溫生林，閆 野，易 騰

(國(guó)防科技大學(xué)航天科學(xué)與工程學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙 410073)

超低軌道是指飛行于大氣層以外而又低于一般航天器軌道高度的軌道，本文將超低軌道界定為軌道高度在120km以上、300km以下的飛行軌道。超低軌道飛行具有較大的經(jīng)濟(jì)效益和工程應(yīng)用價(jià)值，主要體現(xiàn)在:1)實(shí)現(xiàn)高分辨率對(duì)地偵察。對(duì)已有偵察載荷而言，選擇更低的軌道，可有效提高地面圖像分辨率，獲取更好的觀測(cè)效果。2)有效降低發(fā)射成本。在相同運(yùn)載能力情況下，采用的軌道更低，超低軌道衛(wèi)星的載荷能力更強(qiáng)，其效費(fèi)比將比傳統(tǒng)航天器顯著提高。由于軌道高度低，超低軌道衛(wèi)星的飛行環(huán)境和傳統(tǒng)衛(wèi)星有很大不同，稀薄大氣和地球非球形攝動(dòng)對(duì)軌道的影響顯著，且大氣密度隨晝夜、季節(jié)、太陽活動(dòng)變化劇烈，超低軌道衛(wèi)星受到的氣動(dòng)力比傳統(tǒng)低軌衛(wèi)星要高出兩到三個(gè)數(shù)量級(jí)［1］。盡管超低軌道上的大氣密度為10-11～10-9kg/m3的量級(jí)，作用在衛(wèi)星上產(chǎn)生的氣動(dòng)力能夠達(dá)到幾十毫牛的量級(jí)［2］，但長(zhǎng)期積累，對(duì)衛(wèi)星軌道的干擾影響巨大，若不進(jìn)行軌道維持，衛(wèi)星軌道會(huì)迅速衰減，因此，已有的飛行計(jì)劃都選擇避開這一空間區(qū)域，研究超低軌道維持的控制技術(shù)對(duì)于實(shí)現(xiàn)長(zhǎng)時(shí)間的超低軌道飛行意義重大。

超低軌道飛行技術(shù)受到了美國(guó)、日本、歐空局等航天大國(guó)和著名研究機(jī)構(gòu)的重視。當(dāng)前，世界上已經(jīng)發(fā)射和在研的真正實(shí)施超低軌道飛行計(jì)劃的衛(wèi)星有三顆:歐空局的GOCE衛(wèi)星［3］、日本宇宙航空研究局(JAXA)正在開發(fā)的SLAST衛(wèi)星［4］以及美國(guó)Microcosm公司的NanoEye衛(wèi)星［5］。歐空局于2009年3月發(fā)射的GOCE衛(wèi)星是第一顆真正意義上的超低軌道衛(wèi)星。GOCE衛(wèi)星重約1t，采用細(xì)長(zhǎng)體構(gòu)型，發(fā)射高度為275km，在軌運(yùn)行高度為250～260km，實(shí)際在軌飛行時(shí)間超過3年。SLAST衛(wèi)星的飛行高度為180km，搭載離子引擎，以維持高度，飛行時(shí)間為半年，配備小型攝影機(jī)，衛(wèi)星用很少的電力就能獲得很高的圖像解析度，實(shí)施高清晰度全天候監(jiān)控。NanoEye是美國(guó)Microcosm公司正在研發(fā)的一顆對(duì)地觀測(cè)衛(wèi)星，其軌道采用超低近圓軌道，近地點(diǎn)高度200km、遠(yuǎn)地點(diǎn)高度300km，預(yù)計(jì)飛行時(shí)間為6個(gè)月～1年。NanoEye衛(wèi)星是一顆低成本、高分辨率的成像偵察衛(wèi)星，其凈重約20．6kg，可攜帶數(shù)倍于自身重量的推進(jìn)劑，因而具有較好的機(jī)動(dòng)性，使其在更低的軌道上(如160km)執(zhí)行偵察任務(wù)。

目前，已有一些學(xué)者針對(duì)超低軌道衛(wèi)星軌道保持問題展開了研究。文獻(xiàn)［6］引入僅受地球引力作用的虛擬衛(wèi)星作為參考衛(wèi)星，采用標(biāo)準(zhǔn)的線性二次調(diào)節(jié)器把低軌衛(wèi)星軌道控制問題當(dāng)成是衛(wèi)星編隊(duì)來進(jìn)行優(yōu)化，該方法需事先對(duì)大氣阻力攝動(dòng)進(jìn)行預(yù)估。文獻(xiàn)［7］采用高精度加速度計(jì)測(cè)量衛(wèi)星受到的非保守力，采用內(nèi)嵌模型估計(jì)衛(wèi)星的狀態(tài)與干擾，研究了利用內(nèi)嵌模型實(shí)現(xiàn)GOCE衛(wèi)星無阻力姿態(tài)與軌道控制的方法，該方法需要有高精度的姿態(tài)測(cè)量與穩(wěn)定控制。文獻(xiàn)［8］給出了超低凍結(jié)軌道的概念，研究了利用常值小推力進(jìn)行超低軌道維持的控制方案，這種控制策略是常值小推力以軌道周期為單位間歇工作，該控制方案在劇烈變化的強(qiáng)大氣阻力攝動(dòng)作用下，將不能有效實(shí)現(xiàn)超低軌道高度的維持。

本文以飛行在軌道高度為120～300km超低軌道衛(wèi)星的軌道維持問題為研究對(duì)象，由于受到強(qiáng)大氣攝動(dòng)連續(xù)耗散力的作用，軌道長(zhǎng)半軸將不斷衰減［9］，并面臨著大氣攝動(dòng)隨太陽活動(dòng)、季節(jié)變化、光照條件變化而不確定波動(dòng)的難題，軌道控制方案與傳統(tǒng)的基于軌道根數(shù)的控制方法有很大不同［10-11］?？紤]到進(jìn)行軌道控制時(shí)，軌道偏心率會(huì)發(fā)生變化，為此，分析了在地球非球形引力攝動(dòng)和大氣阻力攝動(dòng)作用下偏心率的變化特性。在此基礎(chǔ)上，基于能量守恒原理提出了超低軌道維持的速度脈沖控制策略，對(duì)超低軌道維持的仿真結(jié)果表明，所設(shè)計(jì)的控制方案在實(shí)現(xiàn)軌道高度維持的同時(shí)，也將使得平均軌道偏心率矢量收斂至平衡位置，且用于軌道維持的燃料消耗合理，能夠滿足長(zhǎng)時(shí)間的超低軌道飛行要求。

1 超低軌道偏心率變化分析

1．1 J2、J3項(xiàng)作用下軌道偏心率的變化特性

考慮地球引力J2、J3攝動(dòng)項(xiàng)，偏心率和近地點(diǎn)幅角的長(zhǎng)期變化率為［12］

式(1)中:a、e、ω和i分別為軌道長(zhǎng)半軸、偏心率、近地點(diǎn)幅角和軌道傾角，p=a(1-e2);n為軌道平均角速度;RE為地球半徑;J2和J3分別為地球引力二階和三階帶諧項(xiàng)系數(shù)，ε的表達(dá)式如下

偏心率矢量定義為

偏心率矢量大小為偏心率，方向由地心指向軌道近地點(diǎn)，偏心率矢量隨時(shí)間的變化可由以下微分方程描述:

利用式(1)，保留e的一階項(xiàng)，可得

式(3)中:

由式(3)可得

給定初始偏心率e0和近地點(diǎn)幅角ω0，對(duì)式(4)積分，可得

另一方面，根據(jù)式(4)，可得

對(duì)上式積分，有

綜合以上分析，在J2、J3攝動(dòng)項(xiàng)作用下，偏心率矢量的運(yùn)動(dòng)軌跡是以(0，ef)為圓心，C為半徑的圓，偏心率矢量的旋轉(zhuǎn)角速度為K。

圖1 J2、J3攝動(dòng)作用下平均偏心率矢量示意圖Fig．1 Average eccentricity vector sketch caused by J2，J3 zonal terms

圖2 J2、J3攝動(dòng)作用下平均偏心率矢量變化的仿真Fig．2 Average eccentricity vector simulation curve caused by J2，J3 zonal terms

初始時(shí)刻衛(wèi)星的平均軌道根數(shù)為a=6558．137km，i=90°，Ω =0°，ω =90°，f=-90°。計(jì)算可知:ef=0．001 137，偏心率矢量旋轉(zhuǎn)角速度K=-9．13 ×10-7rad·s-1，(負(fù)號(hào)表示順時(shí)針旋轉(zhuǎn))，旋轉(zhuǎn)周期為79．65d。在J2、J3攝動(dòng)作用下初始偏心率取不同值時(shí)偏心率矢量的變化如圖2所示。由圖2可知，偏心率矢量的運(yùn)動(dòng)軌跡是以ef為圓心且過初始偏心率的圓。

1．2 大氣阻力作用下偏心率及近地點(diǎn)幅角的變化

超低軌道上的大氣密度隨太陽活動(dòng)、季節(jié)、地磁場(chǎng)、光照條件等因素劇烈變化，在一個(gè)軌道周期內(nèi)，可將大氣密度ρ表示成偏近點(diǎn)角E的函數(shù)ρ(E)。假設(shè)大氣阻力引起的軌道衰減可由軌道控制進(jìn)行補(bǔ)償，在大氣阻力攝動(dòng)作用下偏心率和近地點(diǎn)幅角的運(yùn)動(dòng)方程為［13］

式(8)中:f為軌道真近點(diǎn)角，CD為阻力系數(shù)，A為迎風(fēng)面積，m為衛(wèi)星的質(zhì)量。

在大氣阻力作用下，偏心率的平均變化率為

其中:

近地點(diǎn)幅角的平均變化率為

其中:

1．3 超低軌道偏心率矢量穩(wěn)定性分析

結(jié)合式(1)、式(10)和式(11)，在 J2、J3引力攝動(dòng)和大氣阻力攝動(dòng)作用下，忽略O(shè)(e)項(xiàng)，偏心率和近地點(diǎn)幅角的平均變化率為

將式(14)代入式(13)，可得

式(15)給出了在地球引力和大氣阻力作用下凍結(jié)軌道偏心率和近地點(diǎn)幅角的表達(dá)式，當(dāng)當(dāng)超低凍結(jié)軌道偏心率矢量可能的取值區(qū)域如圖3所示。

下面進(jìn)行超低凍結(jié)軌道偏心率穩(wěn)定性的分析，由式(14)可得偏心率和近地點(diǎn)幅角的雅可比矩陣在凍結(jié)軌道偏心率處的取值為

圖3 超低凍結(jié)軌道偏心率矢量的可能區(qū)域Fig．3 Possible region of super low altitude frozen eccentricity vector

偏心率和近地點(diǎn)幅角的特征方程為

特征方程的根為

特征根的實(shí)部

考慮到特征根的實(shí)部小于零，所以超低凍結(jié)軌道偏心率的變化是穩(wěn)定的。當(dāng)不考慮大氣密度、大氣密度為常值和余弦函數(shù)模型時(shí)，凍結(jié)軌道偏心率eDf、凍結(jié)軌道近地點(diǎn)幅角ωDf以及特征根的計(jì)算結(jié)果如表1所示。

表1 超低凍結(jié)軌道偏心率與特征根Tab．1 Eccentricity and roots of super low altitude frozen orbit

表1中:

需要說明的是:上述結(jié)論是在僅考慮了地球引力和大氣阻力的影響，且認(rèn)為軌道長(zhǎng)半軸保持不變的假設(shè)下做出的。事實(shí)上，若在飛行過程中施加控制力，則軌道偏心率矢量的變化是復(fù)雜的。以上分析過程表明:在大氣阻力攝動(dòng)作用下，軌道偏心率會(huì)變小，大氣阻力起到恢復(fù)力的作用。因此，在實(shí)施超低軌道高度維持的軌道控制時(shí)，可以不考慮軌道控制引起的軌道形狀的改變。

2 基于能量守恒原理的超低軌道維持方法

地球引力是保守力，在地球引力場(chǎng)中，衛(wèi)星在軌運(yùn)行僅存在動(dòng)能和勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化，其機(jī)械能是守恒的，即動(dòng)能與勢(shì)能之和是常量。單位質(zhì)量的機(jī)械能ξ可表示為

式(20)中:U為地球的引力位函數(shù)。

計(jì)算引力位函數(shù)U時(shí)考慮中心引力、J2項(xiàng)以及J3項(xiàng)攝動(dòng)，將更高階非球形引力攝動(dòng)項(xiàng)當(dāng)作擾動(dòng)位函數(shù)進(jìn)行處理，其表達(dá)式為

大氣阻力和控制力是非保守力，在地球引力、大氣阻力和控制力共同作用下機(jī)械能變化率的計(jì)算公式為

式(22)中:h為動(dòng)量矩，r為地心距，vx為速度在軌道坐標(biāo)系徑向分量，uT和uR分別表示控制加速度在軌道坐標(biāo)系的徑向和橫向分量。

若僅在橫向施加控制加速度uT(t)，則可表示為

根據(jù)式(23)可知，進(jìn)行超低軌道維持所需的速度脈沖ΔvT為

式(24)中:ξ0為初始時(shí)刻超低軌道衛(wèi)星單位質(zhì)量的機(jī)械能。

3 仿真分析

本文以軌道高度為200km的超低軌道衛(wèi)星為例進(jìn)行仿真和分析。初始時(shí)刻衛(wèi)星的平均軌道根數(shù)為 a=6578．137km，i=45°，Ω =0°，f=0°，大氣阻力系數(shù)CD=2．2，衛(wèi)星質(zhì)量為500kg，面質(zhì)比為0．02，軌道計(jì)算考慮了2階、3階引力場(chǎng)模型和大氣阻力攝動(dòng)，大氣密度采用Harris-Priester大氣模型進(jìn)行計(jì)算，仿真時(shí)間為50d。

在一個(gè)軌道周期內(nèi)，分別在真近點(diǎn)角f0和f0+π處施加兩次速度脈沖進(jìn)行軌道衰減補(bǔ)償控制，所需的速度脈沖由式(21)計(jì)算得到。

3.1 軌道高度維持的仿真結(jié)果

初始時(shí)刻平均偏心率為零，超低軌道高度維持的仿真結(jié)果如圖4、圖5所示。圖4和圖5分別給出了衛(wèi)星的平均軌道高度和機(jī)械能在一天內(nèi)的變化情況，圖中的虛線分別代表了初始時(shí)刻的平均軌道高度和單位質(zhì)量的機(jī)械能，可以看出，其軌道高度和單位質(zhì)量的機(jī)械能均始終在初始值附近變化。由圖5可以看出，在半個(gè)軌道周期內(nèi)，大氣阻力可使軌道降低約1．2km。圖6給出了進(jìn)行軌道衰減補(bǔ)償控制所需的速度脈沖在一天內(nèi)的變化情況。

圖4 軌道高度變化曲線Fig．4 Curve of altitude change

圖5 機(jī)械能變化曲線Fig．5 Curve ofmechanical energy change

表2給出了在整個(gè)軌道維持時(shí)間內(nèi)平均軌道高度偏差、機(jī)械能偏差以及速度脈沖的統(tǒng)計(jì)結(jié)果?？梢钥闯觯捎盟俣让}沖的軌道維持策略時(shí)軌道高度偏差不超過-1871．2m，軌道高度偏差的平均值為-626．5m;軌道維持所需的速度脈沖最大值為 1．099m/s，平均值為 0．734m/s。在整個(gè)軌道維持時(shí)間內(nèi)，所需總的速度脈沖為1247．7m/s，若發(fā)動(dòng)機(jī)比沖 Isp=300s，則軌道維持所消耗的燃料質(zhì)量為172．9kg，用于軌道維持的燃料消耗量占衛(wèi)星總質(zhì)量的34．6%，這表明:超低軌道維持的控制策略設(shè)計(jì)合理，能夠滿足長(zhǎng)時(shí)間超低軌道飛行的要求。

圖6 軌道維持所需的速度脈沖Fig．6 Velocity increment for orbitmaintenance

3.2 偏心率矢量的變化仿真

圖7 平均偏心率變化曲線Fig．7 Changes of average eccentricity

初始平均偏心率為0．005，初始近地點(diǎn)幅角分別取 0°、90°、180°以及270°時(shí)偏心率和偏心率矢量的仿真結(jié)果見圖7。圖7給出了偏心率的變化曲線，由圖7可得:平均偏心率在5d內(nèi)從初值0．005 收斂至穩(wěn)定值 0．001，隨后在 0．001 附近保持小幅震蕩。圖8給出了偏心率矢量的變化曲線，由圖7可得:雖然初始偏心率矢量不同，偏心率矢量都可以收斂至穩(wěn)定位置，其中:初始近地點(diǎn)幅角取0°和270°時(shí)，偏心率矢量最終穩(wěn)定在［0，0．001］附近;初始近地點(diǎn)幅角取90°和180°時(shí)，偏心率矢量最終穩(wěn)定在［-0．001，0］附近。結(jié)合圖7和圖8可知:在地球非球形引力攝動(dòng)、大氣阻力攝動(dòng)和速度脈沖作用下，偏心率矢量從不同的初始值均可以收斂至原點(diǎn)附近的平衡位置，平衡位置取決于大氣阻力、控制力以及偏心率矢量初始值等多種因素。

圖8 偏心率矢量變化曲線Fig．8 Curve of average eccentricity vector change

4 結(jié)論

本文研究了超低軌道衛(wèi)星的軌道自主維持方法，分析了超低軌道衛(wèi)星在地球非球形引力攝動(dòng)、大氣阻力攝動(dòng)作用下偏心率矢量的變化特性，提出了基于能量守恒原理的超低軌道維持策略。最后，以軌道高度為200km、質(zhì)量為500kg的超低軌道衛(wèi)星為例進(jìn)行了仿真分析，主要結(jié)論有:

1)若不進(jìn)行軌道維持，在半個(gè)軌道周期內(nèi)大氣阻力可使軌道衰減約1．2km;在一個(gè)軌道周期內(nèi)施加兩次速度脈沖進(jìn)行軌道衰減的補(bǔ)償控制，在整個(gè)在軌飛行時(shí)間內(nèi)，軌道高度偏差的平均值為-626．5m，軌道高度偏差不超過-1871．2m。

2)初始偏心率矢量不同，在地球引力、大氣阻力和速度脈沖共同作用下，偏心率矢量最終將收斂至原點(diǎn)附近。

3)在軌飛行 50d，所需總的速度脈沖為1247．7m/s，軌道維持所消耗的燃料質(zhì)量為172．9kg，用于軌道維持的燃料消耗量占衛(wèi)星總質(zhì)量的34．6%，這表明:超低軌道維持的控制策略設(shè)計(jì)合理，能夠滿足長(zhǎng)時(shí)間超低軌道飛行要求。

表2 軌道維持時(shí)主要控制參數(shù)統(tǒng)計(jì)Tab．2 Main control parameter statistics of orbitmaintenance

References)

［1］ Krueger J K． Closesat:perigee-lowering techniques and preliminary design for a small optical imaging satellite operating in very low earth orbit［D］．Cambridge:Massachusetts Institute of Technology，2010．

［2］ 周偉勇，張育林，劉昆．超低軌航天器氣動(dòng)力分析與減阻設(shè)計(jì)［J］．宇航學(xué)報(bào)，2010，31(2):342-348．ZHOU Weiyong，ZHANG Yulin，LIU Kun．Aerodynamics analysis and reduced drag design for the lower LEO spacecraft［J］．Journal of Astronautics，2010，31(2):342-348．(in Chinese)

［3］ Kuijper D，Matatoros M A G．Goce flight dynamics operations from an orbital perspective［J］． Journal of Aerospace Engineering，Sciences and Applications，2012，2(4):93-106．

［4］ Atsushi N，Masanori H，Masayoshi U．The study of a super low altitude satellite［C］．58th International Astronautical Congress，2007，IAC-07-D1．4．06．

［5］ Van Allen，Richard E，James RW．NanoEye-amulti-mission low cost spacecraft［C］．Reinventing Space Conference，Los Angeles，CA，May 7-11，2012．

［6］ De Florio S，D'Amico S．Optimal autonomous orbit control of remote sensing spacecraft［C］//Proceedings of the 19th AAS/AIAA Space Flight Mechanics Meeting，Savannah，USA，2009:8-12．

［7］ Canuto E． Drag-free and attitude control for the GOCE satellite［J］．Automatica，2008，44(7):1766-1780．

［8］ Masayoshi U，Atsushi N．Orbital maintenance of super low altitude satellite by new frozen orbit［C］．The Meeting on the Study of Space Missions Propelled by Low-Thrust and Sustained Acceleration，Tokyo，Japan，F(xiàn)eb 28-29，2008．

［9］ Salama O．Autonomous orbit maintenance law for LEO sun synchronous，earth repeating satelliteswith electric propulsion system［C］．AIAA/AAS Astrodynamics Specialist Conference and Exhibit，Honolulu，Hawaii，USA，August18-21，2008．

［10］ Fearn D G．Economical remote sensing from a low altitude with continuous drag compensation［J］．Acta Astronautica，2005，56(5):555-572．

［11］ Florio S D．Precise autonomous orbit control in low earth orbit:from design to flight validation［D］．Glasgow:University of Glasgow，2013．

［12］ 楊嘉墀．航天器軌道動(dòng)力學(xué)與控制(上)［M］．北京:中國(guó)宇航出版社，2005:196-198．Yang Jiachi．Spacecraft orbital dynamic and control(Volume 1)［M］．Beijing:China Astronautic Publishing，2005:196-198．(in Chinese)

［13］ 劉林，胡松杰．航天動(dòng)力學(xué)引論［M］．南京:南京大學(xué)出版社，2006:166-169．Liu Lin，Hu Songjie．An introduction to spacecraft orbital dynamic［M］．Nanjing:Nanjing University Press，2006:166-169．(in Chinese)