余雷

(長江大學(xué)，湖北 荊州 434000)

函數(shù)發(fā)展的歷史及意義

余雷

(長江大學(xué)，湖北 荊州 434000)

文章淺談了函數(shù)發(fā)展的歷史時(shí)期及函數(shù)發(fā)展的現(xiàn)實(shí)意義，文章通過思考論述的方法，論證了函數(shù)發(fā)展經(jīng)歷的各個(gè)不同時(shí)期及函數(shù)發(fā)展帶來的現(xiàn)實(shí)意義，得出了不同時(shí)期函數(shù)發(fā)展經(jīng)歷的變化及了解函數(shù)發(fā)展歷史有著極高的現(xiàn)實(shí)意義。

函數(shù)；產(chǎn)生背景；發(fā)展時(shí)期；歷史；現(xiàn)實(shí)意義

函數(shù)在當(dāng)今社會(huì)應(yīng)用廣泛，在數(shù)學(xué)，計(jì)算機(jī)科學(xué)，金融，IT等領(lǐng)域發(fā)揮著舉足輕重的作用；在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史上，函數(shù)這一概念從提出到如今滲透到數(shù)學(xué)的各個(gè)層面，都在數(shù)學(xué)學(xué)科中有著不可撼動(dòng)的地位。學(xué)好函數(shù)、了解函數(shù)的發(fā)展歷史不僅能提高我們對函數(shù)概念的認(rèn)知度，還能有助于我們更好的運(yùn)用函數(shù)解決實(shí)際問題。

1 函數(shù)產(chǎn)生的社會(huì)背景

函數(shù) (function)這一名稱出自清朝數(shù)學(xué)家李善蘭的著作《代數(shù)學(xué)》，書中所寫“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”。而在16、17世紀(jì)的歐洲，漫長的中世紀(jì)已經(jīng)結(jié)束，文藝復(fù)興給人們的思想帶來了覺醒，新興的資本主義工業(yè)的繁榮和日益普遍的工業(yè)生產(chǎn)，促使技術(shù)科學(xué)和數(shù)學(xué)急速發(fā)展，這一時(shí)期的許多重大事件向數(shù)學(xué)提出了新的課題；哥白尼提出地動(dòng)說，促使人們思考：行星運(yùn)動(dòng)的軌跡是什么、原理是什么。牛頓通過落下的蘋果發(fā)現(xiàn)萬有引力，又自然使人想到在地球表面拋射物體的軌跡遵循什么原理等等。函數(shù)就是在這樣的一個(gè)思維爆炸的時(shí)代下漸漸被數(shù)學(xué)家們所認(rèn)知和提出。

早在函數(shù)概念尚未明確之前，數(shù)學(xué)家已經(jīng)接觸過不少函數(shù)，并對他們進(jìn)行了分析研究。如牛頓在1669年的《分析書》中給出了正弦和余弦函數(shù)的無窮級數(shù)表示；納皮爾在1619年闡明的對數(shù)原理為后世對數(shù)函數(shù)的發(fā)展提供有力依據(jù)。1637年法國數(shù)學(xué)家笛卡爾創(chuàng)立直角坐標(biāo)系，使得解析幾何得以創(chuàng)力，為函數(shù)的提出和表述提供了更加直觀的方式；直角坐標(biāo)系可以很形象的表述兩個(gè)變量之間 的變化關(guān)系，但他還未意識到需要提煉一般的函數(shù)概念來闡述變量的關(guān)系。17世紀(jì)牛頓萊布尼茲提出微積分的概念，使得函數(shù)一般理論日趨完善，函數(shù)的一般概念表述呼之欲出。在1673年萊布尼茲首次使用函數(shù)一詞來表示“冪”，而牛頓在微積分的研究中也使用了“流量”一詞來表示變量之間的關(guān)系。函數(shù)就是在數(shù)學(xué)家們不同分支但相同意義的研究下順應(yīng)而生。

2 函數(shù)概念的提出和初步發(fā)展

1718年，瑞士的數(shù)學(xué)家約翰·伯努利（Johann Bernoulli）把函數(shù)定義為“一個(gè)變量的函數(shù)是指由這個(gè)變量和常量以任何一種方式組成的一種量”。伯努利把變量x和常量按任何公式構(gòu)成的量叫做x的函數(shù)，表示為yx。值得一提的是伯努利家族是一個(gè)科學(xué)世家，3代人中產(chǎn)生了8位科學(xué)家，后裔中有不少人被人們追溯過，這是非常罕見的。約翰·伯努利的函數(shù)定義在為后世的函數(shù)發(fā)展提供了便利。

1755年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（Leonhard Euler）把函數(shù)定義為“如果某些變量，以某一些方式依賴于另一些變量；即當(dāng)后面這些變量變化時(shí)，前面這些變量也隨之變化，就把前面的這些變量稱為后面這些變量的函數(shù)”。歐拉的定義與現(xiàn)代函數(shù)的定義很接近。在函數(shù)的表達(dá)上，歐拉不拘于用數(shù)學(xué)式子來表示函數(shù)，破除了伯努利必須用公式表達(dá)函數(shù)的局限性，他認(rèn)為函數(shù)不一定要用公式來表示，他曾把畫在坐標(biāo)系上的曲線也叫做函數(shù)，他認(rèn)為函數(shù)是“函數(shù)是隨意畫出的一條曲線”

3 十九世紀(jì)的函數(shù)—對應(yīng)關(guān)系

19世紀(jì)是數(shù)學(xué)史上創(chuàng)造精神和嚴(yán)格精神高度發(fā)揚(yáng)的時(shí)代，幾何，代數(shù)，分析等各種分支猶如雨后春筍般竟相發(fā)展；函數(shù)進(jìn)入19世紀(jì)后，概念理論得到了極大的拓展和完善。

1822年傅立葉發(fā)現(xiàn)某些函數(shù)可以表示成三角級數(shù)，進(jìn)而提出任何函數(shù)都可以展開為三角級數(shù)；提出著名的傅立葉級數(shù)。使得函數(shù)的概念得以改進(jìn)，把世人對函數(shù)的認(rèn)識推到了一個(gè)新的層次。

1823年，法國數(shù)學(xué)家柯西從定義變量開始給出了函數(shù)的定義，指出無窮級數(shù)雖然是定義函數(shù)的一種有效方法，但定義函數(shù)不是一定要有解析表達(dá)式，他提出了“自變量”的概念；他給出的定義是“在某些變數(shù)間存在一定的關(guān)系，當(dāng)一經(jīng)給定其中某一變量的值，其他變數(shù)的值可隨著而確定時(shí)，則將最初的變數(shù)叫自變量，其他各變數(shù)叫做函數(shù)。”這一定義與現(xiàn)在中學(xué)課本中的函數(shù)定義基本相同。

1837年，德國數(shù)學(xué)家狄利克雷指出：對于在某區(qū)間上的每一個(gè)確定的值，都有一個(gè)或多個(gè)確定的值，那么y就叫做x的函數(shù)。狄利克雷的函數(shù)定義避免了以往以往函數(shù)定義中依賴關(guān)系來定義的弊端，簡明精確，為大多數(shù)數(shù)學(xué)家所接受。

4 現(xiàn)代函數(shù)—集合論的函數(shù)

自從德國數(shù)學(xué)家康托爾提出的集合論被世人廣泛接受后，用集合的對應(yīng)關(guān)系來表示函數(shù)概念漸漸占據(jù)了數(shù)學(xué)家們的思維。通過集合的概念把函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系、定義域以及值域進(jìn)一步具體化。1914年豪斯道夫在《集合論綱要》中用“序偶”來定義函數(shù)；庫拉托夫斯基在1921年又用集合論定義了“序偶”。這樣就使得豪斯道夫的定義更加嚴(yán)謹(jǐn)。

1930年，新的現(xiàn)代函數(shù)定義為：若對集合M的任意元素X總有集合N確定的元素Y與之對應(yīng)，則稱在集合M上定義一個(gè)函數(shù)，記為Y=f(x)。元素x稱為自變量，元素Y稱為因變量。

5 函數(shù)發(fā)展對當(dāng)代社會(huì)的意義

函數(shù)的發(fā)展，對當(dāng)代社會(huì)的生產(chǎn)生活產(chǎn)生了重大的影響；函數(shù)概念也隨著時(shí)代的不斷進(jìn)步而分成了網(wǎng)狀的分支，從簡單的一次函數(shù)到后來復(fù)雜的五次函數(shù)方程的求解；從簡單的反函數(shù)，三角函數(shù)到后來的復(fù)變函數(shù)，實(shí)變函數(shù)。這些函數(shù)的常用性質(zhì)，以及函數(shù)的求解都隨著人們對函數(shù)概念理論的不斷深入而發(fā)現(xiàn)，進(jìn)而無數(shù)人對其更加深入了研究探討，函數(shù)思想理論也深入滲透到社會(huì)各個(gè)領(lǐng)域。從教師教學(xué)中的函數(shù)思想到解決實(shí)際問題的數(shù)學(xué)建模；從計(jì)算機(jī)編程領(lǐng)域的C函數(shù)到調(diào)控市場經(jīng)濟(jì)的概率理論研究，函數(shù)無時(shí)無刻不在發(fā)揮其強(qiáng)大的作用。了解函數(shù)概念發(fā)展的過程，就是不斷挖掘理解函數(shù)內(nèi)涵的過程，可以使人們對這個(gè)客觀的世界更加深入的了解，有助于人們豐富視野，并不斷的加以發(fā)展，適應(yīng)不斷變化的社會(huì)需要。

[1]陳路飛.函數(shù)發(fā)展史[J].數(shù)學(xué)愛好者,2006,（2）.

[2]龐懿智.函數(shù)的發(fā)展史對函數(shù)的教學(xué)的啟示[J].未來英才,2014，（7）.

[3][美]Victor J.Katz.數(shù)學(xué)史通論第二版[M].高等教育出版社,2004.02.

[4]彭林，童紀(jì)元.借助函數(shù)概念的發(fā)展史引入函數(shù)概念[J].中學(xué)數(shù)學(xué), 2011，（11）.

An analysis on the Development History of Functions and its Significance

YU Lei
(Yangtze University,Jingzhou,Hubei434000,China)

This paper briefly discussed the development stage sof function and its practical significance.This paper, through thinking and explaining,demonstrated various development stages of the function and relevant practical significance,and finally it proposed the changes of function in different development period and the great practical significance ofthe development history of function.

function;background;development period;history;practical significance

O174

A

2095-980X（2015）02-0153-01

2015-02-10

余雷（1993-），男，河南信陽人，大學(xué)本科，主要研究方向：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)。