宋馬軍，陳健偉，張榮興，朱城偉

(江西理工大學機電工程學院，江西贛州 341000)

0 前言

少自由度并聯(lián)機構(gòu)具有高剛度、高精度、高靈活性、高承載能力等優(yōu)點，一定程度上改善了六自由度并聯(lián)機構(gòu)工作空間小、運動支鏈多、生產(chǎn)成本高等缺點［1-2］。其中，三自由度并聯(lián)機構(gòu)具備了少自由度并聯(lián)機構(gòu)的優(yōu)點且控制相對容易，在各領域中具有廣泛的應用價值和潛力。HUNT［3］于1983年提出的3-RPS并聯(lián)機器人得到了廣泛的應用，黃真等［4］對3-RPS并聯(lián)機器人的位置、運動和受力進行了研究，LI等［5］對3-UPU并聯(lián)機構(gòu)的瞬時運動學性能進行了分析。SimMechanics是Matlab中的機構(gòu)系統(tǒng)模塊集，它可用各種運動副和剛體組合進行機構(gòu)的建模和仿真，為多體動力機械系統(tǒng)及控制系統(tǒng)提供了正向動力學分析、逆向動力學分析、運動學分析、線性化分析等。利用SimMechanics工具進行機構(gòu)建模仿真不需要建立數(shù)學模型和編程，即可實現(xiàn)實時分析和機構(gòu)運動狀態(tài)的模擬顯示。但SimMechanics對復雜模型裝配體的直接建模工作量大和出錯率高，模型中坐標系的設定難度大和數(shù)據(jù)計算繁瑣等缺點?；谀Ｐ娃D(zhuǎn)換接口技術提高了復雜模型的建模仿真的工作效率，降低了建模出錯率，在建模仿真中基本不需要對數(shù)據(jù)的計算。

PID控制因算法比較簡單、控制一般可建立精確數(shù)學模型的系統(tǒng)可靠性高、原理簡單、魯棒性好和能達到理想的控制效果等優(yōu)點，已被廣泛應用于各個領域的工業(yè)生產(chǎn)中［6］。但由于它是一種線性結(jié)構(gòu)的控制，而對于非線性、不確定性系統(tǒng)，如對于并聯(lián)機器人想要實現(xiàn)理想的控制效果較難。模糊控制是以模糊語言變量、模糊邏輯推理及模糊集合為基礎，由論域映射到論域的非線性控制，屬于智能控制算法的一種。它具有被控對象不需要有精確的數(shù)學模型、易于接受、魯棒性和適應性好等優(yōu)點［7］。

本文作者利用螺旋理論對3-UPU并聯(lián)機構(gòu)實現(xiàn)純平動的構(gòu)型進行了分析，該構(gòu)型的特點是同支鏈兩個虎克副中，兩個內(nèi)側(cè)的轉(zhuǎn)動軸心和兩個外側(cè)的轉(zhuǎn)動軸心均相互平行。運用SolidWorks＆SimMechanics模型轉(zhuǎn)換接口技術對3-UPU并聯(lián)機構(gòu)的運動特性仿真，大大地提高了SimMechanics模塊對于復雜實體仿真建模的準確性，避免大量數(shù)據(jù)的計算，提高了操作效率。基于Matlab語言對傳統(tǒng)PID控制系統(tǒng)和模糊PID控制系統(tǒng)的性能及3-UPU并聯(lián)機構(gòu)的控制對比。

1 3-UPU型并聯(lián)機構(gòu)運動特性分析

如圖1所示，3-UPU并聯(lián)機構(gòu)由兩個相似的正三角形平臺和三條相互獨立的支鏈組成，每條支鏈由兩個虎克副和一個移動副所組成。坐標系O-XYZ和坐標系o-xyz分別固結(jié)于定、動平臺中心處。定、動平臺外接圓半徑分別為R=100 mm和r=50 mm。初始位置時，動平臺中心相對于定坐標為zp=。

圖1 3-UPU型并聯(lián)機器人結(jié)構(gòu)示意圖

1．1 螺旋理論

螺旋理論形成于19世紀。1900年R．S．BALL完成經(jīng)典著作《旋量理論》。20世紀前半葉，幾乎無人問津旋量理論。1948年，F(xiàn)．M．DIMENTBERG在分析空間機構(gòu)時，才再次應用了這個理論。此后，旋量理論才逐漸為機構(gòu)學所重視，得以迅速地發(fā)展［8］。

如圖2，螺旋理論中的一個旋量可同時表示空間一組對偶矢量。

圖2 螺旋系幾何示意圖

旋量用對偶矢量表示:

式中:r×s=s0-hs為該旋量軸線位置，h為旋量節(jié)距，具有長度單位。當h=0，(s;s0)=(s;s0)為線矢量;當h=∞，(s;s0)=(0;s)為偶量。

式中:“?！北硎韭菪幕ヒ追e。0節(jié)距的力螺旋描述的是力，無窮大節(jié)距的力螺旋則是力偶。逆螺旋定義的是機構(gòu)的公共約束，借助Mathematic可求得逆螺旋。

1．2 3-UPU型并聯(lián)機器人逆螺旋

因支鏈均為UPU，任取一條支鏈進行分析，如圖3。以虎克副B1外側(cè)軸心為X軸建直角坐標系OXYZ，支鏈與X軸的夾角為α。依據(jù)螺旋理論可得支鏈B1E1的運動螺旋為:

圖3 UPU支鏈運動螺旋

支鏈是由末端受5個螺旋組合而成的螺旋系，并受到一個約束。由于運動螺旋的反螺旋是結(jié)構(gòu)約束，表示物體在三維空間受到的約束，支鏈末端受到的約束和支鏈螺旋系的反螺旋是等價的。利用Mathematica計算可得反螺旋為:

分析可得，支鏈受到一個約束力偶，約束支鏈沿z軸的轉(zhuǎn)動自由度。同理，另外兩條支鏈也各受一個約束力偶，并依據(jù)線矢和旋量在不同幾何空間下的最大線性無關數(shù)表［9］可確定該機構(gòu)受X、Y、Z方向的力偶約束，只能三維平動。

2 3-UPU型并聯(lián)機構(gòu)建模

SimMechanics是Simulink中機構(gòu)系統(tǒng)模塊集，它可對各種運動副連接等剛體進行建模與仿真，實現(xiàn)對機構(gòu)系統(tǒng)進行動態(tài)性能分析與設計目的。借助該工具進行機構(gòu)分析不需要建立復雜的數(shù)學模型和程序的設計即可實現(xiàn)實時分析和機構(gòu)運動狀態(tài)的模擬顯示，它大大地提高機構(gòu)設計和研究人員的工作效率［10-11］。

基于SimMechanics的機構(gòu)建模有兩種方法，分別是直接方法和間接方法。直接方法是利用SimMechanics對機構(gòu)建模，建模過程雖簡單，但仿真前的各模塊參數(shù)設置易于出錯，尤其是涉及到一些剛體的慣性矩等參數(shù)設置，適用于簡單的機構(gòu)。間接方法是借助于實體建模工具及其與SimMechanics的接口技術實現(xiàn)機構(gòu)的聯(lián)合建模仿真，該方法適用于復雜模型。

本文作者利用SimMechanics＆SolidWorks接口技術對3-UPU并聯(lián)機構(gòu)的建模與仿真過程可闡述如下:

(1)運用SolidWorks對并聯(lián)機構(gòu)實體建模，如圖4，并另存為．XML文件;

(2)Matlab中執(zhí)行mech_import命令，通過Import Physical Modeling XML窗口導入．XML文件，在SimMechanics中生成機構(gòu)的可視化結(jié)構(gòu)模型。如圖5—7，對模型添加所需的驅(qū)動及檢測模塊，并另存為．SLX文件。接口技術的好處在于生成的模型中，各構(gòu)件的參數(shù)均已自動設置;

(3)合理地設置初始參考輸入值，如齊次變換矩陣、初始位置等，如圖8所示;

(4)設置Configuration Parameters中的可視化選項并運行，可得如圖9中可視化的仿真實體。

圖4 3-UPU并聯(lián)機構(gòu)實體圖

圖5 XML文件轉(zhuǎn)換器圖

圖6 3-UPU并聯(lián)機構(gòu)轉(zhuǎn)化后機構(gòu)整體圖

圖7 3-UPU并聯(lián)機構(gòu)支鏈模型圖

圖8 理論模型

圖9 3-UPU并聯(lián)機構(gòu)轉(zhuǎn)換后的可視化結(jié)構(gòu)圖

3 控制系統(tǒng)設計

3．1 傳統(tǒng)PID控制

傳統(tǒng)PID控制具有結(jié)構(gòu)簡單、穩(wěn)定性好、可靠性高等優(yōu)點，如圖10所示。

圖10 傳統(tǒng)PID控制圖

PID控制原理，是在理想狀態(tài)下由計算公式所得到的期望值與實際輸出值的差構(gòu)成控制偏差，作為控制器的輸入量，再對其輸入量進行比例運算、積分運算、微分運算，經(jīng)過線性組合合并成控制量輸出，再由控制量對被控對象進行控制。根據(jù)傳統(tǒng)PID控制原理，對3-UPU并聯(lián)機構(gòu)仿真的傳統(tǒng)PID控制系統(tǒng)可設計成如圖7所示，參數(shù)Kp、KI、KD可由試驗緊湊法整定。

3．2 模糊PID控制

由于PID控制中，參數(shù)調(diào)整的不確定性，大大增加了控制過程中的工作量，同時使其控制作用很難達到最佳效果。模糊PID控制原理(如圖11)就是應用模糊理論，通過分析PID控制參數(shù)的作用效果，構(gòu)造隸屬度函數(shù)，建立模糊規(guī)則，運用模糊推理，使PID參數(shù)能夠?qū)崿F(xiàn)實時最佳參數(shù)調(diào)整。

圖11 模糊PID控制系統(tǒng)

模糊推理是依據(jù)輸入輸出量的模糊語言變量及其隸屬函數(shù)，通過由模糊規(guī)則確定的對應關系進行運算，以確定任意值的輸入量對應的輸出量的值，并以此得到詳細的控制查詢表。模糊推理方法有很多種，包括Mamdani極大極小運算法、乘積模糊推理法和由日本學者Tsukamoto提出的適合單調(diào)隸屬函數(shù)的模糊推理方法等。其中，Mamdani極大極小運算法應用廣泛，能滿足運算的復雜程度和得到信息的豐富程度的綜合要求。

3．2．1 變量和模糊規(guī)則的確定

由于模糊PID控制器主要是針對PID的3個參考調(diào)整，使其能夠?qū)崿F(xiàn)參數(shù)自調(diào)整的效果。同時，對于該控制器的輸入，選取控制器的偏差E和偏差變化EC作為輸入量，kp、ki、kd為輸出量?；驹硎前裪f-then規(guī)則定義為乘積空間中的二元模糊關系。對模糊控制的模糊子集可表示如下:

用模糊語言變量表示為(NB，NM，NS，ZO，PS，PM，PB)。

結(jié)合傳統(tǒng)PID參數(shù)的整定，根據(jù)相關領域的專家對PID控制試驗數(shù)據(jù)分析，可得對輸入輸出變量模糊區(qū)域的模糊規(guī)則表。表1中共49條模糊規(guī)則，由第一條語句所確定的控制規(guī)則為u1，同理可得控制量的模糊集合u為:

模糊集合的論域U可采用最大隸屬度原則進行模糊模式的識別歸類，該方法應用于個體的識別，設Ai∈F(U)(i=1，2，…，n)，對u0∈U，若存在i0，使Ai0(u0)=max{ A1(u0)，A2(u0)，…，An(u0)}，則認為u0相對地隸屬于Ai。

表1 模糊規(guī)則表

文中采用工業(yè)控制中廣泛使用去模糊法—加權平均法，可得關于模糊規(guī)則的模糊相似矩陣R=(rij)n×m給出，具體值為rulelist=［1 1 7 1 5 1 1;1 2 7 1 3 1 1;1 3 6 2 1 1 1;1 4 6 2 1 1 1;1 5 5 3 1 1 1;1 6 4 4 2 1 1;1 7 4 4 5 1 1;2 1 7 1 5 1 1;2 2 7 1 3 1 1;2 3 6 2 1 1 1;2 4 5 3 2 1 1;2 5 5 3 2 1 1;2 6 4 4 3 1 1;2 7 3 4 4 1 1;3 1 6 1 4 1 1;3 2 6 2 3 1 1;3 3 6 3 2 1 1;3 4 5 3 2 1 1;3 5 4 4 3 1 1;3 6 3 5 3 1 1;3 7 3 5 4 1 1;4 1 6 2 4 1 1;4 2 6 2 3 1 1;4 3 5 3 3 1 1;4 4 4 4 3 1 1;4 5 3 5 3 1 1;4 6 2 6 3 1 1;4 7 2 6 4 1 1;5 1 5 2 4 1 1;5 2 5 3 4 1 1;5 3 4 4 4 1 1;5 4 3 5 4 1 1;5 5 3 5 4 1 1;5 6 2 6 4 1 1;5 7 2 7 4 1 1;6 1 5 4 7 1 1;6 2 4 4 5 1 1;6 3 3 5 5 1 1;6 4 2 5 5 1 1;6 5 2 6 5 1 1;6 6 2 7 5 1 1;6 7 1 7 7 1 1;7 1 4 4 7 1 1;7 2 4 4 6 1 1;7 3 2 5 6 1 1;7 4 2 6 6 1 1;7 5 2 6 5 1 1;7 6 1 75 1 1;7 7 1 7 7 1 1］;

對程序執(zhí)行命令showrule(‘a(chǎn)’)、ruleview(‘a(chǎn)’)和surfview(‘a(chǎn)’)便可得相應的模糊邏輯工具箱的GUI圖如圖12—14所示。

圖12 模糊規(guī)則編輯器圖

圖13 模糊規(guī)則觀察器圖

圖14 輸出曲面觀察器圖

3．2．2模糊控制器設計

模糊控制器是直接實現(xiàn)模糊推理算法的專用工具?？捎密浖陀布煞N方式完成模糊控制器的功能。當計算量比較小時，可用軟件實現(xiàn)，但對于一些計算量大、實時要求高的控制系統(tǒng)，需要用硬件設備直接實現(xiàn)模糊推理，以達到計算迅速、使用簡便的目的［12］。模糊控制器的設計步驟包括模糊化、構(gòu)建模糊推理規(guī)則、確定權與規(guī)則信度和反模糊化，如圖10中的Fuzzy Logic Controller，設計程序見3．2．1節(jié)。

4 仿真

根據(jù)文中所建立的3-UPU型并聯(lián)機構(gòu)及控制系統(tǒng)模型，采用Matlab語言對傳統(tǒng)PID控制和模糊PID控制進行程序設計并進行控制性能比較，如圖15。PID參數(shù)調(diào)整值為kp=1．3、ki=4．3、kd=0．57，輸入三平動信號為15sin( 5πt)的正弦信號。3-UPU型并聯(lián)機器人動平臺位置跟蹤圖與輸入信號相近，如圖16。

圖15 傳統(tǒng)PID與模糊PID控制響應對比圖

圖16 3-UPU型并聯(lián)機器人模糊PID控制動平臺位置跟蹤

5 結(jié)束語

文中對提出的3-UPU并聯(lián)機構(gòu)運動特性仿真和控制系統(tǒng)進行了分析。首先，利用模型轉(zhuǎn)換接口技術建模仿真;其次，對傳統(tǒng)和模糊PID控制方法建立模型及系統(tǒng)性能分析。結(jié)果對比可得:由于并聯(lián)機構(gòu)具有明顯的非線性，傳統(tǒng)PID控制很難實現(xiàn)預期的控制目標。模糊PID控制較傳統(tǒng)PID控制具有控制精度高、響應更快、性能明顯改善等優(yōu)點。文中還通過XML文件中附帶的STL文件提供了每個剛體的可視化實體動畫模型。同時，3-UPU并聯(lián)機構(gòu)仿真結(jié)果也驗證了1．2節(jié)所得的3個轉(zhuǎn)動均被約束力偶約束，僅實現(xiàn)純平動。該方法提高了復雜且不易在SimMechanics中直接建模的模型的建模效率和準確率。

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