董 濤，李 軍

（晉中學(xué)院化學(xué)化工學(xué)院，山西晉中030600）

（編輯 楊樂中）

Benzi等在研究周期循環(huán)的冰期氣候系統(tǒng)時提出了隨機共振（stochastic resonance，SR）的概念［1］.隨機共振是指在非線性系統(tǒng)中，噪聲在特定條件下可以提高系統(tǒng)對信號的響應(yīng).在特定的噪聲強度下系統(tǒng)對微弱信號的響應(yīng)達到極大值.幾十年來，隨機共振的研究一直是非線性科學(xué)研究的熱點之一.2000年Landa等［2］發(fā)現(xiàn)了另一種與隨機共振相類似的現(xiàn)象—振動共振（Vibrational resonance，VR）.振動共振是非線性系統(tǒng)在高、低兩種不同頻率信號作用下，以高頻信號為調(diào)制信號，通過調(diào)節(jié)高頻信號的幅值或頻率來改變系統(tǒng)的動力學(xué)特性，使系統(tǒng)對低頻信號的響應(yīng)幅值達到極值［3］.這樣的雙頻信號在激光［4］、聲學(xué)［5］、神經(jīng)系統(tǒng)科學(xué)［6］等領(lǐng)域的研究中的確存在，因此振動共振的研究具有重要的理論和實際應(yīng)用價值.隨著研究的深入，人們在雙穩(wěn)［7~9］、多穩(wěn)［10~11］、可激［12~13］、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［14~15］等系統(tǒng)都發(fā)現(xiàn)了振動共振現(xiàn)象.例如：在雙穩(wěn)系統(tǒng)中 Yang等的研究發(fā)現(xiàn)，時間延遲可以在單一系統(tǒng)以及耦合系統(tǒng)中誘導(dǎo)出振動共振［16~17］.Hu等在可激系統(tǒng)的研究中發(fā)現(xiàn)高頻信號和時間延遲的協(xié)同作用可以使微弱的低頻信號被強化［18］.Jeevarathinam C等人研究了多重時間延遲對單一杜芬振子振動共振以及耦合杜芬振子系統(tǒng)信號傳遞的影響，發(fā)現(xiàn)在合適的條件下信號可以無衰減地進行傳播［19］；Yang等人則報道了過阻尼三勢阱振子系統(tǒng)中振動雙共振現(xiàn)象[20].

膜過程對于生命體維持正常的生命過程非常重要，在生命科學(xué)領(lǐng)域可興奮膜的動力學(xué)研究一直以來備受重視.近年來，人工可興奮膜作為簡單、有效的模型常被用來模擬生物膜，以研究其動力學(xué)行為.這其中油/水液膜是最具希望的可興奮生物膜的簡單模型，考慮到動力學(xué)行為的相似性，油/水液膜常被用來模擬味覺和嗅覺細胞膜.迄今為止，在眾多人工可興奮膜型中，一般認為Yoshikawa小組提出的液膜振蕩器模型是最完整、最成功的［21］.針對液膜振蕩器，以前的研究工作大都集中在隨機共振的相關(guān)研究上，例如：Xin小組研究發(fā)現(xiàn)在合適的條件下噪音可以誘導(dǎo)液膜振蕩器發(fā)生隨機共振和內(nèi)信號隨機共振現(xiàn)象［22~24］.Li等研究發(fā)現(xiàn)在兩個耦合液膜振蕩器中環(huán)境噪音也可以誘導(dǎo)出內(nèi)信號隨機共振［25］.然而，到目前為止，對液膜振蕩器振動共振研究目前尚未見報道.筆者認為研究液膜振蕩器中的振動共振行為有助于揭示味覺和嗅覺細胞探測微弱信號的內(nèi)在機理.

1 模型和計算方法

本文采用Yoshikawa等提出的液膜振蕩器模型［21~22］，其動力學(xué)方程式如下：

X，Y，Z分別代表表面活性劑，協(xié)同物和活性劑-協(xié)同物的加合物的濃度.下標(biāo)b和i表示體系和油/水界面.G（Zi）是使體系表現(xiàn)出興奮性的N型非線性函數(shù)，為使方程的解正定化，一般?。?/p>

為研究高、低兩種不同頻率信號的引入對液膜振蕩器振蕩行為的影響，在Xb項加入高頻和低頻信號：（2）

這里方程（2）中的第二項表示加入的低頻信號，振幅為A，頻率為ω；第三項表示加入的高頻信號，振幅為B，頻率為Ω，一般Ω?ω.

為了表征體系的振動共振，本文計算了輸出信號（Zi）對輸入低頻信號頻率（ω）的線性響應(yīng)（Q）［26］，計算公式如下:

其中n是一個整數(shù)，方程（1-3）式是用步長為0.01時間單位的四階龍格—庫塔方法進行數(shù)值計算的.在計算中，持續(xù)時間為500時間單位.

2 結(jié)果與討論

2.1 液膜振蕩器中的振動共振

根據(jù)參考文獻［22］，當(dāng)體系參數(shù) DX=2.0，DY=1.0，K1=1.4，K2=1.4，K3=20.0，K4=5.0，K5=-7.0，K6=3.30，K7=20.0，Yb=3.00；Xb=2.2-2.6時體系處于雙穩(wěn)區(qū)，這為選取控制參數(shù)的值提供了依據(jù).首先選取Xb=2.475，以討論體系處于雙穩(wěn)態(tài)時的振動共振規(guī)律.選取Ω=5；A=0.01，圖1給出了低頻信號頻率ω取不同值時，線性響應(yīng)Q隨B的變化曲線.從圖1(a)可以看出當(dāng)ω=0.001時，隨著B的增大，線性響應(yīng)Q出現(xiàn)了多個峰，這表明發(fā)生了多重振動共振［27~29］，多重振動共振的出現(xiàn)說明體系的信號可以在不同的高頻信號振幅處被放大；另外在其他低頻頻率下，如圖1(b)ω=0.01，圖1(c)ω=0.02時也觀察到了類似的多重振動共振.對比圖1(a)(b)(c)三個圖，隨著ω從0.001增大到0.02，多重共振峰對應(yīng)的線性響應(yīng)Q均值從4.6227降低到0.895左右，這說明隨著ω增大，振動共振強度降低了，也就是說低頻信號的頻率越低，系統(tǒng)的振動共振強度越大.這與我們研究鈣離子體系的振動雙共振控制時的結(jié)論［27］以及林敏［30］等在研究雙穩(wěn)系統(tǒng)的振動共振時的結(jié)論相一致.

圖1 低頻信號頻率ω取不同值時，線性響應(yīng)Q隨B的變化曲線Fig.1 Response(Q)of the system vs the amplitude(B)of the high frequency signal at various frequencies(ω)of low frequency signals(a)ω =0.001;(b)ω=0.01;(c)ω=0.02.parameters:DX=2.0,DY=1.0,K1=1.4,K2=1.4,K3=20.0,K4=5.0,K5=-7.0,K6=3.30,K7=20.0,Yb=3.00，Xb=2.475,Ω=5;A=0.01

固定參數(shù)ω=0.01；A=0.01，圖2給出了高頻信號頻率Ω取不同值時，線性響應(yīng)Q隨B的變化曲線.如圖所示，隨著Ω從4.97增大到5.3，多重振動共振的峰均值從1.1162先增大到1.1170再減小到1.1130，這說明存在最佳的高頻信號頻率使得體系的多重振動共振達到最強.為了印證這一結(jié)論，我們進一步研究了線性響應(yīng)Q隨Ω的變化曲線，如圖3所示（固定參數(shù)ω=0.01；A=0.01；B=70），可見，隨著Ω增大，線性響應(yīng)Q出現(xiàn)了多個峰，說明存在多個高頻信號頻率，使得體系的低頻信號被放大.仿照前面的多重振動共振定義，可以把這種多重共振稱為高頻頻率依賴的多重振動共振[10，16].那么，對于不同振幅或頻率的低頻信號，這種高頻頻率依賴的多重振動共振是否還會出現(xiàn)呢？因此我們首先固定參數(shù)ω=0.01；B=72，研究了低頻信號振幅A取不同值時，線性響應(yīng)Q隨Ω的變化曲線（圖4），從圖上可以看出，不同的低頻信號振幅，隨著高頻信號的頻率逐漸增大，體系依然可以出現(xiàn)高頻頻率依賴的多重振動共振，而且隨著信號振幅A從0.0001增大到0.1，高頻頻率依賴的多重振動共振曲線逐漸上移；高頻信號頻率越大，對應(yīng)的共振峰上移的程度越大.這表明利用振動共振，體系對大振幅的低頻信號的放大程度要比小振幅的低頻信號大.這與大振幅的低頻信號本身具有的能量大有關(guān).這是因為在高頻信號的振幅固定為B=72的條件下，通過振動共振的能量傳遞，高頻信號傳遞給低頻信號的能量是一樣的，而振幅大的低頻信號本身具有的能量大，兩者疊加從而導(dǎo)致其被放大的倍數(shù)大.接著固定參數(shù)A=0.01；B=72研究了低頻信號頻率ω取不同值時，線性響應(yīng)Q隨Ω的變化曲線（圖5）.從圖5可見，ω=0.009，0.02時，體系都有高頻頻率依賴的多重振動共振發(fā)生.所不同的是，ω=0.009時的平均共振強度Q=1.6145，ω=0.02時的平均共振強度Q=0.08965，這說明ω=0.009時的平均共振強度要比ω=0.02的大，即頻率越低，系統(tǒng)的高頻頻率依賴的多重振動共振強度越大.

2.2 負反饋機制對體系振動共振的影響

借鑒林敏等［31］在研究雙穩(wěn)體系隨機共振的控制時提出的反饋機制，采用如圖6所示的振動共振線性反饋控制原理研究反饋對體系振動共振的影響，這種反饋機制在我們研究鈣離子體系的振動雙共振控制時被證明是有效的［27］.與圖6相對應(yīng)的體系動力學(xué)方程變?yōu)椋?/p>

圖2 高頻信號頻率Ω取不同值時，線性響應(yīng)Q隨B的變化曲線Fig.2 Response(Q)of the system vs the amplitude(B)of the high frequency signal at various frequencies(Ω)of high frequency signals ω=0.01.Other parameters are the same as those in Fig.1.

圖3 線性響應(yīng)Q隨Ω的變化曲線Fig.3 Response(Q)of the system vs the frequencies(Ω)of high frequency signals ω=0.01;B=70.Other parameters are the same as those in Fig.1.Fig.1.

圖4 低頻信號振幅A取不同值時,線性響應(yīng)Q隨Ω的變化曲線Fig.4 Response(Q)of the system vs the frequencies(Ω)of the high frequency signal at various amplitudes(A)of low frequency signalsω=0.01;B=72.Other parameters are the same as those in Fig.1.

圖5 低頻信號頻率ω取不同值時，線性響應(yīng)Q隨Ω的變化曲線Fig.5 Response(Q)of the system vs the frequencies(Ω)of the high frequency signal at various frequencies(ω)of low frequency signalsA=0.01;B=72.Other parameters are the same as those in Fig.1.

方程（4）中f（x）是反饋函數(shù)，反饋函數(shù)前的負號表示負反饋機制，取反饋函數(shù)f（x）=kXi，其中k是反饋參數(shù).

圖6 振動共振的反饋控制示意圖Fig.6 Scheme of the feedback control for vibrational resonance Asin(ωt)and Bsin(Ωt)are the low frequency and high frequency signals,respectively.parameters:A and B(the amplitude of signals),ω andΩ (the frequency of signals),f(x)is the feedback function,-denotes negative feedback

圖7 是不同反饋參數(shù)k時，線性響應(yīng)Q隨B的變化曲線（固定參數(shù)ω=0.01；Ω=5；A=0.01）.從圖上可以看出，不考慮反饋影響時（反饋參數(shù)k=0），體系表現(xiàn)出明顯的多重振動共振，但隨著負反饋參數(shù)k從0.2增大到1.6，體系的振動共振峰逐漸由多峰變?yōu)閱畏?；最終消失.這說明通過負反饋機制可以有效調(diào)節(jié)體系多重振動共振峰的個數(shù).

圖7 不同反饋參數(shù)k時,線性響應(yīng)Q隨B的變化曲線Fig.7 Response(Q)of the system vs the amplitude(B)of the high frequency signal for the linear negative feedback at various feedback parameters(k)ω=0.01；Other parameters are the same as those in Fig.1.

圖8 不同反饋參數(shù)k時,線性響應(yīng)Q隨Ω的變化曲線Fig.8 Response(Q)of the system vs the frequency(Ω)of the high frequency signal for the linear negativefeedback at various feedback parameters(k)ω=0.01;B=70;Other parameters are the same as those in Fig.1.

在固定參數(shù)ω=0.01；B=70；A=0.01條件下，筆者進一步研究了不同反饋參數(shù)k時，線性響應(yīng)Q隨Ω的變化曲線（圖8）.從圖8不難看出，與不加反饋時（k=0）相比，隨著負反饋參數(shù)k從0.2增大到1.6，雖然體系的高頻頻率依賴的多重振動共振并沒有消失，但其強度卻逐漸減小，原因可能是負反饋對體系高頻頻率依賴的多重振動共振的影響機理不同于多重振動共振.

2.3 類頻率共振強化的振動共振

Yao［8］等在研究過阻尼雙穩(wěn)體系的振動共振時發(fā)現(xiàn)：不同于傳統(tǒng)的振動共振發(fā)生條件，高頻信號頻率要遠遠大于低頻信號頻率（Ω?ω），在高頻信號頻率減小到低頻信號頻率大小（Ω=ω）時，合適的高頻信號頻率和高頻信號振幅(Ω，B）下也能發(fā)生振動共振，而且其共振強度甚至比傳統(tǒng)的振動共振強度更大.他們把這種振動共振稱為頻率共振強化的振動共振.由此可見對與振動共振研究，Ω?ω不是充要條件，那么當(dāng)?shù)皖l信號頻率逐漸增大到高頻信號頻率（ω=Ω）時，是否還會有振動共振發(fā)生呢？圖9是線性響應(yīng)Q隨B的變化曲線（ω=Ω=5；A=0.01），從圖上可見明顯的峰形曲線，表明在ω=Ω=5的條件下同樣可以發(fā)生振動共振，為了和Yao等報道的振動共振相區(qū)別，筆者認為可以把這種振動共振稱為類頻率共振強化的振動共振.類頻率共振強化的振動共振現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)進一步擴寬了體系發(fā)生振動共振的條件.

3 結(jié)論

本文研究了生物液膜振蕩器在高、低兩種不同頻率信號作用下所產(chǎn)生的振動共振現(xiàn)象.結(jié)果表明：體系線性響應(yīng)Q隨B的變化出現(xiàn)了多個峰，即發(fā)生了多重振動共振，且低頻信號的頻率越低，系統(tǒng)的振動共振強度越大.另外，存在最佳的高頻信號頻率使得體系的多重振動共振達到最強.而且體系線性響應(yīng)Q隨Ω的變化可以發(fā)生高頻頻率依賴的多重振動共振；對不同振幅或頻率的低頻信號，利用高頻頻率依賴的多重振動共振，體系對振幅大的低頻信號的放大程度要比振幅小的低頻信號大；低頻信號頻率越低，系統(tǒng)的高頻頻率依賴的多重振動共振強度越大.還討論了負反饋機制對體系振動共振的影響，通過負反饋機制可以有效調(diào)節(jié)體系多重振動共振峰的個數(shù)；負反饋對體系高頻頻率依賴的多重振動共振的影響則主要體現(xiàn)在影響其強度而對其共振峰的個數(shù)沒有影響.當(dāng)ω=Ω時，體系可以發(fā)生類頻率共振強化的振動共振.筆者期望所得結(jié)果有助于更好的理解味覺和嗅覺細胞感受外界信號刺激的機理，并為其它雙諧波作用下的非線性體系動力學(xué)研究提供借鑒和參考.

圖9 線性響應(yīng)Q隨B的變化曲線Fig.9 Response(Q)of the system vs the amplitude(B)of the high frequency signal.ω=Ω=5;Other parameters are the same as those in Fig.1.

［1］Benzi R，Sutera A，Vulpiana A.The mechanism of stochastic resonance［J］.Journal of Physics A:Mathematical and General，1981（14）：453~457.

［2］Landa PS，McClintock PVE.Vibrational resonance［J］.JPhys A：Math Gen，2000，33：L433~L438.

［3］林敏，黃詠梅.基于振動共振的隨機共振控制.物理學(xué)報［J］.2007，56（11）：6173~6177.

［4］Volkov EI，Ullner E，Zaikin A A，et al.Oscillatory amplification of stochastic resonance in excitable systems［J］.Physical Review E，2003，68（2）：026214-1~026214-7.

［5］Maksimov AO.On thesubharmonic emission of gasbubblesunder two-frequency excitation［J］.Ultrasonics，1997，35（1）：79~86.

［6］Victor JD，Conte M M.Two-frequency analysis of interactions elicited by Vernier stimuli［J］.Visual neuroscience，2000，17（6）：959~973.

［7］Blekhman I.I，Landa PS.Conjugate resonances and bifurcations in nonlinear systems under biharmonical excitation［J］.Int J Non-Linear Mech，2004（39）：421~426.

［8］Yao C，Liu Y，Zhan M.Frequency-resonance-enhanced vibrational resonance in bistablesystems［J］.Physical Review E，2011，83（6）：061122-1~061122-6.

［9］Yao C，Zhan M.Signal transmission by vibrational resonancein one-way coupled bistable systems［J］.Physical Review E，2010，81（6）：061129-1~061129-8.

［10］Rajasekar S，Abirami K，Sanjuan M A F.Novel vibrational resonance in multistable systems［J］.Chaos：An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science，2011，21（3）：033106-1~033106-7.

［11］Yang JH，Liu X B.Controlling vibrational resonance in a multistable system by time delay［J］.Chaos，2010，20（3）：033124-1~033124-7.

［12］Zhao J，Deng B，Wei X，et al.Dynamical encoding of winnerless competition network induced by vibrational resonance［J］.Control and Decision Conference（CCDC），2012 24th Chinese.IEEE，2012：1167~1171.

［13］Yang L，Liu W，Yi M，et al.Vibrational resonance induced by transition of phase-locking modes in excitable systems［J］.Physical Review E，2012，86（1）：016209-1~016209-7.

［14］Qin Y，Wang J，Men C，et al.Vibrational resonance in feedforward network［J］.Chaos：An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science，2011，21（2）：023133-1~023133-8.

［15］Xue M，Wang J，Deng B，et al.Vibrational resonancein feedforward neuronal network with unreliablesynapses［J］.The European Physical Journal B，2013，86（4）：1~9.

［16］Yang JH，Liu X B.Delay induces quasi-periodic vibrational resonance.Journal of physics［J］.A，Mathematical and theoretical，2010，43（12）：122001-1~122001-7.

［17］Yang JH，Liu X B.Delay-improved signal propagation in globally coupled bistable systems［J］.Physica Scripta，2011，83(6)：065008-1~065008-7.

［18］Hu D，Yang J，Liu X.Delay-induced vibrational multiresonance in FitzHugh–Nagumo system［J］.Communications in Nonlinear Scienceand Numerical Simulation，2012，17（2）：1031~1035.

［19］Jeevarathinam C，Rajasekar S，Sanjuán M A F.Effect of multiple time-delay on vibrational resonance［J］.Chaos，2013(23)：013136-1~013136-11.

［20］Yang Y，Wang C.Theory and nuberics of double-vibrational resonance in the overdamped oscillator［J］.Chinese JPhys，2013，51（4）：728~737.

［21］Yoshikawa K，Makino M，Nakata S，et al.Non-linear characteristicsof lipid monolayersin relation to the ability to self-organize［J］.Thin Solid Films，1989，180（1）：117~121.

［22］Zuo X，Hou Z，Xin H.Stochastic resonance in liquid membrane oscillator［J］.The Journal of chemical physics，1998，109：6063~6066.

［23］Zhong S，Xin H.Noise-induced oscillations and internal stochastic resonance in a model of excitable biomembrane［J］.Chemical Physics Letters，2000，321（3）：309~314.

［24］Qi F，Xin H.Stochastic resonance induced by fluctuation in liquid membrane oscillator without input signals［J］.Biophysical chemistry，2001，90（2）：175~182.

［25］Li Q S，Li Y P.Internal stochastic resonance in two coupled liquid membrane oscillators［J］.Physical Review E，2004，69（3）：031109-1~031109-7.

［26］Ullner E，Zaikin A，Bascones R，Garcia-Ojalvo J，Kurths J.Vibrational resonance and vibrational propagation in excitable systems［J］.Phys Lett A，2003，312：348~354.

［27］施建成，董濤.鈣離子體系的振動雙共振控制［J］.Acta Phys.Chim.Sin，2010，26（2）：487~494.

［28］張路，謝天婷，羅懋康.雙頻信號驅(qū)動含分數(shù)階內(nèi)、外阻尼 Duffing振子的振動共振［J］.物理學(xué)報，2014，63（1）：010506-1~010506-7.

［29］Jeyakumari S，Chinnathambi V，Rajasekar S，et al.Vibrational resonance in an asymmetric Duffing oscillator［J］.International Journal of Bifurcation and Chaos，2011，21（01）：275~286.

［30］林敏，黃詠梅.雙穩(wěn)系統(tǒng)的振動共振及特性分析［J］.振動與沖擊，2007，26（12）：151~153.

［31］林敏，黃詠梅，方利民.雙穩(wěn)系統(tǒng)隨機共振的反饋控制［J］.物理學(xué)報，2008，57（04）：2041~2047.