張　晨,　彭　婷,　劉宇佳

(合肥工業(yè)大學(xué) 管理學(xué)院,安徽 合肥　230009)

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基于GARCH-分形布朗運(yùn)動(dòng)模型的碳期權(quán)定價(jià)研究

張晨,彭婷,劉宇佳

(合肥工業(yè)大學(xué) 管理學(xué)院,安徽 合肥230009)

摘要:文章將廣義自回歸條件異方差(generalized autoregressive conditional heteroskedasticity,GARCH)模型和分形布朗運(yùn)動(dòng)結(jié)合引入碳金融期權(quán)定價(jià)研究中。通過(guò)對(duì)歐洲碳排放配額(European Union Allowance,EUA)期貨收盤(pán)價(jià)的樣本數(shù)據(jù)檢驗(yàn),發(fā)現(xiàn)其存在尖峰厚尾、條件異方差性和分形特征;采用GARCH模型擬合并預(yù)測(cè)碳價(jià)收益率波動(dòng)率;將預(yù)測(cè)的波動(dòng)率作為輸入值代入分形布朗運(yùn)動(dòng)期權(quán)定價(jià)方法,運(yùn)用蒙特卡羅模擬對(duì)EUA期貨期權(quán)進(jìn)行定價(jià),并與B-S期權(quán)定價(jià)法(Black-Scholes Option Pricing Model)比較。結(jié)果表明,基于GARCH分形布朗運(yùn)動(dòng)模型的碳期權(quán)定價(jià)法預(yù)測(cè)精度有顯著提高。

關(guān)鍵詞:碳期權(quán)定價(jià);廣義自回歸條件異方差模型;分形布朗運(yùn)動(dòng);B-S期權(quán)定價(jià)

近年來(lái)碳排放權(quán)的交易受到越來(lái)越多的關(guān)注,也成為理論界研究的重點(diǎn)。2005年正式生效的《京都議定書(shū)》確立了聯(lián)合減排(joint implementation,JI)、國(guó)際排放權(quán)交易(international emissions trading,IET)和清潔發(fā)展(Clean Development Mechanism,CDM)3種國(guó)際碳減排機(jī)制[1]。碳排放權(quán)市場(chǎng)化最核心的問(wèn)題是要解決碳金融資產(chǎn)定價(jià)。國(guó)際碳排放交易體系經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的發(fā)展,已經(jīng)形成了較為成熟的現(xiàn)貨價(jià)格形成機(jī)制,但目前缺乏對(duì)碳衍生品價(jià)格形成機(jī)制的研究,尤其是碳期權(quán)定價(jià)方面的研究,而碳期權(quán)作為碳排放市場(chǎng)中的一種重要交易產(chǎn)品,在提高碳排放市場(chǎng)的價(jià)格發(fā)現(xiàn)功能和規(guī)避碳排放市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)等方面具有重要作用。因此,研究碳期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題,通過(guò)了解其價(jià)格特征,掌握其內(nèi)在規(guī)律,有助于投資者做出較為合理的碳期權(quán)套期保值決策,以便降低碳交易風(fēng)險(xiǎn)。

我國(guó)為全世界核證減排量一級(jí)市場(chǎng)上最大供應(yīng)國(guó)。盡管我國(guó)已在北京、上海、天津、重慶、湖北、廣東和深圳等7省市建立了區(qū)域性碳排放交易所,但目前仍處于起步階段,且交易產(chǎn)品主要以現(xiàn)貨交易為主,碳期權(quán)交易平臺(tái)有待開(kāi)通。由于基礎(chǔ)數(shù)據(jù)的缺乏,目前我國(guó)對(duì)實(shí)現(xiàn)碳期權(quán)科學(xué)合理定價(jià)的研究較少。本文探討國(guó)際碳排放交易體系中碳期權(quán)的定價(jià)方法,為我國(guó)未來(lái)碳期權(quán)交易的科學(xué)定價(jià)提供借鑒。

1國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀

1.1　傳統(tǒng)金融期權(quán)定價(jià)的研究

金融期權(quán)定價(jià)的重點(diǎn)在于對(duì)原生資產(chǎn)價(jià)格變化的準(zhǔn)確刻畫(huà)。1970年以來(lái)產(chǎn)生了Black-Scholes(B-S)期權(quán)定價(jià)法、Hull-White期權(quán)定價(jià)法、二叉樹(shù)期權(quán)定價(jià)法、分形布朗運(yùn)動(dòng)期權(quán)定價(jià)法等期權(quán)定價(jià)方法,其中B-S期權(quán)定價(jià)法和分形布朗運(yùn)動(dòng)期權(quán)定價(jià)法是學(xué)術(shù)界比較常用且易于操作的方法。

B-S期權(quán)定價(jià)法是在文獻(xiàn)[2]提出的期權(quán)定價(jià)模型基礎(chǔ)上,假定標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格相互獨(dú)立且服從幾何布朗運(yùn)動(dòng),以及標(biāo)的資產(chǎn)收益率獨(dú)立同分布且服從正態(tài)分布下提出來(lái)的[3]。但近年來(lái),學(xué)者們對(duì)資本市場(chǎng)的大量研究表明金融資產(chǎn)價(jià)格并非遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng),即金融資產(chǎn)的收益率并非服從正態(tài)分布,而是服從一種尖峰厚尾的分布;且金融資產(chǎn)價(jià)格之間也不是獨(dú)立的,而是存在著長(zhǎng)期相關(guān)性[4-7]。因此,B-S期權(quán)定價(jià)法在現(xiàn)實(shí)運(yùn)用中存在一定的局限性。

而分形布朗運(yùn)動(dòng)期權(quán)定價(jià)法是文獻(xiàn)[8]在文獻(xiàn)[9]提出分形布朗運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)上,首次將其應(yīng)用于金融期權(quán)定價(jià)而產(chǎn)生的。分形布朗運(yùn)動(dòng)與幾何布朗運(yùn)動(dòng)最主要的區(qū)別是分形布朗運(yùn)動(dòng)中的增量是不獨(dú)立的,而幾何布朗運(yùn)動(dòng)中的增量是獨(dú)立的。由于分形布朗運(yùn)動(dòng)期權(quán)定價(jià)法能夠很好地刻畫(huà)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的自相似性、厚尾性、長(zhǎng)記憶性,且不要求標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格相互獨(dú)立、服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)以及標(biāo)的資產(chǎn)收益率服從正態(tài)分布,因而更符合金融期權(quán)價(jià)格的實(shí)際特征。隨后很多研究者在假定股價(jià)波動(dòng)率為常量的情況下,運(yùn)用分形布朗運(yùn)動(dòng)期權(quán)定價(jià)法研究股票期權(quán)市場(chǎng)的定價(jià)問(wèn)題,驗(yàn)證了分形布朗運(yùn)動(dòng)期權(quán)定價(jià)法優(yōu)于B-S等期權(quán)定價(jià)法[10-13]。

1.2　碳期權(quán)定價(jià)的研究

碳期權(quán)作為一種新型的金融期權(quán)產(chǎn)品,具有不同于傳統(tǒng)金融期權(quán)的風(fēng)險(xiǎn)和市場(chǎng)特征。在碳期權(quán)定價(jià)時(shí)考慮碳市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)和市場(chǎng)特征,更能準(zhǔn)確反映碳期權(quán)的真實(shí)價(jià)值。

有關(guān)碳期權(quán)定價(jià)的研究,除了文獻(xiàn)[14] 建立隨機(jī)游走模型對(duì)歐盟排放交易體系下Powernext和Nord Pool 2個(gè)排放交易市場(chǎng)的現(xiàn)貨、期貨和期權(quán)進(jìn)行定價(jià)外,其他研究者幾乎都選用B-S期權(quán)定價(jià)法對(duì)碳期權(quán)進(jìn)行模擬定價(jià),且定價(jià)時(shí)選用歷史波動(dòng)率作為B-S期權(quán)定價(jià)法的輸入變量[15]。

有關(guān)碳金融資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)率刻畫(huà)的研究,國(guó)內(nèi)外主要圍繞歐盟之間交易的碳金融產(chǎn)品。文獻(xiàn)[16-18]的研究發(fā)現(xiàn):不論是二氧化碳排放交易市場(chǎng)還是二氧化硫排放交易市場(chǎng),不論是歐洲的國(guó)家還是美國(guó),碳金融資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)率不是恒定的常量,而是具有鞅屬性和時(shí)間-價(jià)格依賴性的波動(dòng)結(jié)構(gòu),即波動(dòng)率具有時(shí)變性。文獻(xiàn)[19]發(fā)現(xiàn)碳價(jià)是一個(gè)有偏的隨機(jī)游走分布,即對(duì)數(shù)收益率拒絕服從正態(tài)分布,且碳價(jià)具有尖峰厚尾以及長(zhǎng)記憶性的特征。研究者在刻畫(huà)碳資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)率時(shí),都贊同采用廣義自回歸條件異方差(generalized autoregressive conditional heteroskedasticity,GARCH)模型來(lái)刻畫(huà)時(shí)變波動(dòng)率,但具體選用何種GARCH模型需要根據(jù)研究對(duì)象的特征而確定[20-21]。

由于碳市場(chǎng)波動(dòng)率表現(xiàn)出的時(shí)變性與歷史波動(dòng)率并不相符,且碳價(jià)收益率也不服從正態(tài)分布,因此,在定價(jià)時(shí)考慮碳價(jià)的分形特征和碳價(jià)波動(dòng)率的時(shí)變特征更符合碳市場(chǎng)的真實(shí)情況。為提高碳期權(quán)定價(jià)的精確度,本文將GARCH和分形布朗運(yùn)動(dòng)結(jié)合引入碳期權(quán)定價(jià)研究,建立基于GARCH-分形布朗運(yùn)動(dòng)模型的碳期權(quán)定價(jià)方法新思路:首先采用GARCH預(yù)測(cè)碳資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率,將預(yù)測(cè)的波動(dòng)率作為輸入值代入分形布朗運(yùn)動(dòng),預(yù)測(cè)碳資產(chǎn)價(jià)格序列;然后運(yùn)用風(fēng)險(xiǎn)中性條件下的期權(quán)定價(jià)法對(duì)碳期權(quán)進(jìn)行蒙特卡羅模擬定價(jià),并將模擬結(jié)果與B-S期權(quán)定價(jià)結(jié)果進(jìn)行比較,檢驗(yàn)本文的碳期權(quán)定價(jià)方法的有效性。

2研究設(shè)計(jì)

2.1　碳價(jià)收益率波動(dòng)率的預(yù)測(cè)方法

GARCH模型是由Bollerslev在自回歸條件異方差(autoregressive conditional heteroskedasticity,ARCH)模型的基礎(chǔ)上改進(jìn)得到的[22],自產(chǎn)生至今在金融領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用。 如果隨機(jī)變量yt可以表示為(1)式，則稱ut服從q階ARCH過(guò)程。

yt=α0+α1xt-1+α2xt-2+…+αmxt-m+ut

(1)

(2)

在(2)式條件方差中加入殘差平方的滯后項(xiàng)即構(gòu)成GARCH模型,如(3)式所示:

(3)

β0>0;β1,…,βq≥0;x1,…,xp≥0;

實(shí)證研究表明GARCH 模型能夠較好地描述碳金融資產(chǎn)收益波動(dòng)率的異方差現(xiàn)象和波動(dòng)聚集現(xiàn)象[20-21]。本文利用GARCH模型對(duì)碳金融資產(chǎn)收益波動(dòng)率進(jìn)行預(yù)測(cè),預(yù)測(cè)結(jié)果作為分形布朗運(yùn)動(dòng)模型輸入值,可對(duì)碳期權(quán)進(jìn)行定價(jià)。

2.2　碳金融資產(chǎn)分形布朗運(yùn)動(dòng)期權(quán)定價(jià)方法

由于碳資產(chǎn)價(jià)格收益序列存在尖峰厚尾、自相關(guān)性等特征[19],因此,本文使用文獻(xiàn)[8]提出的分形布朗運(yùn)動(dòng)期權(quán)定價(jià)法中的資產(chǎn)價(jià)格變動(dòng)過(guò)程來(lái)刻畫(huà)碳資產(chǎn)價(jià)格隨機(jī)序列:

dS(t)=μ(t)S(t)dt+σ(t)S(t)dBH(t)

(4)

其中,S(t)為碳資產(chǎn)價(jià)格隨機(jī)序列,0≤t≤T;μ(t)為碳資產(chǎn)期望收益率;σ(t)為碳資產(chǎn)收益率年化瞬時(shí)波動(dòng)率;BH(t)為具有H指數(shù)的分形布朗運(yùn)動(dòng),其中0 0.5時(shí),BH(t)具有長(zhǎng)期依賴性,過(guò)去的增量與現(xiàn)在的增量呈正相關(guān);當(dāng)0

分形布朗運(yùn)動(dòng)的模擬主要有精確方法和逼近方法,精確方法是通過(guò)一系列的數(shù)學(xué)推導(dǎo),求導(dǎo)出分形布朗運(yùn)動(dòng)的具體表達(dá)式,主要有Hosking方法、Cholesky方法、Davies和Harte方法;而逼近方法不要求直接求解分形布朗運(yùn)動(dòng)的具體表達(dá)式,而是采用無(wú)限分割逐漸接近的方法求解分形布朗運(yùn)動(dòng)的增量,主要有隨機(jī)中點(diǎn)位移法和譜分析方法等[23]。結(jié)合本文(4)式刻畫(huà)碳資產(chǎn)價(jià)格變動(dòng)過(guò)程涉及分形布朗運(yùn)動(dòng)增量的描述,本文采用隨機(jī)中點(diǎn)位移法中由文獻(xiàn)[24]提出的擴(kuò)展Maruyama法模擬分形布朗運(yùn)動(dòng)增量,公式為:

dBH(t)=ω(t)(dt)H

(5)

其中,0

分形布朗運(yùn)動(dòng)期權(quán)定價(jià)方法是基于分形布朗運(yùn)動(dòng)刻畫(huà)碳資產(chǎn)價(jià)格隨機(jī)序列,采用風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)進(jìn)行期權(quán)定價(jià)的一種方法。本文采用文獻(xiàn)[25]在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率折現(xiàn)期望收益得到的歐式看漲期權(quán)理論價(jià)值,具體公式如下:

C(t)=e-r(T-t)E[max(ST-X),0]

(6)

其中,隨機(jī)變量ST為碳價(jià)到期日現(xiàn)貨價(jià)格;r為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率;T-t為期權(quán)剩余有效期限;X為碳期權(quán)合約的執(zhí)行價(jià)格。

2.3　GARCH模型分形布朗運(yùn)動(dòng)碳期權(quán)定價(jià)

本文在選取碳期權(quán)標(biāo)的碳價(jià)樣本的基礎(chǔ)上,計(jì)算出標(biāo)的碳價(jià)日收益率序列;在對(duì)碳價(jià)日收益率序列進(jìn)行描述性統(tǒng)計(jì)、平穩(wěn)性檢驗(yàn)、自相關(guān)和偏自相關(guān)檢驗(yàn)、ARCH檢驗(yàn)以及Hurst檢驗(yàn)之后,結(jié)合碳價(jià)日收益率序列的特征構(gòu)建GARCH模型,并估計(jì)GARCH模型的參數(shù),運(yùn)用GARCH模型對(duì)標(biāo)的碳價(jià)日收益率波動(dòng)率進(jìn)行預(yù)測(cè);最后將GARCH模型預(yù)測(cè)的波動(dòng)率作為分形布朗運(yùn)動(dòng)期權(quán)定價(jià)方法中的輸入值,從而實(shí)現(xiàn)對(duì)碳期權(quán)的定價(jià)。

為更好地衡量基于GARCH分形布朗運(yùn)動(dòng)模型的碳期權(quán)定價(jià)方法的效果,本文同時(shí)計(jì)算了基于歷史波動(dòng)率的B-S碳期權(quán)定價(jià)方法的定價(jià)結(jié)果,并將2種碳期權(quán)定價(jià)結(jié)果分別與實(shí)際碳期權(quán)交易價(jià)格收盤(pán)價(jià)比較,進(jìn)而驗(yàn)證本文提出的碳期權(quán)定價(jià)方法的有效性。

3實(shí)證分析

3.1　樣本選取及預(yù)處理

考慮數(shù)據(jù)的可獲得性和完整性,本文選取洲際交易所(https://www.theice.com)2013-04-09—2014-04-17期間的2014年12月到期的EUA期貨每日收盤(pán)價(jià)為樣本內(nèi)研究對(duì)象,同時(shí)剔除在此期間無(wú)成交量導(dǎo)致收盤(pán)價(jià)為零的交易日數(shù)據(jù),為使檢驗(yàn)效果更好,本文選取的碳價(jià)對(duì)數(shù)收益率為R=100(lnPt-lnPt-1),總計(jì)獲得有效數(shù)據(jù)為264個(gè)。本文以該期間的交易數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)樣本檢驗(yàn),估計(jì)出GARCH模型參數(shù)和預(yù)測(cè)未來(lái)10 d的日波動(dòng)率,同時(shí)以此期間的碳價(jià)收益率序列計(jì)算碳價(jià)收益率的日歷史波動(dòng)率。

為驗(yàn)證碳期權(quán)定價(jià)方法的合理性,本文選取倫敦洲際交易所中以2014年12月到期的EUA期貨為標(biāo)的、2014-04-18—2014-05-01期間的EUA期貨期權(quán)每日交易收盤(pán)價(jià)為驗(yàn)證對(duì)象。

3.2　碳價(jià)收益率特征檢驗(yàn)

碳價(jià)收益率序列描述性統(tǒng)計(jì)見(jiàn)表1所列,碳價(jià)收益率序列的峰度值為22.037 27,顯著大于正態(tài)分布的峰度值3;偏度值為-2.355 335,顯著異于正態(tài)分布的偏度值0;該序列的Jarque-Bera統(tǒng)計(jì)量為4 230.688,P值顯著接近于0。這說(shuō)明碳價(jià)收益率序列存在“尖峰厚尾”現(xiàn)象,顯著不服從正態(tài)分布。

表1　碳價(jià)收益率序列描述性統(tǒng)計(jì)

對(duì)碳價(jià)收益率做平穩(wěn)性檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn),碳價(jià)收益率序列的ADF平穩(wěn)性檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量值為-14.577 62,小于在1%顯著性水平下的臨界值-3.455 193,同時(shí)分別小于在顯著性水平5%和10%下的臨界值-2.872 370和-2.572 615,可得出碳價(jià)收益率序列為平穩(wěn)時(shí)間序列。

在平穩(wěn)性檢驗(yàn)的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步檢驗(yàn)碳價(jià)收益率的自相關(guān)性和偏自相關(guān)性。分別計(jì)算碳價(jià)收益率時(shí)間序列殘差和殘差平方的36階滯后項(xiàng)相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù),發(fā)現(xiàn)其均存在自相關(guān)和偏自相關(guān),并結(jié)合AIC(Akaike information criterion)最小原則,AR(2)具有最優(yōu)的擬合結(jié)果。

為進(jìn)一步檢驗(yàn)碳價(jià)收益率序列是否存在ARCH效應(yīng),本文對(duì)用AR(2)擬合后的殘差序列進(jìn)行ARCH-LM檢驗(yàn),結(jié)果表明P值均為0,拒絕序列不存在ARCH效應(yīng)的原假設(shè);殘差序列的ARCH效應(yīng)很明顯,即AR(2)模型的殘差存在自回歸條件異方差。

為驗(yàn)證碳價(jià)收益率是否存在分形特征,本文采用R/S類方法計(jì)算的Hurst指數(shù)來(lái)判斷。本文計(jì)算出2013-04-09—2014-04-17期間碳價(jià)收益率的Hurst指數(shù)值為0.676 5,該值大于0.5,說(shuō)明碳價(jià)收益率具有長(zhǎng)記憶性,即存在分形特征。

3.3　GARCH模型的參數(shù)估計(jì)和驗(yàn)證

鑒于上述樣本數(shù)據(jù)檢驗(yàn)中碳價(jià)收益率是平穩(wěn)序列以及存在ARCH效應(yīng)的檢驗(yàn)結(jié)果,碳價(jià)收益率時(shí)間序列符合GARCH模型的構(gòu)建條件。本文建立AR(2)-GARCH(1,1)-N模型來(lái)刻畫(huà)碳價(jià)收益率的波動(dòng)率,模型參數(shù)估計(jì)具體公式如下:

rt=0.253 036+0.168 054rt-1-

0.184 222rt-2+εt

(7)

(8)

參數(shù)估計(jì)模型中,β0=0.963 283>0,β1=0.746 207>0,χ1=0.140 120>0,且滿足GARCH模型構(gòu)建的約束條件,即

β1+χ1=0.746 207+0.140 120=

0.886 327<1。

對(duì)通過(guò)AR(2)-GARCH(1,1)-N模型模擬后的殘差和殘差平方進(jìn)行自相關(guān)和偏自相關(guān)檢驗(yàn),發(fā)現(xiàn)其已經(jīng)不存在自相關(guān)和偏自相關(guān)。本文同時(shí)對(duì)模擬后的殘差進(jìn)行ARCH檢驗(yàn),發(fā)現(xiàn)用AR(2)-GARCH(1,1)-N模擬后的殘差序列的ARCH檢驗(yàn)結(jié)果中P值為17.10%,說(shuō)明模擬后的殘差序列不存在ARCH效應(yīng)。

綜上所述,經(jīng)過(guò)GARCH(1,1)-N模型的處理,碳價(jià)收益率序列的各種信息得到了很好的描述。因此,本文構(gòu)建的GARCH模型對(duì)碳價(jià)收益率波動(dòng)率的刻畫(huà)是合理的。

3.4　碳價(jià)收益率波動(dòng)率的預(yù)測(cè)

本文根據(jù)已估計(jì)的AR(2)-GARCH(1,1)-N模型,以2014-04-17為基準(zhǔn)日,向前預(yù)測(cè)R的未來(lái)10 d碳價(jià)收益率日波動(dòng)率,隨后計(jì)算R/100的未來(lái)10 d日波動(dòng)率,具體的計(jì)算數(shù)據(jù)見(jiàn)表2所列。由于分形布朗運(yùn)動(dòng)價(jià)格變動(dòng)過(guò)程公式中所采用的波動(dòng)率是年化波動(dòng)率,因此,本文根據(jù)(9)式將未來(lái)10 d日波動(dòng)率轉(zhuǎn)化為年化波動(dòng)率。

(9)

表2　預(yù)測(cè)的碳價(jià)收益率波動(dòng)率未來(lái)10 d數(shù)據(jù)

3.5　實(shí)證結(jié)果及其分析

本文以EUA期貨歐式看漲期權(quán)為定價(jià)對(duì)象,選取碳期權(quán)合約中交易較為活躍、價(jià)格較大的碳期權(quán)作為計(jì)算對(duì)象。

該期權(quán)標(biāo)的為2014年12月到期的EUA 期貨,其執(zhí)行價(jià)格為3.5歐元/噸二氧化碳當(dāng)量。隨后分別采用本文提出的碳期權(quán)定價(jià)方法和B-S期權(quán)定價(jià)法對(duì)EUA期貨期權(quán)運(yùn)用蒙特卡羅模擬進(jìn)行模擬定價(jià),然后將2個(gè)定價(jià)的結(jié)果分別和實(shí)際EUA期貨期權(quán)交易價(jià)格進(jìn)行比較分析。其中運(yùn)用B-S期權(quán)定價(jià)法定價(jià)時(shí),采用(10)式計(jì)算2013-04-09—2014-04-17期間碳價(jià)收益率的日歷史波動(dòng)率,并結(jié)合年化波動(dòng)率計(jì)算公式,得出此期間的年化歷史波動(dòng)率為0.669 1。

(10)

本文運(yùn)用Matlab對(duì)2種期權(quán)定價(jià)方法分別用蒙特卡羅模擬10 000次,模擬結(jié)果見(jiàn)表3所列。

表3　碳期權(quán)模擬定價(jià)結(jié)果比較

由表3可知,本文提出的碳期權(quán)定價(jià)方法的模擬結(jié)果與碳期權(quán)實(shí)際交易價(jià)格的誤差率最大僅為13.090 8 %,最小為0.077 5%;而基于B-S的碳期權(quán)定價(jià)結(jié)果中最大的絕對(duì)誤差率為62.936 8%,最小的也有7.049 2%。并且采用平均絕對(duì)誤差率和均方根誤差2個(gè)統(tǒng)計(jì)量來(lái)衡量2個(gè)期權(quán)定價(jià)模型的精確程度時(shí),本文提出的碳期權(quán)定價(jià)方法的模擬結(jié)果的平均絕對(duì)誤差率和均方根誤差分別為5.271 6 %、16.114 7 %,均小于B-S期權(quán)定價(jià)結(jié)果的38.526 5%和66.400 0%。結(jié)果表明本文提出的碳期權(quán)定價(jià)方法的模擬定價(jià)結(jié)果顯著優(yōu)于B-S期權(quán)定價(jià)方法的定價(jià)結(jié)果。

本文提出的碳期權(quán)定價(jià)方法比B-S的碳期權(quán)定價(jià)方法有效的主要原因在于:

(1) 從實(shí)際的數(shù)據(jù)檢驗(yàn)中發(fā)現(xiàn),碳價(jià)收益率的殘差平方是存在波動(dòng)聚集效應(yīng)的,且ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)表明碳價(jià)收益率波動(dòng)率存在條件異方差,說(shuō)明碳價(jià)收益率波動(dòng)率不為恒定常量。本文提出的碳期權(quán)定價(jià)方法在定價(jià)時(shí)考慮的波動(dòng)率是時(shí)變的,而B(niǎo)-S期權(quán)定價(jià)法假定波動(dòng)率是一個(gè)恒定常量。因此,碳價(jià)收益率波動(dòng)率不為恒定常量這一現(xiàn)象不符合B-S期權(quán)定價(jià)方法假定,使得B-S期權(quán)定價(jià)方法模擬結(jié)果較大偏離實(shí)際碳期權(quán)價(jià)格。

(2) 碳價(jià)的Hurst指數(shù)檢驗(yàn)值為0.676 5,并不等于0.5,說(shuō)明碳價(jià)并不遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)。本文提出的碳期權(quán)定價(jià)方法認(rèn)為碳價(jià)的變化過(guò)程符合分形布朗運(yùn)動(dòng),而B(niǎo)-S期權(quán)定價(jià)法認(rèn)為碳價(jià)的變化過(guò)程符合幾何布朗運(yùn)動(dòng),故而碳價(jià)不遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)的這一結(jié)論不符合B-S期權(quán)定價(jià)方法的假定,使得B-S期權(quán)定價(jià)方法的模擬結(jié)果偏離實(shí)際碳期權(quán)價(jià)格。

因此,本文提出的碳期權(quán)定價(jià)方法更符合現(xiàn)實(shí)情況,比B-S期權(quán)定價(jià)方法更優(yōu)。

為檢驗(yàn)本文提出的碳期權(quán)定價(jià)方法的穩(wěn)健性,本文改變以2014年到期的EUA期貨為標(biāo)的的期權(quán)合約執(zhí)行價(jià)格,選取交易較為活躍的執(zhí)行價(jià)格為每噸二氧化碳當(dāng)量4.5歐元的碳期權(quán)合約作為驗(yàn)證對(duì)象,驗(yàn)證結(jié)果發(fā)現(xiàn):本文提出的碳期權(quán)定價(jià)方法的模擬定價(jià)結(jié)果的誤差率絕對(duì)值仍然全部低于B-S期權(quán)定價(jià)方法的模擬定價(jià)結(jié)果。因此，本文提出的研究方法具有很好的穩(wěn)健性。

4結(jié)束語(yǔ)

本文提出了基于GARCH分形布朗運(yùn)動(dòng)模型的碳期權(quán)定價(jià)方法,實(shí)證結(jié)果發(fā)現(xiàn): EUA期貨價(jià)格收益率呈現(xiàn)出尖峰厚尾、條件異方差以及分形現(xiàn)象；AR(2)-GARCH(1,1)模型能很好地刻畫(huà)碳價(jià)收益率的時(shí)變波動(dòng)率； 基于GARCH分形布朗運(yùn)動(dòng)模型的碳期權(quán)定價(jià)方法的預(yù)測(cè)精度顯著高于B-S期權(quán)定價(jià)方法的預(yù)測(cè)精度。

本文的研究貢獻(xiàn)在于將分形布朗運(yùn)動(dòng)和GARCH模型結(jié)合,提出一種貼合碳金融市場(chǎng)特征的歐式碳期權(quán)定價(jià)方法,有助于投資者做出較為合理的碳期權(quán)投資決策,以便降低碳交易風(fēng)險(xiǎn);同時(shí)為我國(guó)未來(lái)開(kāi)展碳期權(quán)交易、實(shí)現(xiàn)科學(xué)定價(jià)提供借鑒。由于本文提出的碳期權(quán)定價(jià)方法在10 d以內(nèi)的效果比較穩(wěn)健,而10 d以外的效果穩(wěn)健性較差,因此,本文提出的基于GARCH分形布朗運(yùn)動(dòng)模型的碳期權(quán)定價(jià)方法適用于碳期權(quán)的短期價(jià)格預(yù)測(cè),而有待進(jìn)一步考慮使用諸如隨機(jī)波動(dòng)率模型與分形布朗運(yùn)動(dòng)的結(jié)合,來(lái)預(yù)測(cè)碳期權(quán)較長(zhǎng)期價(jià)格。

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(責(zé)任編輯張淑艷)

Carbon option pricing based on fractional Brownian

motion combined with GARCH model

ZHANG Chen,PENG Ting,LIU Yu-jia

(School of Management, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

Abstract:This paper introduces the idea of combining generalized autoregressive conditional heteroskedasticity(GARCH) model and fractional Brownian motion into carbon option pricing. Firstly, the test results from closing price of European Union Allowance(EUA) Futures show that obvious peak and fat tails, heteroscedasticity and fractal feature reside in the data. Secondly, the GARCH model is used to fit the volatility of EUA Futures price, which can reasonably describe and forecast the time-varying volatility. With the forecasted volatility being the input in fractional Brownian motion carbon option pricing, the Monte Carlo simulation is used to simulate the pricing of EUA Futures options, and then the pricing result is compared with that of Black-Scholes option pricing model. The result shows that carbon option pricing based on fractional Brownian motion combined with GARCH model can improve the pricing accuracy.

Key words:carbon option pricing; generalized autoregressive conditional heteroskedasticity(GARCH) model; fractional Brownian motion; Black-Scholes option pricing

doi:10.3969/j.issn.1003-5060.2015.11.022

作者簡(jiǎn)介：徐晟(1972-),男,湖北浠水人,博士,合肥工業(yè)大學(xué)副教授,碩士生導(dǎo)師.

基金項(xiàng)目：教育部人文社會(huì)科學(xué)研究基金資助項(xiàng)目(11YJA630167);安徽省軟科學(xué)研究計(jì)劃資助項(xiàng)目(1402052017)

收稿日期：2014-10-23；修回日期：2015-04-10

中圖分類號(hào):F831.5

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1003-5060(2015)11-1553-06