呂漢峰，張 良，王鼎杰，吳 杰

(國防科技大學(xué)航天科學(xué)與工程學(xué)院，湖南長沙 410073)

星敏感器是提供天文導(dǎo)航信息的重要設(shè)備。在星敏感器技術(shù)中，星像點(diǎn)質(zhì)心提取是一項(xiàng)基礎(chǔ)性的技術(shù)，它是星敏感器能提供有效地導(dǎo)航信息的前提，而且質(zhì)心的提取精度對星敏感器的后續(xù)工作如星圖識別等影響重大，同時(shí)它也在很大程度上決定了星敏感器最終的導(dǎo)航信息精度［1-3］。星敏感器在測量過程中，由于曝光時(shí)間、載體角運(yùn)動及噪聲等因素的存在，星體在星敏感器像平面上的成像不再是獨(dú)立的點(diǎn)而是一片區(qū)域，星像點(diǎn)質(zhì)心提取就是要從這片區(qū)域中找到最優(yōu)的星像點(diǎn)質(zhì)心位置。

目前的星像點(diǎn)質(zhì)心提取算法［1-6］研究多以星敏感器的靜態(tài)成像為前提，不考慮其在曝光過程中可能存在振動等情形，在此假定下這些算法的質(zhì)心提取精度一般可達(dá)到亞像素級。但在星敏感器的實(shí)際工作過程中，角振動環(huán)境不可避免地存在，如果忽略這些情況則會產(chǎn)生較大的質(zhì)心提取誤差［7］。另外星敏感器通常與慣性設(shè)備一起使用，也就是說星敏感器工作過程中的角振動信息可以被慣性設(shè)備測量到。如果在提取星像點(diǎn)質(zhì)心的過程中充分利用這些測量到的角振動信息，則應(yīng)該可以較大程度地降低振動對星敏感器測量的影響，減小質(zhì)心提取誤差。本文正是基于這一思路提出了慣性信息輔助的星像點(diǎn)質(zhì)心提取方法。

1 慣性信息輔助像點(diǎn)質(zhì)心提取模型

1．1 恒星在星敏感器中的成像模型

圖1 恒星投影模型Fig．1 Star imagingmodel

這里的成像模型由兩個(gè)部分構(gòu)成:恒星的點(diǎn)投影模型和投影點(diǎn)的能量分布模型。目前恒星的投影模型均采用小孔成像模型，如圖1所示。假定恒星方向矢量在星敏感器體系s中表示為es，星敏感器的視場為γ，像面的像素為N×N，則恒星在像面的投影點(diǎn)坐標(biāo)可表示為:

式(1)表明，只需知道恒星在星敏感器體系中的單位矢量就可以計(jì)算出它在像面上的投影點(diǎn)坐標(biāo)。

實(shí)際成像過程中恒星的投影并不是一個(gè)點(diǎn)而是像面上的一片區(qū)域。像點(diǎn)質(zhì)心的提取正是利用這片區(qū)域的灰度值進(jìn)行的，區(qū)域中每個(gè)像素的灰度值大小就表征了其所接受的恒星的能量大小。常用的能量密度分布模型是以投影點(diǎn)為中心的二維高斯分布函數(shù)，如式(2)所示。

式(2)中，［x，y］表示恒星在像面的投影點(diǎn)，I(xi，yi)表示像面上［xi，yi］處的能量密度，σ 表示能量密度集中指數(shù)。圖2是單維的能量密度分布示意圖。

圖2 單維能量密度分布示意圖Fig．2 Sketch map of power density distribution

則可知第k個(gè)像素區(qū)域Ωk的能量密度Pk為:

假定曝光時(shí)間為Δt且在整個(gè)曝光時(shí)間內(nèi)像素區(qū)域接受的能量未飽和，則第k個(gè)像素的灰度值Gk與其能量密度之間的線性關(guān)系可表示為:

其中，c為能量與灰度值之間的轉(zhuǎn)換常數(shù)。式(4)表明第k個(gè)像素的灰度值與恒星在像面的投影點(diǎn)［x，y］有關(guān)。

1．2 慣性信息輔助模型

假定星敏感器體系相對于載體系b的固聯(lián)安裝矩陣為Csb，星敏感器體系相對于慣性系的角速度為ωis，載體系相對于慣性系的角速度為ωib，則易知對于τ1和τ2時(shí)刻，假定它們的間隔δτ較小，則這兩個(gè)時(shí)刻的星敏感器體系相對于慣性系的姿態(tài)矩陣Csi有如下關(guān)系:

式(5)中，［(·)×］表示由矢量(·)生成的叉乘矩陣。

假定恒星在慣性系中的方向矢量為ei，則τ1和τ2時(shí)刻該恒星在星敏感器體系中的單位矢量可表示為:

式(5)和式(6)結(jié)合可得:

假定在δτ時(shí)間內(nèi)慣性設(shè)備對載體角增量的敏感度為αb，則式(7)可改寫為

結(jié)合式(1)和式(8)可知，若τ1時(shí)刻恒星在像面的投影點(diǎn)已知，則根據(jù)慣性設(shè)備在δτ時(shí)間內(nèi)的測量信息可以計(jì)算出τ2時(shí)刻該恒星在像面的投影點(diǎn)。

1．3 星像點(diǎn)質(zhì)心提取算法

若星敏感器在曝光過程中載體存在振動，則恒星的投影點(diǎn)在像面上就呈現(xiàn)出一條軌跡。若慣性設(shè)備可以測得振動信息，則這條軌跡就可知。

若已知曝光初始時(shí)刻的恒星投影點(diǎn)，則根據(jù)式(1)、式(8)和曝光時(shí)間內(nèi)的角增量即可計(jì)算出投影點(diǎn)的軌跡，然后利用式(2)、式(3)和式(4)即可計(jì)算出曝光后恒星投影區(qū)域內(nèi)各像素的灰度值，則易知這些灰度值都是初始投影點(diǎn)［x，y］的函數(shù)，記為)。

另外，曝光后通過圖像處理的方法得到的投影區(qū)域內(nèi)各像素的灰度值記為。根據(jù)能量守恒則式(10)成立。

其中，N為投影區(qū)域所包含像素的個(gè)數(shù)。

如果初始投影點(diǎn)選擇合適，則必然有式(11)成立。

若記:

則由式(11)可知:

由式(12)即可計(jì)算出初始投影點(diǎn)的坐標(biāo)。但由式(1)和式(2)可知式(12)是較強(qiáng)的非線性函數(shù)，因此通常采用線性化的方式進(jìn)行計(jì)算，而初始投影點(diǎn)的初值可選為投影區(qū)域的灰度加權(quán)中心。

由式(12)計(jì)算的初始投影點(diǎn)理論上講是最優(yōu)的，但這個(gè)過程中需要計(jì)算復(fù)雜的偏導(dǎo)函數(shù)及線性化，計(jì)算量比較大。從另外一個(gè)角度看，如果式(11)成立，則由計(jì)算的灰度加權(quán)中心應(yīng)該和計(jì)算的相同。如果不同，則兩個(gè)中心的差異可認(rèn)為是初始投影點(diǎn)不準(zhǔn)確所致。利用這個(gè)差異對初始投影點(diǎn)進(jìn)行補(bǔ)償，然后重新計(jì)算和灰度加權(quán)中心，如此重復(fù)直至兩個(gè)中心重合。這個(gè)過程相對來講計(jì)算量比較小，并且應(yīng)該也可以得到較準(zhǔn)確的初始投影點(diǎn)。在得到初始投影點(diǎn)之后便可計(jì)算得到曝光結(jié)束時(shí)刻的恒星像點(diǎn)質(zhì)心。

綜上分析，慣性信息輔助的星像點(diǎn)質(zhì)心提取算法的框圖大致如圖3所示。

2 仿真驗(yàn)證

為比較本文提出的慣性信息輔助算法與傳統(tǒng)算法在振動環(huán)境下的星像點(diǎn)質(zhì)心提取精度及本文算法的適用性，現(xiàn)進(jìn)行仿真試驗(yàn)。仿真試驗(yàn)主要分成兩部分，第一部分用來比較本文算法與傳統(tǒng)算法的質(zhì)心提取精度;第二部分用來分析算法的適用性，即相關(guān)因素對本文算法質(zhì)心提取精度的影響。

圖3 慣性信息輔助星像點(diǎn)質(zhì)心提取算法流程圖Fig．3 Flow chart of the star spot centroidingmethod with inertialmeasurement information

2．1 仿真條件

仿真過程中采用Tycho2星表，設(shè)置星敏感器視場為8°×8°，像素為512×512，能量密度集中指數(shù)為0．45像素，曝光時(shí)間為25ms，慣性設(shè)備的零漂為0．1°/h，角增量輸出頻率為200Hz，并假定振動角速率最大值不超過3°/s。為便于計(jì)算假定星敏感器體系與載體系重合。在全天球范圍內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生1000組姿態(tài)作為星敏感器曝光時(shí)刻的姿態(tài)，然后在曝光過程中產(chǎn)生振動。利用星像點(diǎn)質(zhì)心提取算法處理曝光得到的圖像并統(tǒng)計(jì)相關(guān)算法的星像點(diǎn)質(zhì)心提取精度。采用文獻(xiàn)［1］中的算法作為參考，在靜態(tài)條件下該算法的提取精度優(yōu)于0．1像素。圖4是某次振動條件下星敏感器曝光后得到的圖像。

圖4 振動條件下星敏感器曝光后的圖像Fig．4 Camera image after the exposure of star sensor in vibration environment

2．2 算法提取精度比較

利用本文算法和傳統(tǒng)算法處理圖4得到星像點(diǎn)質(zhì)心如圖5所示，各質(zhì)心坐標(biāo)如表1所示。

圖5 兩種算法提取的星像點(diǎn)質(zhì)心比較Fig．5 Comparison of the centroids of the twomethods

由圖5可知，傳統(tǒng)算法計(jì)算得到的各星像點(diǎn)質(zhì)心偏離理論質(zhì)心較遠(yuǎn)，而利用慣性信息輔助的算法得到的質(zhì)心則比較靠近理論質(zhì)心。表1中的數(shù)據(jù)更直觀地表明了這一結(jié)果。表1中的算法誤差是指算法得到的質(zhì)心至理論質(zhì)心的距離。由表1可知，針對圖4所示的情況，傳統(tǒng)算法得到的質(zhì)心偏離理論質(zhì)心1．7像素左右，而輔助算法得到的質(zhì)心誤差則在0．1像素以下。

表1 各星像點(diǎn)質(zhì)心及算法誤差Tab．1 Theoretical centroids and errors

通過對1000幅振動條件下星敏感器曝光圖像的處理，經(jīng)過統(tǒng)計(jì)得到，在振動角速率小于3°/s的情況下，傳統(tǒng)算法的提取精度為0．691像素，輔助算法的提取精度為0．011像素。這充分表明了慣性信息輔助星像點(diǎn)質(zhì)心提取算法在振動條件下依然可以獲得亞像素級的質(zhì)心精度。另外這種輔助算法的計(jì)算量比傳統(tǒng)算法略大，但計(jì)算耗費(fèi)的時(shí)間也同樣可以忽略不計(jì)。

2.3 算法適用性分析

由式(2)和式(8)可知，影響本文算法質(zhì)心提取精度的主要因素有能量密度分布模型的準(zhǔn)確性和角增量的測量精度，這兩者主要取決于能量密度集中指數(shù)σ和慣性設(shè)備的零漂。在仿真過程中設(shè)置能量密度集中指數(shù)σ的變化范圍為0．1～1．5 像素，零漂的變化范圍為 0．01 ～10°/h，它們對輔助算法提取精度的影響如圖6和圖7所示。由圖6可知隨著能量密度集中指數(shù)σ的增大，輔助算法的質(zhì)心提取精度逐步提升至0．01像素左右。而且在整個(gè)變化過程中，質(zhì)心提取精度基本都在亞像素級。由圖7可知隨著零漂的增大，輔助算法的質(zhì)心提取精度稍微變差，但仍然在0．01像素左右。

圖6 σ對輔助算法質(zhì)心提取精度的影響Fig．6 Effect ofσ on the centroid precision

圖7 零漂對輔助算法質(zhì)心提取精度的影響Fig．7 Effect of the drift on the centroid precision

以上仿真分析表明，本文提出的慣性信息輔助星像點(diǎn)質(zhì)心提取算法在振動條件下依然可以有效準(zhǔn)確地提取出各星像點(diǎn)的質(zhì)心。

3 結(jié)論

本文研究了振動條件下恒星在星敏感器中的成像過程，提出了慣性信息輔助的星像點(diǎn)質(zhì)心提取模型，并建立了慣性輔助質(zhì)心提取算法。仿真結(jié)果表明:當(dāng)振動角速率小于3°/s時(shí)，輔助算法的質(zhì)心提取精度在0．01像素左右，而且星敏感器的能量密度分布模型的準(zhǔn)確性和慣性設(shè)備的角增量測量精度在一定范圍內(nèi)對提取精度的影響較小。

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