肖汶斌，董文才

(海軍工程大學(xué)艦船工程系，湖北武漢 430033)

近年來(lái)，三維移動(dòng)脈動(dòng)源格林函數(shù)已逐步應(yīng)用于數(shù)值求解單船和多體船的耐波性問(wèn)題［1-3］。該類(lèi)格林函數(shù)嚴(yán)格滿(mǎn)足自由面邊界條件，其作為描述船體一邊搖蕩運(yùn)動(dòng)且一邊向前航行狀態(tài)的擾動(dòng)速度勢(shì)是較為合理的。三維移動(dòng)脈動(dòng)源格林函數(shù)的原型為一雙重積分形式，數(shù)值積分時(shí)存在奇異性規(guī)避和高頻振蕩等困難，之后出現(xiàn)了單重積分和混合積分的改進(jìn)形式［4］。針對(duì)格林函數(shù)的改進(jìn)形式，眾多學(xué)者開(kāi)展了快速穩(wěn)定的數(shù)值積分方法研究［5-6］，有效推動(dòng)了移動(dòng)脈動(dòng)源格林函數(shù)在船舶耐波性預(yù)報(bào)中的應(yīng)用。在實(shí)際工程問(wèn)題中，諸如球鼻艏、折角線(xiàn)等船體外形對(duì)離散物面網(wǎng)格的要求十分精細(xì)，此時(shí)船型的復(fù)雜化必將導(dǎo)致網(wǎng)格數(shù)目的增加和系統(tǒng)計(jì)算量的增大，而移動(dòng)脈動(dòng)源格林函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的數(shù)值計(jì)算仍是最為主要的耗時(shí)部分。

在浮體水動(dòng)力研究方面，Wu［7］通過(guò)引入復(fù)合格林函數(shù)的概念來(lái)表達(dá)線(xiàn)性水動(dòng)力計(jì)算中格林函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，以對(duì)速度勢(shì)的求解矩陣作簡(jiǎn)化處理。劉日明［8］基于任一函數(shù)可寫(xiě)為對(duì)稱(chēng)函數(shù)和反對(duì)稱(chēng)函數(shù)的思想，將格林函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性拓展至浮體多階速度勢(shì)的求解問(wèn)題。針對(duì)具有多個(gè)對(duì)稱(chēng)面的海洋浮式結(jié)構(gòu)物，王興剛［9］在系泊索纜系統(tǒng)的耦合動(dòng)力分析中應(yīng)用了格林函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性。由于波浪中有航速浮體輻射與繞射問(wèn)題的復(fù)雜性，目前還尚未見(jiàn)有關(guān)三維移動(dòng)脈動(dòng)源對(duì)稱(chēng)性分析的相關(guān)報(bào)道。

對(duì)互為場(chǎng)點(diǎn)和源點(diǎn)的兩個(gè)空間坐標(biāo)點(diǎn)，一般的格林函數(shù)(如零航速格林函數(shù))具有對(duì)稱(chēng)特性，而移動(dòng)脈動(dòng)源由于直接計(jì)及航速效應(yīng)對(duì)船體搖蕩運(yùn)動(dòng)的影響，場(chǎng)點(diǎn)和源點(diǎn)互換后格林函數(shù)的數(shù)值并不滿(mǎn)足對(duì)稱(chēng)關(guān)系，這隱含著開(kāi)展移動(dòng)脈動(dòng)源關(guān)于點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)性分析時(shí)不應(yīng)局限于空間中的兩點(diǎn);另外，應(yīng)用移動(dòng)脈動(dòng)源格林函數(shù)法時(shí)，邊界元積分方程中增添了線(xiàn)積分項(xiàng)，此時(shí)求解速度勢(shì)的系數(shù)矩陣形式更為復(fù)雜。

為進(jìn)一步提高有航速船舶耐波性預(yù)報(bào)的計(jì)算效率，本文以Bessho型移動(dòng)脈動(dòng)源為積分內(nèi)核，詳細(xì)分析了格林函數(shù)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)、線(xiàn)積分及面積分的對(duì)稱(chēng)特性，并將其拓展至源強(qiáng)密度和速度勢(shì)的數(shù)值求解之中。針對(duì)不同船型在波浪中的水動(dòng)力性能，開(kāi)展了基于三維移動(dòng)脈動(dòng)源格林函數(shù)的船舶耐波性計(jì)算與數(shù)值驗(yàn)證工作。

1 基本數(shù)學(xué)問(wèn)題

設(shè)船舶以航速U在無(wú)限水深的規(guī)則波中航行，并建立隨船體平動(dòng)的直角坐標(biāo)系o-xyz，其中ox軸與靜水面重合，且與航速U同向，oz豎直向上。假設(shè)流場(chǎng)中的流體為不可壓縮的理想流體，且流動(dòng)為無(wú)旋流動(dòng)。在船體搖蕩運(yùn)動(dòng)和定常興波均為小量的雙重假定下，并考慮流場(chǎng)的穩(wěn)態(tài)解，入射波作用下場(chǎng)點(diǎn)p(x，y，z)處的非定?？臻g速度勢(shì)Φ可寫(xiě)為如下形式

式中:ζa為入射波的波幅值;ωe為船體遭遇頻率;φj(j=1～6)表示船體第j個(gè)模態(tài)單位振蕩運(yùn)動(dòng)的輻射勢(shì)，ηj為其相應(yīng)模態(tài)下的復(fù)振幅;φ7和φ0分別為空間繞射勢(shì)和入射波勢(shì)。

流場(chǎng)中的擾動(dòng)速度勢(shì)φj(j=1～7)不僅要滿(mǎn)足場(chǎng)內(nèi)的拉普拉斯方程，而且還需要滿(mǎn)足線(xiàn)性自由面條件、物面不可穿透條件、水底固壁條件和遠(yuǎn)方輻射條件，上述方程和邊界條件即構(gòu)成了波浪中三維頻域船舶水動(dòng)力的定解問(wèn)題。

滿(mǎn)足上述邊界條件的速度勢(shì)可用點(diǎn)源形式的格林函數(shù)在物面上的合理分布來(lái)表達(dá)，從而將定解問(wèn)題中的相應(yīng)微分方程轉(zhuǎn)換為物面上的積分方程來(lái)進(jìn)行數(shù)值求解。若以三維頻域移動(dòng)脈動(dòng)源格林函數(shù)為積分內(nèi)核，物面上的速度勢(shì)由分布在船體平均浸濕表面S及水線(xiàn)L上的點(diǎn)源誘導(dǎo)而成［10］，此時(shí)的邊界元積分方程為

其中:σj為第j個(gè)模態(tài)下的源強(qiáng)密度;線(xiàn)積分項(xiàng)的積分對(duì)象為各源點(diǎn)，此時(shí)n1表示水線(xiàn)L處物面單位外法線(xiàn)向量在oξ軸方向上的分量;G(p，q)為源點(diǎn) q(ξ，η，ζ)對(duì)場(chǎng)點(diǎn) p(x，y，z)的三維頻域移動(dòng)脈動(dòng)源格林函數(shù)，其Bessho型表達(dá)式［11］為

式中:

上述Bessho型格林函數(shù)表達(dá)式中，1/r和1/r'項(xiàng)及其關(guān)于場(chǎng)點(diǎn)p(x，y，z)的偏導(dǎo)數(shù)易于數(shù)值求解;而調(diào)和函數(shù)G*是本文探討的重點(diǎn)，其偏導(dǎo)數(shù)可寫(xiě)為

將邊界元積分方程式(2)代入物面不可穿透條件之中，物面上第j(j=1～7)個(gè)模態(tài)下的源強(qiáng)密度可通過(guò)式(5)求解獲得

式中:

2 移動(dòng)脈動(dòng)源格林函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性分析

對(duì)于一般船舶而言，船體型線(xiàn)關(guān)于其中縱剖面具有對(duì)稱(chēng)的幾何特性。在船舶的波浪載荷、運(yùn)動(dòng)響應(yīng)及自由面波形特征計(jì)算中，若能充分利用格林函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，僅在船體的左舷或右舷部分布置點(diǎn)源，則此時(shí)的計(jì)算效率將明顯優(yōu)于全結(jié)構(gòu)的船體水動(dòng)力模型。這里將隨船坐標(biāo)系的原點(diǎn)建立在船體重心處，在船舶有航速航行的工況下分析格林函數(shù)的對(duì)稱(chēng)特性，進(jìn)而探討B(tài)essho型移動(dòng)脈動(dòng)源在快速求解有航速船舶水動(dòng)力問(wèn)題時(shí)的改進(jìn)措施。

2．1 點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)性

分析調(diào)和函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)可知，G*y除了由場(chǎng)點(diǎn)和源點(diǎn)的空間坐標(biāo)決定，還與符號(hào)函數(shù)的取值特性密切相關(guān)，由于，則G*的偏導(dǎo)數(shù)滿(mǎn)足如下的對(duì)稱(chēng)關(guān)系式

式(7)～(10)的物理意義為，若單位強(qiáng)度的兩源點(diǎn)關(guān)于o-xz平面對(duì)稱(chēng)，且這兩源點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)著關(guān)于o-xz平面對(duì)稱(chēng)的兩場(chǎng)點(diǎn)，則兩源點(diǎn)在空間場(chǎng)點(diǎn)處產(chǎn)生的擾動(dòng)速度勢(shì)及其ox、oz方向分量也關(guān)于o-xz平面對(duì)稱(chēng)，而oy方向的擾動(dòng)速度勢(shì)分量則是反對(duì)稱(chēng)的。

當(dāng)U=2m/s和ωe=1．4rad/s時(shí)，圖1和圖2分別給出了單位強(qiáng)度的兩點(diǎn)源和q2在自由面上的Re(G*)和 Re(G*y)圖像。由圖可見(jiàn)，在2．5和 z=0所確定的矩形區(qū)域內(nèi)，Re(G*)和Re(G*y)分別關(guān)于ox軸對(duì)稱(chēng)和反對(duì)稱(chēng)。對(duì)不同水平面下的調(diào)和函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)開(kāi)展了計(jì)算，相應(yīng)的數(shù)值結(jié)果有效驗(yàn)證了式(7)～(10)所表達(dá)的格林函數(shù)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)特性。

圖1 單位強(qiáng)度的兩點(diǎn)源在自由面上Re(G*)圖像Fig．1 Re(G*)at z=0 plane by two sourceswith unit strength

圖2 單位強(qiáng)度的兩點(diǎn)源在自由面上Re(G*y)圖像Fig．2 Re(G*y)at z=0 plane by two sources with unit strength

2．2 線(xiàn)積分的對(duì)稱(chēng)性

假設(shè)線(xiàn)元上各控制點(diǎn)處的源強(qiáng)密度σj為一常數(shù)，下面推導(dǎo)證明線(xiàn)積分的對(duì)稱(chēng)關(guān)系式。設(shè)qm和qc+m分別為線(xiàn)元ΔLm和ΔLc+m上的控制點(diǎn)，且ΔLm和 ΔLc+m關(guān)于o-xz平面對(duì)稱(chēng)，則 qm和 qc+m也關(guān)于o-xz平面對(duì)稱(chēng)，由點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)性可知

令(n1m，n2m，n3m)和(n1c+m，n2c+m，n3c+m)分別表示線(xiàn)元ΔLm和ΔLc+m的單位外法線(xiàn)向量，由于一般船體的浸濕表面具有對(duì)稱(chēng)性，則對(duì)稱(chēng)面元處的法向量也是對(duì)稱(chēng)的，即

針對(duì)式(2)中的線(xiàn)積分項(xiàng)，調(diào)和函數(shù)的法向偏導(dǎo)數(shù)在線(xiàn)元上的積分可寫(xiě)為

將式(11)～(14)及式(15)代入式(16)～(17)，可得

式(18)表明，若兩線(xiàn)元和兩場(chǎng)點(diǎn)均關(guān)于o-xz平面對(duì)稱(chēng)，則線(xiàn)元上相同強(qiáng)度點(diǎn)源的調(diào)和函數(shù)法向偏導(dǎo)數(shù)對(duì)相應(yīng)場(chǎng)點(diǎn)的線(xiàn)積分滿(mǎn)足對(duì)稱(chēng)關(guān)系。

下面以一對(duì)關(guān)于o-xz平面對(duì)稱(chēng)的線(xiàn)元和場(chǎng)點(diǎn)為例來(lái)驗(yàn)證上述結(jié)論的正確性。若直線(xiàn)型線(xiàn)元ΔLm的端點(diǎn)坐標(biāo)為(1，2，0)和(0，1，0)，則 ΔLc+m由(1，-2，0)和(0，-1，0)唯一確定，且假設(shè) ΔLm和ΔLc+m均位于直壁型船體面元上，而兩場(chǎng)點(diǎn)為和假設(shè)線(xiàn)元上均布置單位強(qiáng)度的點(diǎn)源格林函數(shù)，圖3給出了ΔLm在p1點(diǎn)和ΔLc+m在p2點(diǎn)處誘導(dǎo)的速度勢(shì)法向分量隨遭遇頻率的變化曲線(xiàn)，其中U=2m/s，ωe=0．5～2．5rad/s。從實(shí)部和虛部的角度可知，兩線(xiàn)元在不同頻率下的積分結(jié)果曲線(xiàn)完全吻合，從而驗(yàn)證了式(18)的正確性。

圖3 線(xiàn)元上調(diào)和函數(shù)的法向偏導(dǎo)數(shù)積分結(jié)果Fig．3 Line integral result of the partial derivative at normal direction for the harmonic function

2．3 面積分的對(duì)稱(chēng)性

依據(jù)Hess-Smith方法，船體平均浸濕表面S可離散為若干個(gè)平面四邊形面元［12］，則格林函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)在面元上的積分可采用高斯積分方法求解，這里假設(shè)面元上各高斯節(jié)點(diǎn)處的源強(qiáng)密度相等［13］。

設(shè)面元 ΔSm和 ΔSc+m關(guān)于o-xz平面對(duì)稱(chēng)，且qm和 qc+m分別為 ΔSm和 ΔSc+m的形心，則 qm和qc+m也關(guān)于o-xz平面對(duì)稱(chēng)。由點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)性和對(duì)稱(chēng)面元處法向量的對(duì)稱(chēng)性，并參考線(xiàn)積分對(duì)稱(chēng)性的推導(dǎo)過(guò)程，可得

式(19)的物理含義為，若兩場(chǎng)點(diǎn)和分布有相同源強(qiáng)密度的兩面元關(guān)于o-xz平面對(duì)稱(chēng)，則面元上調(diào)和函數(shù)的法向偏導(dǎo)數(shù)對(duì)相應(yīng)場(chǎng)點(diǎn)的面積分也滿(mǎn)足對(duì)稱(chēng)關(guān)系。

2．4 對(duì)稱(chēng)性在邊界元積分中的應(yīng)用

假設(shè)船舶平均浸濕表面由N塊平面四邊形面元組成，且船體左側(cè)的面元編號(hào)為1，2，…，c(c=N/2)。由式(2)可知，第j模態(tài)下的邊界元積分方程可離散化為如式(20)所示的線(xiàn)性代數(shù)方程組。

上述方程中的系數(shù)矩陣Gkm(1≦k，m≦N)表示位于面元ΔSm或線(xiàn)元ΔLm上的源點(diǎn)對(duì)場(chǎng)點(diǎn)pk的積分值，其表達(dá)式為

分析可知，系數(shù)矩陣Gkm由四部分構(gòu)成，即船體左側(cè)、右側(cè)面元分別對(duì)其自身的影響系數(shù)和船體左側(cè)與右側(cè)面元的相互影響系數(shù)，可記為GLL、GRR、GLR和GRL。依據(jù)上述推導(dǎo)的點(diǎn)對(duì)點(diǎn)、線(xiàn)積分及面積分的對(duì)稱(chēng)性，并結(jié)合三維頻域移動(dòng)脈動(dòng)源格林函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式可知，子系數(shù)矩陣滿(mǎn)足如下的對(duì)稱(chēng)關(guān)系式

綜合式(7)、式(18)、式(19)和式(22)可知，格林函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性有利于數(shù)值計(jì)算的快速實(shí)施主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面:1)在船體面元網(wǎng)格劃分時(shí)，僅需對(duì)船體的左舷或右舷部分進(jìn)行離散，這樣可節(jié)省網(wǎng)格預(yù)處理的時(shí)間并減小網(wǎng)格的存儲(chǔ)規(guī)模，即格林函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可指導(dǎo)船體面元的網(wǎng)格生成;2)輻射勢(shì)和繞射勢(shì)求解的耗時(shí)大部分集中于移動(dòng)脈動(dòng)源格林函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，利用格林函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可有效減少系統(tǒng)的內(nèi)存量和大幅提高計(jì)算的效率;3)格林函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性涉及船體輻射問(wèn)題和繞射問(wèn)題的各個(gè)方面，如各模態(tài)下源強(qiáng)密度及輻射勢(shì)、繞射勢(shì)的相應(yīng)系數(shù)矩陣的生成、附加質(zhì)量及阻尼系數(shù)的求解、波浪主干擾力中繞射力的計(jì)算等，隨著計(jì)算流程的深入，格林函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可持續(xù)傳遞下去。

3 算例分析

3．1 波浪干擾力

船體受到的波浪干擾力為入射波作用力(即傅汝德-克雷洛夫力)和繞射波作用力之和。由于波浪干擾力不涉及輻射問(wèn)題，而僅計(jì)及入射波和繞射波與船體的相互作用，因此常以波浪干擾力作為耐波性數(shù)值計(jì)算的首要驗(yàn)證對(duì)象。針對(duì)雙體船的船型特點(diǎn)，并依據(jù)移動(dòng)脈動(dòng)源格林函數(shù)的對(duì)稱(chēng)特性，僅對(duì)雙體船一側(cè)片體的物面上進(jìn)行網(wǎng)格離散，而另一側(cè)的物面網(wǎng)格則通過(guò)幾何對(duì)稱(chēng)關(guān)系獲得。分析可知，雙體船左側(cè)和右側(cè)片體上分布點(diǎn)源的相互關(guān)系與單體船的左舷和右舷類(lèi)似，此時(shí)左右片體上對(duì)稱(chēng)物面處的點(diǎn)對(duì)點(diǎn)、線(xiàn)積分和面積分也應(yīng)滿(mǎn)足對(duì)稱(chēng)性。

圖4 Lewis型雙體船的物面網(wǎng)格劃分Fig．4 Surfacemesh of Lewis-type catamaran

以規(guī)則波中頂浪航行的Lewis型雙體船為對(duì)象，分別計(jì)算了船體受到的垂蕩干擾力和縱搖干擾力矩，圖4為該船型的物面網(wǎng)格劃分情況，而圖5和圖6則給出了數(shù)值計(jì)算和試驗(yàn)測(cè)試［14］的作用力幅值結(jié)果。這里，Lewis型雙體船模型的主尺度為1．5m ×0．75m ×0．125m，每個(gè)片體的寬度為0．25m，速度傅汝德數(shù)Fr=0．3。對(duì)比分析圖中的數(shù)據(jù)可知，垂蕩干擾力與縱搖干擾力矩的數(shù)值計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)值十分接近，進(jìn)而驗(yàn)證了應(yīng)用移動(dòng)脈動(dòng)源格林函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性在求解分析有航速船體波浪干擾力的可行性。

圖5 頂浪下Lewis型雙體船的垂蕩干擾力幅值Fig．5 Amplitude of heave force on Lewis-type catamaran in head waves

圖6 頂浪下Lewis型雙體船的縱搖干擾力矩幅值Fig．6 Amplitude of pitch moment on Lewis-type catamaran in head waves

3．2 運(yùn)動(dòng)響應(yīng)

斜浪航行工況下，船體左右兩側(cè)對(duì)稱(chēng)面元處的源強(qiáng)密度和速度勢(shì)必定不相等，這與迎浪和背浪面的邊界條件不一致有關(guān)，然而格林函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性仍然適用于邊界元積分方程中系數(shù)矩陣的計(jì)算，因?yàn)樵谙嗤瑓?shù)τ下單位強(qiáng)度的點(diǎn)源對(duì)固定位置場(chǎng)點(diǎn)的格林函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)必定相等，即三維頻域移動(dòng)脈動(dòng)源格林函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性與船型、航行速度和遭遇頻率聯(lián)系密切。

下面以系列60船(CB=0．7)為例來(lái)驗(yàn)證格林函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性在求解船舶波浪運(yùn)動(dòng)響應(yīng)問(wèn)題中的可靠性，其中船模主尺度為3．048m×0．435m× 0．174m，速度傅汝德數(shù) Fr=0．2，浪向角為135°(頂浪為180°)。圖7～圖9分別為系列60船在規(guī)則波中斜浪航行時(shí)垂蕩、橫搖及縱搖運(yùn)動(dòng)響應(yīng)幅值的計(jì)算結(jié)果，并給出了文獻(xiàn)［15］的模型試驗(yàn)值。由圖可知:在無(wú)因次遭遇頻率等于3．2附近，各模態(tài)運(yùn)動(dòng)響應(yīng)的計(jì)算幅值略大于試驗(yàn)結(jié)果，這與諧振區(qū)內(nèi)船體的大幅運(yùn)動(dòng)有關(guān);另外橫搖運(yùn)動(dòng)時(shí)流體的黏性效應(yīng)也不應(yīng)忽略;然而，在整個(gè)試驗(yàn)頻段內(nèi)數(shù)值計(jì)算與模型試驗(yàn)結(jié)果還是基本吻合的，從而表明格林函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可適用于求解斜浪航行船舶的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)。

圖7 斜浪下系列60船(CB=0．6)的垂蕩運(yùn)動(dòng)響應(yīng)幅值Fig．7 Amplitude of heavemotion of Ser．60 with CB=0．6 in oblique waves

圖8 斜浪下系列60船(CB=0．6)的橫搖運(yùn)動(dòng)響應(yīng)幅值Fig．8 Amplitude of rollmotion of Ser．60 with CB=0．6 in oblique waves

圖9 斜浪下系列60船(CB=0．6)的縱搖運(yùn)動(dòng)響應(yīng)幅值Fig．9 Amplitude of pitchmotion of Ser．60 with CB=0．6 in oblique waves

3．3 自由面波形特征

有航速航行船舶在自由面產(chǎn)生的波形包括非定常的輻射波和繞射波，采用移動(dòng)脈動(dòng)源格林函數(shù)法求解自由面波形特征時(shí)，依據(jù)輻射問(wèn)題和繞射問(wèn)題先分別求解船體浸濕表面處的源強(qiáng)分布密度，并將相應(yīng)模態(tài)下的速度勢(shì)代入自由面動(dòng)力學(xué)邊界條件，進(jìn)而數(shù)值模擬船體周?chē)姆嵌ǔ２ㄐ?。在頂浪航行工況下，船體左右對(duì)稱(chēng)物面上的源強(qiáng)分布密度和速度勢(shì)均滿(mǎn)足對(duì)稱(chēng)關(guān)系，故右舷物面的源強(qiáng)和速度勢(shì)可由左舷物面通過(guò)對(duì)稱(chēng)關(guān)系映射獲得，進(jìn)而模擬自由面處的波形特征，此時(shí)系統(tǒng)內(nèi)存量和計(jì)算耗時(shí)量都大大減少。

圖10 Wigley船模在自由面產(chǎn)生的繞射波形Fig．10 Diffraction waves produced by Wigley ship model on free surface

以一修正的Wigley船模所產(chǎn)生的繞射波為對(duì)象，開(kāi)展了格林函數(shù)對(duì)稱(chēng)性在模擬自由面波形特征中的適用性驗(yàn)證。該船模的主尺度為2．5m×0．5m ×0．175m，規(guī)則波波長(zhǎng)與船長(zhǎng)比為 λ/L=0．5，速度傅汝德數(shù)為 Fr=0．2，圖10 給出了船模在規(guī)則波中頂浪航行情形下產(chǎn)生的繞射波波形的模型試驗(yàn)［16］和數(shù)值計(jì)算結(jié)果，其中波形的余弦和正弦部分分別與瞬時(shí)非定常波 cos(ωet)和sin(ωet)的幅值分量相對(duì)應(yīng)。由圖可知:數(shù)值預(yù)報(bào)的繞射波形在測(cè)試區(qū)域內(nèi)與試驗(yàn)結(jié)果基本吻合，這表明格林函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性適用于船體周?chē)嵌ǔ２ǖ臄?shù)值模擬;另外，繞射波的余弦和正弦部分均限制在關(guān)于船舶航行方向?qū)ΨQ(chēng)的楔形區(qū)域內(nèi)，這與格林函數(shù)的傳播模態(tài)密切相關(guān)，因?yàn)橐苿?dòng)脈動(dòng)源的遠(yuǎn)場(chǎng)波形包含計(jì)及航速效應(yīng)的環(huán)形波系和計(jì)及搖蕩運(yùn)動(dòng)下的開(kāi)爾文波系兩部分。

4 結(jié)論

基于Bessho型移動(dòng)脈動(dòng)源格林函數(shù)的對(duì)稱(chēng)特性，本文重點(diǎn)探討分析了波浪中有航速船舶水動(dòng)力的快速求解措施，并獲得了以下主要結(jié)論:

1)Bessho型移動(dòng)脈動(dòng)源格林函數(shù)中的調(diào)和函數(shù)及其ox、oz方向的偏導(dǎo)數(shù)關(guān)于o-xz平面對(duì)稱(chēng)，調(diào)和函數(shù)在oy方向的偏導(dǎo)數(shù)關(guān)于o-xz平面反對(duì)稱(chēng);結(jié)合船體對(duì)稱(chēng)物面處的法向量取值特性，在關(guān)于o-xz平面對(duì)稱(chēng)的線(xiàn)元和面元處，推導(dǎo)獲得了調(diào)和函數(shù)的法向偏導(dǎo)數(shù)積分的對(duì)稱(chēng)關(guān)系表達(dá)式。

2)將線(xiàn)積分和面積分的積分對(duì)稱(chēng)性應(yīng)用于邊界元積分方程之中，可有效降低線(xiàn)性方程組中系數(shù)矩陣的求解規(guī)模;在波浪中的三維頻域有航速船舶水動(dòng)力問(wèn)題，應(yīng)用格林函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可顯著降低數(shù)值計(jì)算的運(yùn)算量和減小變量的存儲(chǔ)量，并可指導(dǎo)船體物面的網(wǎng)格劃分。

3)算例分析表明移動(dòng)脈動(dòng)源格林函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性適用于求解有航速船舶在波浪中的水動(dòng)力問(wèn)題，且驗(yàn)證了所編制的相關(guān)計(jì)算程序的可靠性。

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