徐 婷,蒲志林

(四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,四川成都 610066)

§1 引言

Cahn-Hilliard方程

是Cahn和Hilliard提出的一類重要的高階非線性反應(yīng)擴(kuò)散方程[1],用于描述二元合金在不穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)的相分離.在過去的幾十年中,國(guó)內(nèi)外眾多的學(xué)者對(duì)這種類型的方程進(jìn)行了廣泛的研究[1-5],如在[5]中,Cholewa和Dlotko研究了方程(1.1)初邊值問題的全局吸引子等.

含有對(duì)流項(xiàng)的如下形式的方程

稱為對(duì)流Cahn-Hilliard方程,其中?·g(u)稱為對(duì)流項(xiàng).它描述了許多的物理現(xiàn)象,例如熱力學(xué)不穩(wěn)定晶面的生長(zhǎng)和在外域上相分離系統(tǒng)中的合金分離等.在描述晶體生長(zhǎng)時(shí)平面和角的形成中,u(x,t)表示界面的斜率,對(duì)流項(xiàng)?·g(u)來源于具有獨(dú)立參數(shù)的動(dòng)能.對(duì)于方程(1.2)的研究很多,如在[6]中Eden和Kalantarov研究了具有周期邊界條件的對(duì)流Cahn-Hilliard方程的緊吸引子的存在性;在[7]中Zhao研究了n維對(duì)流Cahn-Hilliard方程Cauchy問題的全局適定性,它們都是對(duì)流Cahn-Hilliard方程的局部形式.

為了更加準(zhǔn)確地描述一些物理現(xiàn)象以及材料科學(xué)的需要,Bates等人提出并研究了非局部的Cahn-Hilliard方程[8-9]

其中(1.7)稱為Dirichlet邊界條件,(1.8)稱為Neumann邊界條件.本文將考慮非局部的對(duì)流Cahn-Hilliard方程連同Neumann邊界條件解的最大值估計(jì),將借助[10]的方法獲得本文的主要結(jié)果.而本文與參考文獻(xiàn)[10]相比多了非線性對(duì)流項(xiàng),因此如何處理非局部項(xiàng)和對(duì)流項(xiàng)是本文的主要困難.除此之外,該模型的能量泛函難以找到,因而比較原理也就不適用于研究該模型.為了克服這些困難,本文參考[10]中特殊的迭代技巧來得到一些先驗(yàn)估計(jì),從而得到主要結(jié)果.

將方程(1.6)-(1.9)改寫為

§2 主要結(jié)果及其證明