張 勇，周 恒，余志明，陳里根，林振華

(中航工業(yè)洪都,江西 南昌330024)

0 引 言

在仿真技術(shù)成熟的今天，CAE技術(shù)的飛速發(fā)展，為產(chǎn)品生產(chǎn)前進(jìn)行性能評(píng)估、提高產(chǎn)品品質(zhì)、低成本設(shè)計(jì)提供了一個(gè)非常有效的工具。CAE不僅能起到性能分析的作用，還可通過(guò)先進(jìn)的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)及減重，從而達(dá)到仿真驅(qū)動(dòng)設(shè)計(jì)的目的。使用優(yōu)化分析的方法，通過(guò)設(shè)定一系列優(yōu)化參數(shù)，提交優(yōu)化軟件計(jì)算得出滿足條件的結(jié)構(gòu)參數(shù)，然后驗(yàn)證分析，能夠大大提高設(shè)計(jì)效率，并且在保證性能的同時(shí)實(shí)現(xiàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)的目的。

某型飛機(jī)框梁位于1框和3框之間，并通過(guò)4只螺栓進(jìn)行連接，對(duì)結(jié)構(gòu)起支撐作用，如圖1所示。某工況下在梁中心處承受大小為5661.8N的集中力，其材料為L(zhǎng)Y12，力學(xué)參數(shù)為：彈性模量E=71GPa，泊松比μ=0.33，密度ρ=2800kg/m3，強(qiáng)度極限σb=390 MPa。為了保證梁滿足飛機(jī)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中的強(qiáng)度要求，需要對(duì)其進(jìn)行強(qiáng)度校核，本文應(yīng)用有限元法和工程梁方法對(duì)梁進(jìn)行強(qiáng)度分析，針對(duì)其強(qiáng)度不滿足要求的問(wèn)題，采用工程上常用的尺寸優(yōu)化方法對(duì)梁進(jìn)行改進(jìn)設(shè)計(jì)，將梁截面尺寸作為優(yōu)化設(shè)計(jì)變量，在一定強(qiáng)度和剛度外界約束條件下盡量使梁的體積最小化。

圖1 梁CAD模型

1 尺寸優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

1.1 結(jié)構(gòu)優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型

優(yōu)化設(shè)計(jì)有三要素，即設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù)和約束條件。設(shè)計(jì)變量是在優(yōu)化過(guò)程中發(fā)生改變從而提高性能的一組參數(shù)；目標(biāo)函數(shù)就是要求的最優(yōu)設(shè)計(jì)性能，是關(guān)于設(shè)計(jì)變量的函數(shù)；約束條件是對(duì)設(shè)計(jì)的限制，是對(duì)設(shè)計(jì)變量和其他性能的要求。

優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型可以表述為：

式中：X是設(shè)計(jì)變量；f(X)是目標(biāo)函數(shù)；g(X)是不等式約束函數(shù)；h(X)是等式約束函數(shù) 上標(biāo)U、L分別指上、下限。

目標(biāo)函數(shù)f(X)；約束函數(shù)g(X)、h(X)是從有限元分析中獲得的結(jié)構(gòu)響應(yīng)。設(shè)計(jì)變量X是一個(gè)矢量，它的選擇依賴(lài)于優(yōu)化類(lèi)型。在拓?fù)鋬?yōu)化中，設(shè)計(jì)變量為單元的密度；在尺寸優(yōu)化（包括自由尺寸優(yōu)化）中，設(shè)計(jì)變量為結(jié)構(gòu)單元的屬性；在形貌優(yōu)化和形狀優(yōu)化（包括自由形狀優(yōu)化）中，設(shè)計(jì)變量為形狀擾動(dòng)的線性組合因子[1]。

1.2 尺寸優(yōu)化

在保持結(jié)構(gòu)的形狀和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不變的情況下，尋求結(jié)構(gòu)組件的最佳截面尺寸以及最佳材料性能的組合關(guān)系，優(yōu)化截面的最優(yōu)面積（如圖2桁架），選擇板的最佳厚度等稱(chēng)為尺寸優(yōu)化，其特點(diǎn)是：設(shè)計(jì)變量容易表達(dá)，求解理論和方法成熟[2]。

圖2 尺寸優(yōu)化示意

尺寸優(yōu)化是一種細(xì)節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，是設(shè)計(jì)人員在概念設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上所進(jìn)行的設(shè)計(jì)。它是通過(guò)改變結(jié)構(gòu)單元的屬性——例如殼單元厚度、梁?jiǎn)卧臋M截面屬性、彈簧單元的剛度和質(zhì)量單元的質(zhì)量等，以達(dá)到一定的設(shè)計(jì)要求（如應(yīng)力、質(zhì)量、位移等），其優(yōu)化流程如圖3所示。

2 梁有限元分析

將梁抽取中面，簡(jiǎn)化為二維單元進(jìn)行面網(wǎng)格劃分，其中，加強(qiáng)筋用三角形單元?jiǎng)澐郑溆嘤盟倪呅螁卧獎(jiǎng)澐?，得?1576個(gè)節(jié)點(diǎn)、10536個(gè)四邊形單元、1443個(gè)三角形單元。由于梁是用螺栓連接于1框和3框，所以在兩端四個(gè)螺栓孔處建立四個(gè)rbe2剛性單元，用于外界約束，約束X、Y、Z三個(gè)方向上的平動(dòng)自由度，并在梁底面中心處施加正Y向大小為5661.8N的集中力，其有限元模型如圖4所示。

圖3 尺寸優(yōu)化流程

圖4 梁有限元模型

賦予梁相應(yīng)厚度屬性后，將有限元模型提交有限元分析軟件計(jì)算，得到梁變形和應(yīng)力結(jié)果如圖5、圖6所示。

圖5 梁變形

圖6 梁應(yīng)力圖

由分析結(jié)果可知，在受力處產(chǎn)生最大變形，大小為4.7mm，在最小截面處端部產(chǎn)生最大應(yīng)力，大小為497.85Mpa，大于材料LY12的強(qiáng)度極限390Mpa，所以，梁強(qiáng)度不夠。

3 梁工程梁分析

為了進(jìn)一步驗(yàn)證梁強(qiáng)度是否足夠，用工程算法對(duì)梁進(jìn)行強(qiáng)度校核。工程上，為便于分析計(jì)算，考慮其彎曲變形，將梁簡(jiǎn)化成簡(jiǎn)支梁來(lái)處理，其中截面AA和B-B是危險(xiǎn)截面，其截面形式及受力情況簡(jiǎn)圖如圖7所示。

圖7 梁截面形式及受力簡(jiǎn)圖

對(duì)A-A截面：

形心C1的縱坐標(biāo)：

A-A截面對(duì)形心軸Zc1的慣性矩：

其結(jié)果如圖8所示。

對(duì)B-B截面：

形心C2的縱坐標(biāo)：

圖8 A-A截面應(yīng)力

B-B截面對(duì)形心軸Zc2的慣性矩：

其結(jié)果如圖9所示。

圖9 B-B截面應(yīng)力

由上述工程分析結(jié)果可知，在危險(xiǎn)截面B-B處端部，最大應(yīng)力為510.4Mpa，大于材料LY12的強(qiáng)度極限390Mpa，故梁強(qiáng)度不夠。

綜上，梁有限元分析和工程分析結(jié)果相差2.46%，而最大應(yīng)力結(jié)果都大于使用材料的強(qiáng)度極限，所以梁強(qiáng)度不夠。因此，采用工程上常用的方法對(duì)梁進(jìn)行尺寸優(yōu)化，在一定強(qiáng)度和剛度約束條件下應(yīng)盡量使梁的體積最小化。

4 梁尺寸優(yōu)化

給定材料密度，在滿足強(qiáng)度和剛度條件下，對(duì)梁進(jìn)行尺寸優(yōu)化，使體積最小化。其數(shù)學(xué)優(yōu)化模型如下所示：

式中：K是結(jié)構(gòu)總體剛度矩陣；U是節(jié)點(diǎn)位移；F是外力；d是力作用點(diǎn)處位移；V是梁的體積；X是設(shè)計(jì)變量，其中x1是梁加強(qiáng)筋厚度； x2是非加強(qiáng)筋處梁腹板厚度；x3是梁底板厚度；x4是加強(qiáng)筋處梁腹板厚度。

將添加了設(shè)計(jì)變量、外界約束、目標(biāo)函數(shù)的梁有限元模型提交OptiStruct運(yùn)算，經(jīng)過(guò)4次迭代，設(shè)計(jì)變量、外界約束、目標(biāo)函數(shù)趨于收斂，其迭代圖如圖10~圖15所示。

圖10 設(shè)計(jì)變量X1迭代圖

圖11 設(shè)計(jì)變量X2迭代圖

圖12 設(shè)計(jì)變量X3迭代圖

圖13 設(shè)計(jì)變量X4迭代圖

圖14 力作用點(diǎn)變形迭代圖

圖15 體積迭代圖

優(yōu)化前后，各設(shè)計(jì)變量、外界約束、目標(biāo)函數(shù)對(duì)比如表1所示。

表1 優(yōu)化前后對(duì)比

經(jīng)過(guò)優(yōu)化，梁最大變形為 3.82mm，減小了18.7%，最大應(yīng)力為319.8MPa，降低了35.8%，在滿足強(qiáng)度和剛度約束條件下，梁的體積為200360mm3，增加了14.9%。優(yōu)化后，梁的應(yīng)力水平小于材料的強(qiáng)度極限，剩余強(qiáng)度系數(shù)為1.22，滿足了強(qiáng)度要求。

5 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)對(duì)某型飛機(jī)梁的結(jié)構(gòu)分析和尺寸優(yōu)化，可以得到以下結(jié)論：

1）在某工況下對(duì)梁進(jìn)行強(qiáng)度校核，經(jīng)過(guò)有限元分析和工程梁分析，梁強(qiáng)度不夠，需對(duì)梁進(jìn)行重新設(shè)計(jì)。

2）采用工程上常用的方法對(duì)梁進(jìn)行尺寸優(yōu)化設(shè)計(jì)，獲得梁各部位尺寸優(yōu)化結(jié)果，得到梁的優(yōu)化形式，在滿足一定強(qiáng)度和剛度約束條件下使梁的體積最小化。

3）結(jié)構(gòu)的優(yōu)化結(jié)果一般偏理想化，實(shí)際情況中可以作為設(shè)計(jì)參考的依據(jù)對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行改進(jìn)設(shè)計(jì)，在滿足外界約束條件下達(dá)到實(shí)際應(yīng)用的目的。

[1]張勝蘭,鄭冬黎等.基于HyperWorks的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)技術(shù)[M].北京:北京工業(yè)出版社,2007.

[2]左孔天.連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化理論和應(yīng)用研究[D].武漢：華中科技大學(xué),2004,9.