岳建章，楊冬，王剛，樊旭，李鐵軍

(河北工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津300130)

0 前言

進(jìn)入21世紀(jì)以來，我國城市化進(jìn)程不斷加快，越來越多的高層建筑拔地而起。建筑幕墻作為建筑物的主導(dǎo)性外圍裝飾品，越來越受到人們青睞，大量室外高空幕墻的安裝工程為我國建筑裝飾業(yè)帶來新的發(fā)展契機(jī)。由于我國建筑業(yè)的整體機(jī)械化水平低，目前我國高空幕墻的安裝大多依賴人工，不僅勞動強(qiáng)度大，而且危險(xiǎn)性極高，極易出現(xiàn)高空墜落傷亡等各類安全事故［1-3］。針對上述問題，開展了高空幕墻安裝的智能化施工裝備的相關(guān)技術(shù)研究，旨在研發(fā)出適用于高層建筑幕墻安裝的自動化施工設(shè)備。

本文作者簡要介紹了該幕墻安裝機(jī)器人的結(jié)構(gòu)以及適應(yīng)高空幕墻安裝所采用的高空作業(yè)平臺結(jié)構(gòu)，重點(diǎn)進(jìn)行了運(yùn)動學(xué)分析，建立了運(yùn)動學(xué)方程，求出了運(yùn)動學(xué)正解和逆解，并進(jìn)一步分析了機(jī)器人的工作空間，為幕墻安裝機(jī)器人系統(tǒng)的控制提供了基礎(chǔ)。

1 幕墻安裝機(jī)器人系統(tǒng)簡介

機(jī)器人系統(tǒng)是幕墻安裝系統(tǒng)的重要組成部分，主要完成玻璃幕墻板材的抓取、搬運(yùn)、位姿調(diào)整、以及安裝等任務(wù)。由于工藝的需求，該機(jī)器人具有6個(gè)自由度，每個(gè)關(guān)節(jié)都由伺服電機(jī)加RV減速器驅(qū)動。

機(jī)器人的機(jī)械結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示。

圖1 幕墻安裝機(jī)器人結(jié)構(gòu)簡圖

機(jī)器人末端示意圖如圖2。

圖2 機(jī)器人末端及傳感器安裝示意圖

在幕墻安裝機(jī)器人系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，為了適應(yīng)高層建筑幕墻的安裝需要，將幕墻安裝機(jī)器人系統(tǒng)加入高空作業(yè)平臺，平臺的結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 吊籃式高空作業(yè)平臺

2 幕墻安裝機(jī)器人位姿矩陣的求解

根據(jù)D-H法則，給幕墻安裝機(jī)器人建立必要的坐標(biāo)系，如圖4所示。

圖4 關(guān)節(jié)坐標(biāo)圖

連桿參數(shù)及關(guān)節(jié)變量如表1所示。

表1 連桿參數(shù)及關(guān)節(jié)變量值

由D-H法則的理論知識，可以求出各個(gè)坐標(biāo)系間的變換矩陣An:

將以上6個(gè)變換矩陣乘積得到幕墻安裝機(jī)械手末端的位姿矩陣:

si代表sinθi，ci代表cosθi;sij代表sin(θi+θj)，cij代表cos(θi+θj)，si-j代表sin(θi-θj)，ci-j代表cos (θi-θj);sijk代表sin(θi+θj+θk)，cijk代表cos(θi+θj+θk)。

3 幕墻安裝機(jī)器人運(yùn)動學(xué)逆解

逆向運(yùn)動學(xué)分析在現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中最為常用，它是對機(jī)器人進(jìn)行軌跡控制和路徑規(guī)劃的基礎(chǔ)［4］。在對機(jī)器人進(jìn)行運(yùn)動控制時(shí)，需要根據(jù)末端的目標(biāo)位置和姿態(tài)，求出機(jī)器人各個(gè)關(guān)節(jié)的變量，這就是機(jī)器人運(yùn)動學(xué)逆解。由于機(jī)器人運(yùn)動學(xué)方程是非線性方程組，建立通用的機(jī)器人反解算法非常困難。目前，求解機(jī)器人運(yùn)動學(xué)反解的方法大致可以分為數(shù)值法、幾何法和代數(shù)法［5］。

經(jīng)比較，幕墻安裝機(jī)器人運(yùn)動學(xué)逆運(yùn)算采用Paul反變換求解更為簡單，其求解步驟為:

(1)建立機(jī)器人運(yùn)動學(xué)方程

(2)利用 (A1)-1左乘運(yùn)動學(xué)方程，得

(A1)T=A2A3A4A5A6，求解關(guān)節(jié)變量1;

(3)順次利用逆矩陣左乘機(jī)器人運(yùn)動學(xué)方程，多次運(yùn)用矩陣的加法、乘法和三角代換依次求出各個(gè)關(guān)節(jié)的變量。

如果幕墻安裝機(jī)器人的期望位姿為:

求各個(gè)變換矩陣的逆矩陣得到:

由于關(guān)節(jié)2、3、4相互平行，用 (A1)-1左乘運(yùn)動學(xué)方程、(A6)-1(A5)-1右乘運(yùn)動學(xué)方程得:

于是得到:

取式中第3行第3列元素相等得到

取式中第3行第1列元素相等得到:

進(jìn)而求得:

用 (A1)-1左乘運(yùn)動學(xué)方程、(A6)-1(A5)-1(A4)-1右乘運(yùn)動學(xué)方程得:

取式中第3行第2列元素相等得到:

進(jìn)而求得:

用 (A6)-1(A5)-1(A4)-1右乘運(yùn)動學(xué)方程得:

取式中第1行第1列元素相等得到:

取式中第1行第4列元素相等得到:

綜合以上兩式可求得:

該幕墻安裝機(jī)器人最多可能存在8組解，其中由于關(guān)節(jié)活動范圍的限制，有些解是不符合實(shí)際的。除此之外剩余的解應(yīng)按最短行程的準(zhǔn)則選取最優(yōu)解，即要求每個(gè)關(guān)節(jié)的移動量最小，由于該機(jī)器人屬于串聯(lián)機(jī)器人，因此適宜采用加權(quán)處理，遵循“多移動小關(guān)節(jié)，少移動大關(guān)節(jié)”的原則［6］。

4 幕墻安裝機(jī)器人工作空間分析

對工業(yè)機(jī)器人的工作空間分析很多國內(nèi)外學(xué)者提出了許多研究方法，大體可以概括為以下3種:解析法、圖解法以及數(shù)值法。

解析法是由數(shù)學(xué)推導(dǎo)的方法計(jì)算出機(jī)器人的工作空間，常用的有兩種方法:一是由包絡(luò)理論確定機(jī)器人工作空間;二是圖解法，利用幾何作圖的方法求得機(jī)器人工作空間，這種表示方法比較直觀而且易于理解，但受機(jī)器人自由度的限制。由于目前電子計(jì)算機(jī)編程和計(jì)算能力的迅猛發(fā)展，利用數(shù)值法求解機(jī)器人工作空間顯得極其簡單，蒙特卡洛 (Monte Carlo)方法是較常用的數(shù)值方法之一，首先生成n個(gè)隨機(jī)變量作為關(guān)節(jié)的輸入，然后根據(jù)運(yùn)動學(xué)方程算得機(jī)器人末端位姿［7］。由于Monte Carlo方法是間隔取值，而且得到的末端的點(diǎn)是離散的，因此通過該方法得到的機(jī)器人工作空間與理論工作空間存在誤差。

蒙特卡洛方法的步驟如下:

(1)求解機(jī)器人運(yùn)動學(xué)方程，得到機(jī)器人末端位姿。

(2)機(jī)器人的每個(gè)關(guān)節(jié)變量都有自己的取值范圍，將每個(gè)關(guān)節(jié)的取值范圍均勻的選取n個(gè)隨機(jī)數(shù)。例如，機(jī)器人的第一關(guān)節(jié)θ1，首先在0—1范圍內(nèi)生成n個(gè)隨機(jī)數(shù)，以α1，…，αn表示，然后根據(jù)θ1的取值范圍有機(jī)器人的其他關(guān)節(jié)變量做同樣處理。

(3)將上一步得到的機(jī)器人各關(guān)節(jié)變量的n組數(shù)值代入到第一步求解的運(yùn)動學(xué)方程中去，即可以得到機(jī)器人各關(guān)節(jié)變量和機(jī)器人末端相對于基座坐標(biāo)的一一映射。由機(jī)器人末端執(zhí)行器所達(dá)到的這些隨機(jī)點(diǎn)就構(gòu)成了機(jī)器人工作空間的云圖。

利用LabVIEW的計(jì)算仿真和繪圖能力，據(jù)Monte Carlo求解機(jī)器人工作空間的步驟，首先根據(jù)幕墻安裝機(jī)器人運(yùn)動學(xué)方程，求解運(yùn)動學(xué)正解，得到末端的目標(biāo)位置坐標(biāo)。然后利用LabVIEW中的“隨機(jī)數(shù)VI”和“For循環(huán)”產(chǎn)生n個(gè)大于0小于1的隨機(jī)數(shù)，記作Randk(k=1，2，…，n)，由此每個(gè)運(yùn)動關(guān)節(jié)產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)步長:

進(jìn)而得到每個(gè)關(guān)節(jié)的隨機(jī)值

式中:i代表關(guān)節(jié)，i=1，2，3，4，5，6;Randk代表計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的大于0小于1的隨機(jī)數(shù)，k=1，2，…，n。n代表產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的個(gè)數(shù)，在這里n取100，即幕墻安裝機(jī)器人每個(gè)關(guān)節(jié)隨機(jī)產(chǎn)生100個(gè)位姿。

最后將機(jī)器人的每個(gè)軸所產(chǎn)生的n個(gè)隨機(jī)數(shù)值代入到機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)正解中去，得到機(jī)器人末端的位置向量，并將向量端點(diǎn)顯示在笛卡爾坐標(biāo)系中。

運(yùn)行LabVIEW程序得到幕墻安裝機(jī)器人工作空間三維點(diǎn)圖，如圖5所示。

圖5 幕墻安裝機(jī)器人工作空間

5 結(jié)論

在深入研究6-DOF機(jī)器人運(yùn)動學(xué)的基礎(chǔ)上，根據(jù)D-H法則，對幕墻安裝機(jī)器人建立關(guān)節(jié)坐標(biāo)系，求解幕墻安裝機(jī)器人運(yùn)動學(xué)正解和逆解，為機(jī)器人的運(yùn)動控制奠定了基礎(chǔ)，并進(jìn)一步求解了幕墻安裝機(jī)器人的工作空間，為將來建立機(jī)器人的軌跡規(guī)劃奠定了基礎(chǔ)。

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［6］路甬祥，陳鷹.人機(jī)一體化系統(tǒng)與技術(shù)——21世紀(jì)機(jī)械科學(xué)的重要發(fā)展方向［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，1994，30(5):1-6.

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