潘 安，彭珍瑞，殷 紅，董海棠

(蘭州交通大學(xué) 機電工程學(xué)院，甘肅 蘭州730070)

0 引 言

模態(tài)分析是結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析的基礎(chǔ)，其中模態(tài)試驗是模態(tài)分析的一種常用方法。模態(tài)試驗系統(tǒng)中傳感器布置直接影響了試驗效果［1］。如何將傳感器以最少的數(shù)目布置在最佳的位置是模態(tài)試驗傳感器優(yōu)化布置問題的目的。

解決傳感器優(yōu)化布置問題，首先要根據(jù)試驗?zāi)繕说牟煌_定優(yōu)化準則，然后選擇適當(dāng)?shù)膬?yōu)化方法。常用的布置準則有:Kammer D C 提出的有效獨立法［2］;Carne T G 和Dohrmann C R 根據(jù)模態(tài)保證準則(modal assurance criterion，MAC)提出以MAC 矩陣最大非對角元素為目標函數(shù)的優(yōu)化準則［3］。傳感器配置的優(yōu)化方法分為傳統(tǒng)方法和隨機類算法。隨機類算法如模擬退火［4］、遺傳算法［5］等;傳統(tǒng)方法中基于MAC 法提出的序列法(逐步積累法［6］、逐步消去法［7］)最為實用，應(yīng)用廣泛［8］。

松弛思想源于圖論中的最短路徑問題［9］。松弛操作被Dijkstra 算法、有向無環(huán)圖最短路徑算法和Bellman－Ford算法使用，成功地在多項式時間復(fù)雜度內(nèi)求出了最短路徑問題的最優(yōu)解。

在序列法的基礎(chǔ)上，通過融入松弛思想，本文提出松弛序列法。松弛序列法首先執(zhí)行積累序列法得到不同傳感器數(shù)量對應(yīng)的初始布置方案，然后對每個初始布置方案進行松弛操作。

1 基于松弛序列法的傳感器優(yōu)化布置

1.1 理論基礎(chǔ)與優(yōu)化準則

結(jié)構(gòu)動力學(xué)中，n 自由度系統(tǒng)的運動方程可以表示為

其中，M，C，K，f(t)和x(t)分別表示質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣、力向量和響應(yīng)向量。根據(jù)模態(tài)疊加性原理，響應(yīng)向量可以表示為

其中，Φ 為模態(tài)振型矩陣，q(t)為模態(tài)坐標向量。

實踐上，模態(tài)試驗工程師需要觀察模態(tài)振型，通過視覺判斷模態(tài)的精度。Carne T G 和Dohrmann C R 根據(jù)MAC提出的無關(guān)性度量公式符合模態(tài)試驗工程師需要觀察模態(tài)振型的視覺要求［3］。MAC 矩陣i 行j 列的元素計算公式為

其中，Φi和Φj分別為Φ 的第i 列和第j 列，Φ 為布放方案的振型矩陣。

將振型矩陣^Φ 中第k 行(此行還未被Φ 選取)加到現(xiàn)有布放方案中去，MAC 就變?yōu)椋?］

其中，A=ΦTΦ 為已有布置方案的振型矩陣的乘積，為的第k 行i 列的元素為完整的振型矩陣。

1.2 積累序列法

序列法的基本思想是每次從剩余的候選布放位置中選擇最優(yōu)的一個加入現(xiàn)有解，直至目標函數(shù)達到設(shè)定條件。QR 分解用于確定初始布置方案。設(shè)n 自由度結(jié)構(gòu)的前m階振型矩陣為，則其中，E ∈Rn×n為 置 換 矩 陣，Q ∈Rm×m，R ∈Rm×n，

|R11|＞|R22|＞…＞|Rmm|。

1.3 松弛思想

松弛思想是在原有估計的基礎(chǔ)上，通過增廣現(xiàn)有解得到新解當(dāng)增廣解優(yōu)于現(xiàn)有的解時，原有估計將被更新。傳感器優(yōu)化布置的松弛序列法采用以最優(yōu)方式增加和減小布放傳感器的方式，執(zhí)行松弛操作。同時，采用式(4)評價增廣解，可以降低操作的時間復(fù)雜度。

1.4 松弛序列法

松弛序列法將松弛思想引入傳感器優(yōu)化布置的積累序列法中，算法的流程如圖1 所示。

圖1 算法的流程圖Fig 1 Flow chart of algorithm

傳感器優(yōu)化布置的松弛序列算法的執(zhí)行過程分為以下步驟:

1)根據(jù)1.2 節(jié)描述的積累序列法，得到初始布置方案集合。

2)遍歷當(dāng)前布置方案集合，執(zhí)行松弛操作。例如:對于含有t 只傳感器的布置方案，計算其增加一只傳感器和減小一只傳感器后產(chǎn)生的兩個新布置方案(得到含有t－1 只傳感器的新布置方案和含有t+1 只傳感器的新布置方案)，如果新布置方案優(yōu)于對應(yīng)傳感器數(shù)量的原有布置方案，則用新布置方案替換原有布置方案(松弛成功);否則，保留原有布置方案(松弛失敗)。

3)如果步驟(2)中產(chǎn)生了松弛過程(即其中的某個解被松弛成功)，返回步驟(2)繼續(xù)執(zhí)行;反之，結(jié)束計算，輸出結(jié)果。

2 算 例

以圖2 所示的懸索橋的加速度傳感器優(yōu)化配置為例，實施傳感器優(yōu)化配置問題的松弛序列法。某懸索橋［10］采用鋼筋混凝土加勁桁架懸索橋體系，索塔中心間距為128 m，高54 m。橋面寬度為10.8 m，長度220 m。利用ANSYS 14.0建立懸索橋的有限元模型。對建立的懸索橋有限元模型進行模態(tài)分析，提取橋面的兩側(cè)214 個節(jié)點的y 軸和z 軸方向(共428 個自由度)的前9 階振型，得到振型矩陣Φ∈R428×9。以Matlab R2010a 為平臺，進行數(shù)值模擬。

圖2 懸索橋的有限元模型Fig 2 Finite element model of suspension bridge

分別采用積累序列法和松弛序列法(本文方法)進行優(yōu)化配置，對比結(jié)果如圖3 所示。從圖3 中曲線可以看出，松弛序列法的布置效果明顯優(yōu)于積累序列法的布置效果。當(dāng)傳感器數(shù)量相同時，松弛序列法和積累序列法的布置結(jié)果對比如表1 所示，松弛序列法的MAC 矩陣最大非對角元素值較小，表明在模態(tài)相似性方面優(yōu)于松弛序列法。當(dāng)目標函數(shù)取值相同時，松弛序列法和積累序列法的布置結(jié)果對比如表2 所示，表明在模態(tài)相似性要求相同時，松弛序列法需要的傳感器個數(shù)較少，有效減小了實驗成本。

圖3 積累序列法與松弛序列法的結(jié)果對比圖Fig 3 Results comparison of two algorithms

表1 傳感器數(shù)量相同時，兩種方法的布置結(jié)果對比Tab 1 Placement results comparison of two algorithms when numbers of sensors are the same

表2 目標函數(shù)取值相同時，兩種方法的布置結(jié)果對比Tab 2 Placement results comparison of two algorithms when target functions are the same

從圖3 中松弛序列法的曲線可以看出，當(dāng)選擇的傳感器只數(shù)為25 時，MAC 矩陣最大非對角元素就已經(jīng)達到很好的優(yōu)化效果，繼續(xù)增加傳感器時曲線下降緩慢。因此，本文最終選擇25 只傳感器，作為懸索橋模態(tài)試驗的最終配置，此時MAC 矩陣最大非對角元素0.028 59。圖4 和圖5分別顯示了積累序列法和松弛序列法得到的MAC 矩陣，其中第2 階模態(tài)和第7 階模態(tài)相似度最高，圖4 和圖5 中分別為0.061 56和0.028 59，可見兩種方法中松弛序列法的優(yōu)化布置方案較好。

圖4 積累序列法布置25 只傳感器的MAC 柱狀圖Fig 4 MAC histogram of 25 sensors placed by accumulation sequential algorithm

圖5 松弛序列法布置25 只傳感器的MAC 柱狀圖Fig 5 MAC histogram of 25 sensors placed by sequential algorithm with relaxation

3 結(jié)束語

本文將松弛思想應(yīng)用于模態(tài)試驗傳感器優(yōu)化布置問題中，松弛序列法在積累序列法的基礎(chǔ)上，使MAC 矩陣的最大非對角元素進一步降低。當(dāng)布置的傳感器數(shù)量相同時，由于布置的傳感器位置不同，與積累序列法相比松弛序列法得到的振型相似性更低，便于模態(tài)試驗者觀察振型;當(dāng)振型相似性的標準一致時，與積累序列法相比松弛序列法需要的傳感器數(shù)量更少，不僅可以節(jié)約模態(tài)試驗的成本，而且能夠減少數(shù)據(jù)采集、數(shù)據(jù)傳輸和數(shù)據(jù)分析的工作量。

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