陳麗娟,魯世平

(南京信息工程大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,江蘇南京 210044)

§1 引言

周期問題是常微分方程理論中一類特殊的問題,它與自然界中廣泛存在的周期現(xiàn)象息息相關(guān).生物工程和天體力學(xué)中許多周期現(xiàn)象都可以轉(zhuǎn)化成周期邊值問題來刻畫,因此在常微分方程定性理論的研究中周期性的研究具有重要意義,特別是帶有奇性的微分方程周期解的存在性問題,由于其物理學(xué)上的背景,受到越來越多學(xué)者們的關(guān)注,彈簧振子在水平面內(nèi)的運動微分方程就是其中之一.

彈簧振子是由一端固定在平面上不動的輕質(zhì)彈簧和栓連在其另一端的小球所構(gòu)成,受穩(wěn)定約束的彈簧振子在水平面上的運動是工程學(xué)中一種非常重要的非線性運動,其動力學(xué)模型是理論力學(xué)中不可積系統(tǒng)的典型模型.對于彈簧振子單自由度運動,文[1]對于一維振動問題給出了詳細的介紹,振動方程具有三角函數(shù)形式的解析解,運動規(guī)律和物理圖象也非常清晰.而一般單自由度系統(tǒng)難以描述運動過程中的實際情況,因此需要用兩個坐標(biāo)的雙自由度系統(tǒng)來描述.在彈簧振子雙自由度動力學(xué)問題中,文[2-6]將彈簧振子的運動看作振動與勻速圓周運動相結(jié)合的雙自由度系統(tǒng),文獻[2]在直角坐標(biāo)系下,利用計算機模擬研究了彈簧振子的運動,而文[3]利用攝動法得到振子運動的極坐標(biāo)方程的一個級數(shù)解,但都由于方程形式復(fù)雜,難以得出一般性規(guī)律.

一般彈簧振子雙自由度運動,由于振子的運動方程和速度方程是具有強奇性的非線性方程,難以尋求具體的解析解,討論其運動規(guī)律相當(dāng)困難,目前關(guān)于該模型的動力學(xué)研究并不多見.本文運用重合度理論,首先探討了具有強奇性的彈簧振子徑向的運動微分方程周期正解的存在性,然后通過徑向和橫向運動之間的聯(lián)系,得到彈簧振子橫向運動的周期性.文[7-10]曾利用重合度拓展理論研究了一系列非線性模式的周期解問題.

§2 運動微分方程的建立

一端固定的彈簧振子在光滑水平面上運動,定義徑向為彈簧伸縮的方向,橫向為水平面內(nèi)垂直于徑向的方向.設(shè)彈簧的彈性系數(shù)為k,原長為l0,t時刻彈簧的長度為ρ(t),與初始時刻方向的夾角為θ(t).ρ0表示初始時刻的彈簧長度,拴在彈簧另一端的小球質(zhì)量令為m,在釋放彈簧振子的同時,給小球一個橫向速度,則小球獲得初角速度ω0在光滑平面上運動.

不妨設(shè)小球沿逆時針方向運動,t時刻點P處的極坐標(biāo)為(ρ(t),θ(t)),令徑向的基本單位向量為eρ,橫向的基本單位向量為eθ,則點的徑矢為r(t)=ρ(t)eρ.由于彈簧振子在光滑水平面上運動,沒有重力加速度[11],因而加速度為

又由小球只受徑向力?k(ρ ?l0)eρ作用,從而可得

令ρ=u1,ρ′=u2,θ=u3,θ′=u4,則(1)轉(zhuǎn)化為

由(2)的第2,4兩式可得

又θ′(0)=u4(0)=ω0,從而解得

再將(3)代入(2)的第2式,得

由此可見(4)即為彈簧振子的徑向運動方程,(3)是徑向和橫向之間的運動關(guān)系式.然而由于(4)是具有強奇性的非線性微分方程,求解相當(dāng)困難,因此下面借助于Mawhin重合度理論和數(shù)學(xué)分析的技巧,探討(4)周期正解的存在性.

§3 運動微分方程的周期正解

現(xiàn)考慮(5)的T-周期正解存在性問題.

易見方程(5)可轉(zhuǎn)換成算子方程Lu=Nu.此外根據(jù)算子的定義,不難得出L的核空間和像空間分別為

因此L-是指標(biāo)為零的Fredholm算子.

令投影算子P,Q分別為

根據(jù)積分中值定理,存在ξ ∈[0,π],使

從而引理1中的3)成立.因此由引理1,(5)存在T-周期正解.

§4 模型條件的可行性

1) 對于彈簧振子徑向運動方程的周期解的存在性而言,模型中的系數(shù)a滿足條件2aT2<1,即a <,說明a是比較小的正數(shù).這與文[11]中取剛度小,韌性高的彈簧所作的假設(shè)(k=0.1,m=1,a==0.1)相符合,同時利用MATLAB數(shù)值模擬振子的運動軌跡,通過相圖驗證某一初值對應(yīng)下的彈簧振子的運動軌跡為圓的結(jié)論相符合.

2) 模型中的系數(shù)b和c并不是實質(zhì)性的參數(shù),它們的取值不能決定方程周期正解的存在性,但會影響周期的大小以及精確程度.這與文[2]和[13]借助計算機模擬的質(zhì)點球在相應(yīng)的坐標(biāo)隨時間演化的曲線圖中可以看出,在不同的彈簧初始長度和加速度的情況下,小球在x和y方向的振幅隨時間不停的變化,但整體呈現(xiàn)出周期性的結(jié)論相一致.

§5 結(jié)論

1) 由(5)存在T-周期正解,得到彈簧振子的徑向運動具有周期性的特點,再通過徑向和橫向之間的運動關(guān)系式(3),從而可以得到彈簧振子的橫向運動也具有周期性的規(guī)律,整體呈現(xiàn)出周期性運動的規(guī)律.

2) 方程(5)在一般情況下,無論是求解析解還是用數(shù)值計算的模擬解都比較困難.由于方程具有強奇性,而奇性有助于微分方程周期解的形成.對于強奇性,原點附近的能量趨于無窮大,這樣的特征對運用度理論來估計先驗界相當(dāng)有利.因此,在周期解存在性的證明過程中奇性條件非常重要,這使得具有奇性的微分方程的研究受到更廣泛的關(guān)注.盡管非線性微分方程理論日趨成熟,但是奇性方程由于其復(fù)雜性,仍然具有很大的研究價值.

3) 本文研究的彈簧振子在光滑水平面內(nèi)運動,是彈簧振子運動的一種特殊形式,因為沒有重力加速度,從而降低了非線性程度.如果考慮重力加速度,在水平面內(nèi)運動的彈簧振子,由于重力加速度的存在,非線性程度明顯增強,那么是否也存在周期性的運動規(guī)律? 因此在本文研究的基礎(chǔ)上,還可以探討一般情形下彈簧振子運動的動力學(xué)行為.