黃孝增

(中山市測(cè)繪工程有限公司，廣東 中山528405)

一、引 言

目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)鐘差模型的預(yù)報(bào)已有大量的研究。在短期預(yù)報(bào)時(shí)通常采取二次項(xiàng)擬合模型;而在長(zhǎng)期預(yù)報(bào)時(shí)，基于灰色模型的鐘差預(yù)報(bào)法是一種比較好的方法。但這兩種預(yù)報(bào)模型僅僅是在鐘差的趨勢(shì)項(xiàng)上建立鐘差的函數(shù)模型，而不考慮鐘差的隨機(jī)部分。針對(duì)鐘差隨機(jī)項(xiàng)的建模，目前主要采用時(shí)間序列模型來(lái)進(jìn)行。

本文利用傳統(tǒng)的預(yù)報(bào)模型二次多項(xiàng)式與灰色模型提取鐘差中的隨機(jī)項(xiàng)，利用時(shí)間序列模型ARMA、AIRMA對(duì)鐘差隨機(jī)進(jìn)行建模分析，在一定程度上提高了預(yù)報(bào)模型的精度，解決了預(yù)報(bào)滯后的問(wèn)題。

二、GPS衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)理論方法

1．二次多項(xiàng)式模型

該模型是將二次冪函數(shù)作為擬合的目標(biāo)函數(shù)，對(duì)已知的鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，并估計(jì)參數(shù)a0、a1、a2，從而得到擬合后的鐘差模型

式中，Xi為鐘差;a0、a1和a2分別為鐘差、鐘速和鐘漂。

2．灰色模型

設(shè)X(1)=(x(1)(1)，x(1)(2)，…，x(1)(n))，其中，X(1)為X(0)的1-AGO序列，Z(1)為X(1)的緊鄰均值生成序列，z(1)(k)=0．5x(1)(k)+0．5x(1)(k－1)

對(duì)于GM(1，1)模型

通過(guò)對(duì)模型求解可得

3．ARMA模型

由于IGS提供的精密星歷是等間隔排列的時(shí)間序列，可以通過(guò)時(shí)間序列分析對(duì)精密鐘差建立盡可能合適的統(tǒng)計(jì)模型，而大量的時(shí)間序列觀測(cè)樣本都表現(xiàn)為趨勢(shì)性、周期性和隨機(jī)性，因此，每個(gè)時(shí)間序列或經(jīng)過(guò)適當(dāng)函數(shù)變換的時(shí)間序列，可以表示成3個(gè)部分的疊加，如下

式中，Tt是趨勢(shì)項(xiàng);St是周期項(xiàng);Rt是隨機(jī)噪聲項(xiàng);時(shí)間序列Xt是三者的疊加。通常認(rèn)為趨勢(shì)項(xiàng)Tt是時(shí)間t的實(shí)值函數(shù)，是非隨機(jī)的，隨機(jī)噪聲項(xiàng)Rt是本文重點(diǎn)考慮的部分，通過(guò)ARMA模型來(lái)進(jìn)行建模。

如果序列Xt的當(dāng)前值不僅與自身的過(guò)去值有關(guān)，還與其進(jìn)入系統(tǒng)的外部干擾存在一定的依存關(guān)系，則在用模型刻畫(huà)這種動(dòng)態(tài)特征時(shí)，模型中既包括自身的滯后項(xiàng)，也包括過(guò)去的外部干擾，這種模型叫作自回歸滑動(dòng)平均模型(autoregressive-moving average model)，即ARMA(p，q)模型，一般形式為

式中，φ1，φ2，…，φp為自回歸系數(shù)，θ1，θ2，…，θp為移動(dòng)平均系數(shù)。

對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行矩陣估計(jì)后，可解得

三、基于ARMA模型的鐘差預(yù)報(bào)

通過(guò)上面3步建立好模型后，就可以對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。第一階段使用傳統(tǒng)模型對(duì)GPS鐘差進(jìn)行建模，提取趨勢(shì)項(xiàng)。

1．短期預(yù)報(bào)

本次數(shù)據(jù)是在IGS官網(wǎng)下載的名為igs16770．clk_30s的鐘差數(shù)據(jù)，鐘差數(shù)據(jù)為2012年2月26日1整天24 h的數(shù)據(jù)。短期預(yù)報(bào)對(duì)于二次多項(xiàng)式，采用2012年2月26日0時(shí)—6時(shí)共6 h的數(shù)據(jù)建模預(yù)測(cè)未來(lái)6 h的鐘差，即6時(shí)—12時(shí)的鐘差?；疑Ｐ蛣t采用15個(gè)初始?xì)v元的數(shù)據(jù)。本算例對(duì)ASG03和ASG17兩顆衛(wèi)星進(jìn)行分析。G03號(hào)衛(wèi)星采用MA(1)模型，G17號(hào)衛(wèi)星則采用ARMA(3，1)模型。如圖1、圖2所示。

圖1 G03衛(wèi)星短期預(yù)報(bào)對(duì)比

圖2 G17衛(wèi)星短期預(yù)報(bào)對(duì)比

通過(guò)對(duì)比圖，可以對(duì)模型的擬合程度有一個(gè)大致了解，為了更加直觀地表示出幾個(gè)模型之間的精度，采用表格的方式對(duì)上述模型作精度評(píng)估，見(jiàn)表1。

通過(guò)表1的對(duì)比分析可以看出，基于時(shí)間序列分解的鐘差預(yù)報(bào)模型，其預(yù)報(bào)精度明顯高于傳統(tǒng)的預(yù)報(bào)模型精度，究其原因是因?yàn)闀r(shí)間序列模型在建模過(guò)程中充分考慮了鐘差數(shù)據(jù)中的隨機(jī)項(xiàng)，因而數(shù)據(jù)的擬合程度更高，誤差更小。

表1 短期預(yù)報(bào)精度統(tǒng)計(jì)

2．長(zhǎng)期預(yù)報(bào)

與短期期預(yù)報(bào)類似，長(zhǎng)期預(yù)報(bào)對(duì)于二次多項(xiàng)式，采用2012年2月26日0時(shí)—6時(shí)整共6 h數(shù)據(jù)建模，預(yù)測(cè)未來(lái)42 h的鐘差，即6時(shí)到2月27日24時(shí)整的鐘差?；疑Ｐ头治鼍茜姴顢?shù)據(jù)，兩個(gè)歷元之間的鐘差數(shù)據(jù)差值比較大，因此灰色模型長(zhǎng)期預(yù)報(bào)采用30個(gè)初始?xì)v元值，以保證模型的精確度。

與短期預(yù)報(bào)一樣，利用Eviews時(shí)間序列軟件建模，G03號(hào)衛(wèi)星采用AR(1)模型，G17號(hào)衛(wèi)星則采用ARMA(3，1)模型。如圖3、圖4、表2所示。

圖3 G17衛(wèi)星鐘差長(zhǎng)期預(yù)報(bào)模型

圖4 G03衛(wèi)星長(zhǎng)期預(yù)報(bào)模型對(duì)比

通過(guò)表2的對(duì)比分析發(fā)現(xiàn)，基于時(shí)間序列模型具有可行性，它提高了傳統(tǒng)預(yù)報(bào)模型的精度，同樣可以應(yīng)用于實(shí)際中的GPS高精度的定位。

3．基于時(shí)間序列的小結(jié)

由算例結(jié)果對(duì)比表1和表2，說(shuō)明了二次多項(xiàng)式模型在短期預(yù)報(bào)中相對(duì)灰色模型具有優(yōu)勢(shì)，而灰色模型則在長(zhǎng)期模型中比二次多項(xiàng)式模型的精度更高。在時(shí)間序列分解模型，將鐘差分解為趨勢(shì)項(xiàng)和隨機(jī)項(xiàng)，利用傳統(tǒng)預(yù)報(bào)模型提取趨勢(shì)項(xiàng)，再用時(shí)間序列模型對(duì)剩下的隨機(jī)項(xiàng)建模分析，最終得到了更加理想的鐘差預(yù)報(bào)模型。

表2 長(zhǎng)期預(yù)報(bào)精度統(tǒng)計(jì)表

四、結(jié)論與展望

本文主要研究的是GPS鐘差預(yù)報(bào)，傳統(tǒng)的GPS鐘差預(yù)報(bào)模型只考慮鐘差的趨勢(shì)項(xiàng)，沒(méi)有其中的隨機(jī)項(xiàng)，本文在傳統(tǒng)預(yù)報(bào)模型的基礎(chǔ)上，用時(shí)間序列模型ARMA對(duì)隨機(jī)項(xiàng)建模分析。

在短期預(yù)報(bào)中，采用了3種方法進(jìn)行預(yù)測(cè):①二次多項(xiàng)式，利用6 h鐘差數(shù)據(jù)預(yù)報(bào)未來(lái)6 h鐘差;②灰色模型，利用15個(gè)初始?xì)v元數(shù)據(jù)，預(yù)報(bào)未來(lái)6 h數(shù)據(jù);③與基于時(shí)間序列分解的預(yù)報(bào)方法(趨勢(shì)項(xiàng)由二次多項(xiàng)式提取)。

在長(zhǎng)期預(yù)報(bào)中，同樣采用3種預(yù)報(bào)模型:①二次多項(xiàng)式，利用6 h鐘差數(shù)據(jù)，預(yù)報(bào)未來(lái)42 h鐘差數(shù)據(jù);②灰色模型，采用30個(gè)初始?xì)v元數(shù)據(jù)，預(yù)報(bào)未來(lái)42 h鐘差;③基于時(shí)間序列分解模型(趨勢(shì)項(xiàng)由灰色模型提取)。

通過(guò)算例得出了以下幾個(gè)結(jié)論:①二次多項(xiàng)式模型在短期預(yù)報(bào)中較灰色模型預(yù)報(bào)精度高;②灰色模型在長(zhǎng)期預(yù)報(bào)中較二次多項(xiàng)式精度高;③基于時(shí)間序列模型的模型精度達(dá)到了0．01 ns以上精度;④基于時(shí)間序列的鐘差模型可以在實(shí)際中得以應(yīng)用。

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