(shí)結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生自主參與復(fù)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生復(fù)習(xí)的習(xí)慣，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，讓學(xué)生的說代替教師的講，更好地體現(xiàn)課堂上以學(xué)生為主體的教學(xué)理念.

教后反思：在本環(huán)節(jié)中學(xué)生積極參與，在優(yōu)秀作業(yè)的展示中激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，也教會(huì)了學(xué)生知識(shí)梳理的方法，對(duì)于以后學(xué)生其他知識(shí)的復(fù)習(xí)也起到了很好的示范作用.

二、課后反思

APOS理論認(rèn)為，對(duì)于代數(shù)式概念的理解是一個(gè)循序漸進(jìn)、螺旋上升、逐步深入的長期過程，因此教師對(duì)代數(shù)式概念的教學(xué)過程也必定是長期的，在這個(gè)漫長的過程中，筆者認(rèn)為應(yīng)該注意以下幾點(diǎn).

1.關(guān)注概念形成和概念內(nèi)涵之間的關(guān)系，選擇恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)策略

幾何直觀是一種重要的科學(xué)的研究方式，它是認(rèn)識(shí)科學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解.同時(shí)它又是一種創(chuàng)造性思維，是揭示現(xiàn)代數(shù)學(xué)本質(zhì)特性的一個(gè)重要工具.教師在教學(xué)過程中，設(shè)法針對(duì)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，充分利用圖形幫助學(xué)生去認(rèn)識(shí)和感受代數(shù)式的圖形應(yīng)用，幫助學(xué)生建立用圖形觀念去解決問題的意識(shí)，讓學(xué)生借助圖形感受代數(shù)式在研究數(shù)學(xué)問題和生活實(shí)際問題中的作用，從而加深對(duì)代數(shù)式概念本質(zhì)的認(rèn)識(shí)和理解，同時(shí)也體現(xiàn)了幾何直觀、數(shù)形結(jié)合等重要數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的意義和作用.在代數(shù)式教學(xué)中，學(xué)習(xí)代數(shù)式的形式化表述是一個(gè)基本要求，我們更主要的是讓學(xué)生理解為何要形式化、為何要這樣形式化，突出對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，否則生動(dòng)活潑的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)將淹沒在形式化的海洋里.所以在教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)把直觀和形式進(jìn)行有機(jī)結(jié)合，通過對(duì)生活現(xiàn)象中的典型案例進(jìn)行直觀分析和自主探索，讓學(xué)生體驗(yàn)代數(shù)式概念逐步形成的過程，感受蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想方法，跟隨代數(shù)式概念發(fā)展的足跡，將數(shù)學(xué)知識(shí)從抽象的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受的教育形態(tài).在創(chuàng)設(shè)問題情境時(shí)要注意：問題情境要適合學(xué)生的生活體驗(yàn)，并且能夠揭示代數(shù)式概念的現(xiàn)實(shí)背景、形成過程.

2.重視與其他知識(shí)的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力

本課是《代數(shù)式》一章的復(fù)習(xí)課，對(duì)于基本概念、基本知識(shí)、基本技能的掌握，在復(fù)習(xí)課上不應(yīng)該是簡單的重復(fù)，所以采取了學(xué)生自主復(fù)習(xí)的形式，讓學(xué)生自己梳理知識(shí)脈絡(luò)，自己歸納整理錯(cuò)題，讓所有學(xué)生參與到復(fù)習(xí)中來，也指導(dǎo)了學(xué)生復(fù)習(xí)的方法，希望學(xué)生學(xué)會(huì)復(fù)習(xí).溫故而知新，希望學(xué)生通過本課能有所提升，讓學(xué)生更深刻地理解本章內(nèi)容，所以對(duì)本章涉及的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行了整理復(fù)習(xí).代數(shù)式作為方程及函數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，對(duì)于后續(xù)的學(xué)習(xí)有著非常重要的作用，因此這一點(diǎn)也應(yīng)在本課上讓學(xué)生有所體會(huì).在課堂上，還有許多細(xì)節(jié)之處沒有很好地處理，也需要在今后的教學(xué)中不斷改進(jìn)提高.

所以在教學(xué)過程中，教師應(yīng)該關(guān)注學(xué)生代數(shù)式概念的認(rèn)知發(fā)展情況，不斷調(diào)整教學(xué)策略，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用觀察、分析、抽象、綜合等數(shù)學(xué)思維方法主動(dòng)獲取知識(shí)，在總結(jié)歸納中幫助學(xué)生理清知識(shí)結(jié)構(gòu)，為進(jìn)行更高層次的思維活動(dòng)打好基礎(chǔ).同時(shí)合理設(shè)計(jì)問題，促使學(xué)生進(jìn)行積極地反思，“為何這么做”“如何得到”等，在總結(jié)和反思中形成數(shù)學(xué)思想方法.這對(duì)學(xué)生的代數(shù)式概念認(rèn)知從“活動(dòng)”到“過程”再到“對(duì)象”，最后建立“圖式”這樣分層次的建構(gòu)過程有著重要意義.

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