黃長清，崔廣亮

（中南大學 高性能復雜制造國家重點實驗室，湖南 長沙 410083）

0 引言

由于工業(yè)部門生產(chǎn)發(fā)展的需要，對軋件的板形質(zhì)量要求日趨嚴格。隨著板帶控制系統(tǒng)的發(fā)展，板帶的橫向厚度分布控制精度越來越高，相比之下，板形問題變得越來越突出［1］。只用板凸度的指標衡量板的精度已經(jīng)不適應要求，需要同時用板凸度與板形指標進行衡量。

目前國內(nèi)鋁板帶熱軋過程都沒有配置板形儀，板形的缺陷無法直接通過儀器測量。當帶材在軋制中出現(xiàn)板形問題時，必然要引起前張力的不均勻分布。文獻［2］建立了前張力分布、橫向厚差與板形之間的關(guān)系。以前張力分布為橋梁，通過橫向厚度分布可以預測板形好壞。軋后板材的出口斷面形狀被認為是有載輥縫形狀，軋后板材斷面形狀歸結(jié)為求解承載輥縫形狀［3］。通過求軋輥的彈性變形可以得到有載輥縫的形狀，即橫向厚差分布。求解軋輥的彈性變形的方法有有限元法、影響函數(shù)法和初等解析法。有限元法分析精度高但是計算耗時多；初等解析法做了很多簡化和假設(shè)，精度低而且很難求出解析解；影響函數(shù)法計算精度較高，迭代計算速度快，方便進行大量的軋制工況計算和分析［4］，如文獻［5］采用顯式動力學有限元法分析壓下率對軋制壓力橫向分布的影響。但采用影響函數(shù)法系統(tǒng)地分析各種影響因素（如彎輥力、軋輥輥型、輥徑等）及其影響規(guī)律的文獻卻較少。

為了能夠快速計算板材橫向厚度分布，本文采用影響函數(shù)法計算軋輥的有載輥縫形狀，即板材出口厚度分布，并通過前張應力與板材橫向厚度的關(guān)系，找出板形與板才橫向厚度的映射關(guān)系。

1 板厚橫向分布與板形的關(guān)系推導

設(shè)板帶入口任意x處板厚為H（x），長度為L（x）；板帶出口任意x處板厚為h（x），長度為l（x）。根據(jù)板形理論中的金屬體積不變定律，變形區(qū)入口與出口處的金屬流量相等，考慮到軋制的板材較薄（一般認為小于6mm）［6］，金屬的橫向流動可忽略，所以有：

由（1）式變換得：

假設(shè)來料橫向厚度為矩形，則H（x）與x無關(guān)，是一個常數(shù)H，則由（2）式可得：

板形是板帶縱向延伸長度差，表達式為：

根據(jù)文獻［7］的研究，板帶出口前張應力分布與出口板形一一對應，其關(guān)系為：

其中，tf（x）為出口x位置的前張應力；E為軋件的楊氏模量；tf0為出口板寬中心前張應力。

將（3）式代入（5）式得：

由（6）式可以看出，前張應力的分布與板帶出口厚度分布有關(guān)，則板形也與板帶出口橫向厚度分布有關(guān)，所以可以通過分析板帶出口的橫向厚度分布情況，找出板形缺陷與板厚橫向分布的映射關(guān)系。本文根據(jù)影響函數(shù)法求解h（x），通過（6）式的換算，找出板形缺陷與板厚橫向分布的關(guān)系。

2 基于影響函數(shù)法求解出口板厚分布

2.1 影響函數(shù)法的基本原理

影響函數(shù)方法的基本思想是將連續(xù)的整體分割成若干單元，將所有的承受載荷及產(chǎn)生的變形進行相應的單元分割，依據(jù)數(shù)學物理方法中的影響函數(shù)的概念，確定對各單元施加單位力時在輥身各點引起的變形；然后將所有載荷引起的變形進行疊加，得出各單元的變形值；最后通過軋輥受力彈性變形、輥間接觸壓扁及工作輥與軋件的變形協(xié)調(diào)方程進行迭代計算，求出軋件的出口橫向厚度分布。

在一般的對稱軋制中，軋輥所承受的載荷及其變形是左右對稱的，大多數(shù)情況下為了計算簡單，都是以半輥身長為研究對象，對于非對稱的軋制過程，可以考慮輥身全長，但基本方法是一樣的。本文以對稱軋制進行分析，取軋機的下工作輥與下支承輥為研究對象，將半輥身簡化成懸臂梁，軋輥中心端固定，輥間部分為自由端，軋輥單元分割模型如圖1所示。將軋件從板寬中點到邊部劃分為m個單元，軋輥中心到軋輥軸肩劃分為n個單元，各單元的序號分別為i（i＝1，2，3，…，m）和j（j＝1，2，3，…，n）。

圖1 軋輥單元分割模型

設(shè)單元長度為Δx，則軋件與軋輥各單元中點到固定端的距離分別為xi＝（i－1/2）Δx（i＝1，2，3，…，n）和xj＝（j－1/2）Δx（j＝1，2，3，…，m），按上述方法將工作輥與支承輥的作用力和變形進行離散化，并用集中載荷代表各單元的分布載荷，則有：

其中，P、Q分別為軋制壓力向量和輥間壓力向量；Yw、Yb分別為工作輥和支承輥的撓度向量。

根據(jù)影響函數(shù)的概念［8］，在j單元作用單位力p（j）時，在i單元引起的變形為y（i，j）＝g（i，j）p（j），其中，g（i，j）為j單元上p（j）對i單元變形的影響函數(shù)。

2.2 影響函數(shù)的確定

（1）工作輥彈性彎曲影響函數(shù)。其表達式如下：

其中，Ew、Iw、Aw和νw分別為工作輥的彈性模量、慣性矩、橫截面積和泊松比。

（2）支承輥彈性彎曲影響函數(shù)。其表達式為：

其中，Eb、Ib、Ab和νb分別為支承輥的彈性模量、慣性矩、橫截面積和泊松比；Lp為作用在支承輥的2個軸承座之間的距離。

（3）工作輥與軋件接觸的彈性壓扁影響函數(shù)［8］。其表達式為：

其中，

其中，A＝Xi＋Δx/2，Xi為j點到i點的距離，Xi＝xi＋xj或者Xi＝xi－xj；B＝Xi－Δx/2；ld為接觸弧長度，i單元接觸弧長度按Hitchcock公式確定為：

其中，Δh（i）＝H（i）－h(huán)（i）為j單元軋件的絕對壓下量，H（i）和h（i）分別為單元入口和出口的厚度；Rw為工作輥半徑。

（4）輥間彈性壓扁影響函數(shù)。其表達式為：

其中，bwb為i單元輥間接觸區(qū)寬度的1/2。

2.3 影響函數(shù)基本方程

用影響函數(shù)法計算軋機的彈性變形，共需要建立7個方程，其中4個力－變形關(guān)系方程、1個力平衡方程和2個變形協(xié)調(diào)方程［9］。

（1）力－變形關(guān)系方程。工作輥彈性彎曲方程為：

《春秋公羊傳》雖成書于漢景帝之時，但早期公羊?qū)W自孔子作《春秋》之時便已存在，并經(jīng)過孔子口授傳至后代。[6]在戰(zhàn)國，得圣人之初心的子夏對《春秋》的詮釋就已經(jīng)受學者推崇，《韓非子》中就多見引述。

其中，Gw、Fw、GF分別為工作輥的彎曲影響函數(shù)矩陣、彎輥力及其彎曲影響函數(shù)矩陣，Gw＝［gw（i，j）］n×n。

支承輥彈性彎曲方程為：

其中，Gb分別為支承輥彎曲影響函數(shù)矩陣，Gb＝［gb（i，j）］n×n。

軋制壓力引起的工作輥彈性壓扁方程為：

其中，Yws、Gws分別為工作輥與軋件接觸位置的單側(cè)壓扁量及壓扁影響函數(shù)，Gws＝［gws（i，j）］m×m。

輥間彈性壓扁方程為：

其中，Ywb、Gwb分別為工作輥與支承輥接觸位置的單側(cè)壓扁量及壓扁影響函數(shù)，Gwb＝［gwb（i，j）］n×n。

（2）力平衡關(guān)系方程。其表達式為：

（3）變形協(xié)調(diào)關(guān)系方程。工作輥與支承輥之間的變形協(xié)調(diào)關(guān)系方程為：

其中，Ywb0為中點處輥間壓扁常量向量；Mw、Mb分別為工作輥、支承輥的凸度向量。

軋件與工作輥之間的變形協(xié)調(diào)方程為：

其中，Yws0為軋件與軋輥接觸面輥面中心處的壓扁常量向量；H、H0分別為軋后軋件厚度向量、板中心處厚度常量向量。

根據(jù)上述的基本方程編寫迭代程序，程序框圖如圖2所示。其中ε1、ε2和ε3分別為輥間壓力誤差、工作輥靜力平衡誤差和軋件厚度誤差收斂參數(shù)。

圖2 輥系彈性變形計算框圖

3 計算結(jié)果與討論

為了驗證影響函數(shù)法迭代計算的正確性，將某廠實測生產(chǎn)數(shù)據(jù)中的軋制壓力與計算值進行比較，結(jié)果見表1所列。通過比較可以看出，影響函數(shù)法的迭代計算結(jié)果與實測值吻合較好，間接說明基于影響函數(shù)法迭代計算的橫向厚度分布也較為準確。

表1 計算值與實測值對比表

當彎輥力為16kN時，用影響函數(shù)法計算的板厚橫向分布如圖3所示，板厚橫向分布與前張應力關(guān)系的對應曲線如圖4所示。

圖3 基于影響函數(shù)法計算的板厚分布

圖4 前張應力分布與板厚分布對應關(guān)系

由圖3可以看出，板寬中心處的厚度與邊部厚度有明顯的落差，這是由于軋輥受到彎輥力的作用，產(chǎn)生了彈性變形，軋輥輥頸處受到了較大的彎輥力作用，所以邊部比中心處的厚度要大得多；由圖4可以看出，前張力分布不均，邊部受到的張力較小，產(chǎn)生的縱向變形量小于中心處縱向變形量，此時產(chǎn)生的板形缺陷為中浪，根據(jù)板寬橫向分布的情況，可以推斷板形產(chǎn)生了浪形缺陷。

4 實測板厚橫向分布與板形的映射

為了說明通過橫向厚度分布形式可以得出板形缺陷與板厚分布的映射關(guān)系，本文以某鋁業(yè)公司現(xiàn)場采集到的實測板厚分布數(shù)據(jù)和實際的板形缺陷來驗證以上理論的正確性。板厚橫向分布測量點用六次函數(shù)擬合，擬合的曲線如圖5所示。

圖5 實測厚度分布與擬合函數(shù)曲線

實測板厚分布對應的前張應力如圖6所示。

圖6 實測板厚對應的前張應力曲線

根據(jù)前面所述理論，通過板厚橫向分布的形式可以推測出此時的板形缺陷為中浪，實際測量板形的缺陷也為中浪，說明上述理論與實際情況吻合。

5 結(jié)論

（1）本文用影響函數(shù)法對輥系彈性變形進行計算和分析，收斂速度快，能滿足快速計算的要求。

（2）根據(jù)前張應力與出口板形一一對應的關(guān)系，可以將板形用板厚橫向厚度分布的特征進行映射。

（3）由于軋制生產(chǎn)線上缺少板形檢測系統(tǒng)，只能測量橫向斷面多點厚度分布來表征板凸度，不能直接反映板形；本文可以根據(jù)板形與板橫向厚度分布的映射特征，通過測量橫向厚度分布值，為板形預測和控制提供理論依據(jù)。

［1］張志強.四輥冷軋機板帶板形建模與分析［D］.太原：太原科技大學，2012.

［2］胡國棟，孫登月，許石民，等.冷軋帶材前張應力分布、橫向厚差與板形關(guān)系［J］.鋼鐵，1998，33（12）：62－64.

［3］陳連生.金屬模型與變形模型耦合計算熱軋板凸度［J］.河北理工學院學報，2002，24（2）：17－24.

［4］駱 拓，鄧 華，趙世慶，等.基于影響函數(shù)法的軋制壓力橫向分布規(guī)律分析［J］.機械強度，2010，32（1）：165－170.

［5］Jiang Z Y，Zhu HT，Tieu A K.Effect of rolling parameters on cold rolling of thin strip during work roll edge contact［J］.Journal of Materials Processing Technology，2003，140（38）：535－541.

［6］孫一康.帶鋼熱連軋的模型與控制［M］.北京：冶金工業(yè)出版社，2002：216.

［7］日本鋼鐵協(xié)會.板帶軋制理論與實踐［M］.王國棟，吳國良，譯.北京：中國鐵道出版社，1990：458.

［8］王國棟.板形控制和板形理論［M］.北京：冶金工業(yè)出版社，1986：293－294.

［9］駱 拓，鄧 華，李鳳軼，等.板寬對軋輥受力分布的影響規(guī)律［J］.機械設(shè)計與制造，2008（12）：200－202.