白 霞,李 飛

(內(nèi)蒙古大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,內(nèi)蒙古呼和浩特 010021)

§1 引言

近似解在最優(yōu)化理論和應(yīng)用中一直占有重要地位.自1979年文獻(xiàn)[1]中首次提出向量?jī)?yōu)化問題近似解概念以來,各種近似解理論已獲得大量的成果.向量?jī)?yōu)化問題的有效解集通常可能會(huì)包含某些異常類型的解,因此需要提出各種真有效解來強(qiáng)化有效解集.到目前為止已提出很多真有效解概念,常見的真有效解包括Geoffrion真有效解[2],Benson真有效解[3],Borwein真有效解[4],Henig真有效解[5]等等.文獻(xiàn)[6]中引入了改進(jìn)集并利用改進(jìn)集提出了E-有效解的概念.近年來,在向量?jī)?yōu)化中有很多關(guān)于改進(jìn)集的研究,這方面詳細(xì)成果可見文獻(xiàn)[7-12].文獻(xiàn)[13]中利用改進(jìn)集引入了一種新的真有效解,稱之為E-Benson真有效解,它統(tǒng)一了某些真有效解和近似真有效解.文獻(xiàn)[13]中同時(shí)得到了關(guān)于E-Benson真有效解的線性標(biāo)量化的一些刻畫.文獻(xiàn)[14]和文獻(xiàn)[15]分別利用Gerstewitz泛函和基于錐K上的定向距離函數(shù)??K對(duì)E-Benson真效解進(jìn)行非線性標(biāo)量化刻畫.文獻(xiàn)[16]中利用回收錐引進(jìn)了一種新的真有效解,稱之為廣義EBenson真有效解,并利用擇一定理建立廣義E-Benson真有效解的線性標(biāo)量化定理.文獻(xiàn)[17] 中利用Gerstewitz泛函和基于錐K上的定向距離函數(shù)??K等兩類非線性標(biāo)量化函數(shù)及其相應(yīng)非凸分離定理給出廣義E-Benson 真有效解的一些非線性標(biāo)量化性質(zhì).受文獻(xiàn)[14-17]啟發(fā),本文通過基于改進(jìn)集E的Gerstewitz泛函?q,E及定向距離函數(shù)??E分別建立了E-Benson真有效解和廣義E-Benson真有效解的非線性標(biāo)量化結(jié)果.同時(shí)文中還舉例說明了部分結(jié)果.

§2 預(yù)備知識(shí)

其中inf ?=+∞.

當(dāng)Gerstewitz泛函?q,G中G是一般集合時(shí),其主要性質(zhì)包括非線性分離性質(zhì)見文獻(xiàn)[18].在向量?jī)?yōu)化很多應(yīng)用中通常集合G取為閉凸錐K.趙克全等人在文獻(xiàn)[14]中及本文中均將集合G取為改進(jìn)集E.

引理2.1設(shè)E是Y中關(guān)于K的改進(jìn)集且滿足E+(0,∞)q ?intE,q ∈intE,則函數(shù)?q,E是連續(xù)的且滿足

證根據(jù)文獻(xiàn)[18]中定理2.3.1,可得結(jié)論成立.

Zaffaroni在文獻(xiàn)[19]中提出了另一個(gè)非線性標(biāo)量化函數(shù)即定向距離函數(shù).

設(shè)A是賦范線性空間Y中的集合,?A(y):Y ?→R∪{±∞}定義為

其中d?(y)=+∞,dA(y)=‖z ?y‖.

?A函數(shù)的很多良好性質(zhì)可參考文獻(xiàn)[19].本文基于改進(jìn)集E的?E函數(shù)性質(zhì)如下.

引理2.2(見[20]) 設(shè)E是Y中關(guān)于K的改進(jìn)集且非空,則

(1)?E是實(shí)值且是1-Lipschitz的;

(2)clE={y ∈Y:?E(y)≤0},bdE={y ∈Y:?E(y)=0},YE={y ∈Y:?E(y)≥0},intE={y ∈Y:?E(y)<0};

(3)若E是凸的,則?E是凸的;

(4)若E是錐,則?E是正齊次的.

注2.1據(jù)文獻(xiàn)[21]中引理3.3知,若E是Y中關(guān)于K的改進(jìn)集且E ?K,則E是co-radiant集.再由其定理3.1可得,若E是凸的則?E是次可加的.

§3 Gerstewitz泛函?q,E關(guān)于真有效解的非線性標(biāo)量化

考慮數(shù)值優(yōu)化問題

注3.1文獻(xiàn)[8,14]中定義函數(shù)?q,E時(shí)將q取值于錐K中,在證明集合int(E ∩K)?后,分別對(duì)E-有效解與E-Benson真有效解標(biāo)量化刻畫時(shí)取定q ∈int(E ∩K).而本文在定義函數(shù)?q,E時(shí)將q取值于改進(jìn)集E中,對(duì)E-Benson真有效解標(biāo)量化刻畫時(shí)取定q ∈int(EK),故在函數(shù)?q,E中q的取值不再依賴于錐K.

利用Gerstewitz泛函?q,E還可以對(duì)廣義E-Benson真有效解進(jìn)行非線性標(biāo)量化刻畫,得到下面推論3.1和推論3.2.證明過程與定理3.1,定理3.2相似,這里省略.

§4 定向距離函數(shù)??E關(guān)于真有效解的非線性標(biāo)量化

本節(jié)利用基于改進(jìn)集E的非線性標(biāo)量化函數(shù)??E給出向量?jī)?yōu)化問題(VP) 的E-Benson真有效解的非線性標(biāo)量化定理.本文是把?函數(shù)定義在比錐更一般的集合即改進(jìn)集E上而進(jìn)行的非線性標(biāo)量化刻畫,這與文獻(xiàn)[15]將其定義在錐K上不同.本節(jié)中始終假設(shè)Y是賦范線性空間.

考慮數(shù)值優(yōu)化問題

其中y ∈Y.問題(Py)的ε-近似解全體所構(gòu)成集合記為AMin(??E(f(x)?y),ε),嚴(yán)格ε-近似解全體所構(gòu)成集合記為SAMin(??E(f(x)?y),ε).

注4.1文獻(xiàn)[8,15]是把?函數(shù)定義在錐K上,利用函數(shù)??K分別刻畫E-有效解與E-Benson真有效解的非線性標(biāo)量化特征.而本文是把?函數(shù)定義在比錐更一般的集合即改進(jìn)集E上,利用函數(shù)??E對(duì)E-Benson真有效解進(jìn)行的非線性標(biāo)量化刻畫,因此是把?函數(shù)推廣到更一般的集合上而得到的結(jié)果.

利用??E還可以對(duì)廣義E-Benson真有效解進(jìn)行非線性標(biāo)量化刻畫,得到下面推論4.1和推論4.2.證明過程與定理4.1,定理4.2相似,這里省略.