牛超慧，吳洪博

(陜西師范大學數(shù)學與信息科學學院，陜西 西安 710062)

正則FBR0-代數(shù)的弱t-模及其應用*

牛超慧，吳洪博

(陜西師范大學數(shù)學與信息科學學院，陜西 西安 710062)

吳望名教授建立的FI-代數(shù)(模糊蘊涵代數(shù))是重要的基礎邏輯代數(shù), 且通過弱化WBR0-代數(shù)建立的FBR0-代數(shù)與FI-代數(shù)有相同的代數(shù)結構。對FBR0-代數(shù)進行了較細致的研究。首先,證明了正則的FBR0-代數(shù)與RBR0-代數(shù)有相同的代數(shù)結構; 其次,討論了正則FBR0代數(shù)中弱t-模的基本性質; 最后,給出了正則FBR0-代數(shù)的弱t-模表示形式。

邏輯代數(shù);正則FBR0-代數(shù);RBR0-代數(shù);伴隨對;弱t模

1 引言

作為非經(jīng)典數(shù)理邏輯的一個重要分支，模糊邏輯是人工智能與信息科學等許多領域中推理機制的基礎， 邏輯代數(shù)作為模糊邏輯的語義部分成為一個重要的研究方向。文獻[1]引入了模糊蘊涵代數(shù)的概念(簡稱FI-代數(shù))。文獻[2]將格與蘊涵代數(shù)結合在一起，建立了格蘊涵代數(shù)。文獻[3～5]建立了模糊命題演算的形式演繹系統(tǒng)L*和與之相匹配的R0-代數(shù)。文獻[6] 建立了基礎L*系統(tǒng)和與之相應的BR0-代數(shù)。文獻[7]通過對BR0-代數(shù)的再研究，給出BR0-代數(shù)的經(jīng)典代數(shù)模式的無序表示形式，并基于它的無序表示形式建立了一個具有更加廣泛應用的邏輯代數(shù)—WBR0-代數(shù)。

目前在WBR0-代數(shù)的研究方面已經(jīng)取得一些成果[8～17]。文獻[9]討論了WBR0-代數(shù)的正則性并建立了WBR0-代數(shù)與其他邏輯代數(shù)的聯(lián)系。文獻[10]給出了WBR0-代數(shù)的∧-半格的表示形式。文獻[11]將WBR0-代數(shù)的條件繼續(xù)弱化后建立了FBR0-代數(shù)和RBR0-代數(shù)，并證明了FBR0-代數(shù)與FI-代數(shù)具有相同的代數(shù)結構，RBR0-代數(shù)與正則FI-代數(shù)具有相同的代數(shù)結構。本文通過對文獻[11]的較深入研究，將FBR0-代數(shù)條件加強后成正則FBR0-代數(shù)。 證明了正則FBR0-代數(shù)與RBR0-代數(shù)有相同的代數(shù)結構。進而，討論了正則FBR0-代數(shù)的伴隨對性質并給出了它的弱t-模表示形式。本文的研究結果是對WBR0-代數(shù)研究內容的一個有益的補充。

2 預備知識

定義1[11]一個(2,2,0,0)型代數(shù)(M,⊕,→,0,1)稱為模糊BR0-代數(shù)，若?a,b,c∈M,以下條件成立：

(FB1)a⊕0=a；

(FB2)a⊕b=b⊕a；

(FB3)a→(b→c)=b→(a→c)；

(FB4)(b→c)→((a→b)→(a→c))=1；

(FB5)a→(a⊕b)=1；

(FB6) 1→a=a；

(FB7) 若a→b=1,b→a=1時，a=b。

模糊BR0-代數(shù)簡記為FBR0-代數(shù)。

引理1[11]在FBR0-代數(shù)M上定義≤:?a,b∈M,a≤b當且僅當a→b=1，則關系≤是M上的偏序關系，且?a,b,c∈M，則下列性質成立：

(P1) 0≤a≤1；

(P2) 若a≤b，則c→a≤c→b,b→c≤a→c。

定義2[5]設(L,≤,1)是以1為最大元的有界格，若?:L×L→L滿足條件:?a,b,c∈L，

(T1)a?b=b?a；

(T2) (a?b)?c=a?(b?c)；

(T3) 若a≤b，則a?c≤b?c；

(T4)a?1=a。

則稱?為L上的三角模，簡稱t-模。

定義3[5]設(P,≤)是偏序集，P上的二元運算?和→叫做互為伴隨，若以下條件成立：

(1)?:P×P→P是單調遞增的；

(2)→:P×P→P關于第一變量是不增的, 關于第二變量是不減的；

(3)a?b≤c當且僅當a≤b→c，其中?a,b,c∈P。

這時稱(?,→)為P上的伴隨對。

3 正則FBR0-代數(shù)與RBR0-代數(shù)的同一性

定義4 一個FBR0-代數(shù)(M,⊕,→,0,1)稱為正則FBR0-代數(shù)，若?a∈M，

(FB8) (a→0)→0=a。

定義5[11]一個(2,2,0,0)型代數(shù)(M,⊕,→,0,1)稱為正則BR0-代數(shù)，若?a,b,c∈M，以下條件成立：

(RB1)a⊕0=a；

(RB2)a⊕b=b⊕a；

(RB3)a→b=(b→0)→(a→0)；

(RB4) (b→c)→((a→b)→(a→c))=1；

(RB5)a→(a⊕b)=1；

(RB6) 1→a=a；

(RB7) 若a→b=1,b→a=1時，a=b。

正則BR0-代數(shù)簡記為RBR0-代數(shù)。

命題1 設M是正則FBR0-代數(shù)，?a,b,c∈M，則有：

(1) (a→b)→((b→c)→(a→c))=1；

(2)a→b=(b→0)→(a→0)。

證明 (1)由(FB3)和(FB4)知：

(a→b)→((b→c)→(a→c))=(b→c)→((a→b)→(a→c))=1

(2)由(1)知：

(a→b)→((b→0)→(a→0))=1

由(1)和(FB8)知：

((b→0)→(a→0))→(((a→0)→0)→((b→0)→0))=((b→0)→(a→0))→(a→b)=1。

綜上，結合(FB7)得：a→b=(b→0)→(a→0)。

□

引理2 正則FBR0-代數(shù)是RBR0-代數(shù)。

證明 由命題1的(2)可知，在正則FBR0-代數(shù)中(RB3)成立，所以由定義4和定義5可知，正則FBR0-代數(shù)是RBR0-代數(shù)。

□

引理3RBR0-代數(shù)是正則FBR0-代數(shù)。

證明 由文獻[11]知，RBR0-代數(shù)是FBR0-代數(shù)；又設a是RBR0-代數(shù)中的元素，由(RB3)和(RB6)知：

(a→0)→0=(a→0)→(1→0)=1→a=a。

所以，RBR0-代數(shù)是正則FBR0-代數(shù)。

□

定理1 正則FBR0-代數(shù)和RBR0-代數(shù)是同一代數(shù)結構。

證明 這是引理2和引理3的直接結果。

□

4 正則FBR0代數(shù)的性質

定義6 設(P,≤,1)是以1為最大元的有界偏序集，若?:P×P→P滿足以下條件：?a,b,c∈P，

(T1)a?b=b?a；

(T2) (a?b)?c=a?(b?c)；

(T3) 若a≤b，則a?c≤b?c；

(T4)a?1=a。

則稱?為P上的三角模，簡稱弱t-模。

注意，對比定義2和定義6知：弱t-模是定義于有界偏序集上的三角模，t-模是定義于有界格上的三角模。

命題2 設M是正則FBR0-代數(shù)，定義二元運算?:M2→M如下：

?a,b∈M,a?b=(a→(b→0))→0

則?是M上的弱t-模。

證明 首先，由引理1可知：正則FBR0-代數(shù)M是有界偏序集，且1是它的最大元。

其次，?a,b,c∈M，

(1)由(FB3)得：

a?b=(a→(b→0))→0=(b→(a→0))→0=b?a

(2)由命題1的(2)、(FB3)及(1)得：

(a?b)?c=

((a?b)→(c→0))→0=

(((a→(b→0))→0)→(c→0))→0=

(c→(a→(b→0)))→0=

(a→(c→(b→0)))→0=(a→(b→(c→0)))→0=

(((b→(c→0))→0)→(a→0))→0=

(b?c)?a=a?(b?c)

(3)設a≤b，則由引理1(P2)知：b→(c→0)≤a→(c→0)，再結合引理1(P2)得：

a?c=(a→(c→0))→0≤(b→(c→0))→0=b?c

(4)由(FB3)、(FB6)和(FB8)得：

a?1=(a→(1→0))→0=(1→(a→0))→0=(a→0)→0=a

綜上可知：由→算子導出的?是弱t-模。

□

定義7 設M是正則FBR0-代數(shù)，稱命題2中定義的二元運算?:M2→M為M上由→算子導出的弱t-模。

命題3 設(M,⊕,→,0,1)是正則FBR0-代數(shù)，?是M上由→算子導出的弱t-模，則(?,→)是M上的伴隨對。

證明 (1)由命題2知，?:M2→M是單調遞增的。

(2)由引理1(P2)知，→：M×M→M關于第一變量是不增的，關于第二變量是不減的。

(3)在正則的FBR0-代數(shù)中，?a,b,c∈M，首先由命題1的(2)、(FB8)和(FB3)得：

(a?b)→c=

((a→(b→0))→0)→c=

(c→0)→(((a→(b→0))→0)→0)=

(c→0)→(a→(b→0))=

a→((c→0)→(b→0))=

a→(b→c)

其次，由引理1得：

a?b≤c當且僅當(a?b)→c=1當且僅當a→(b→c)=1當且僅當a≤b→c。

綜上，結合定義3得：(?,→)是M上的伴隨對。

□

命題4 設(M,⊕,→,0,1)是正則FBR0-代數(shù)，?是M上由→算子導出的弱t-模，則?a,b,c,d∈M，下列性質成立：

(1) (a?b)→c=a→(b→c)；

(2) (a→b)?a≤b；

(3)a≤b,c≤d,則a?c≤b?d；

(4) (a→b)?(b→c)≤a→c；

(5)a→b≤(a?c)→(b?c)；

(6) (b→a)?(c→d)≤(a→c)→(b→d)。

證明 (1)見命題3中(3)的證明過程。

(2)由(1)得：((a→b)?a)→b=(a→b)→(a→b)=1，再結合引理1得：(a→b)?a≤b。

(3)由命題2知，?是單調遞增的，結合a≤b，所以a?c≤b?c，又因為c≤d知，b?c≤b?d，再結合引理1得：a?c≤b?d。

(4)由(1)和命題1的(1)得：

((a→b)?(b→c))→(a→c)=(a→b)→((b→c)→(a→c))=1

再結合引理1得：

(a→b)?(b→c)≤a→c

(5)由命題1的(2)和命題1的(1)得：

(a→b)→((a?c)→(b?c))=

(a→b)→(((a→(c→0))→0)→((b→(c→0))→0))=(a→b)→((b→(c→0))→(a→(c→0)))=1

再結合引理1得：a→b≤(a?c)→(b?c)。

(6)由命題2和(2)得：

(b→a)?(c→d)?(a→c)?b=

(c→d)?(a→c)?(b→a)?b≤

(c→d)?(a→c)?a≤

(c→d)?c≤d

兩次運用命題3得：

(b→a)?(c→d)≤(a→c)→(b→d)

□

5 正則FBR0-代數(shù)的弱t-模表示

引理4 設(M,≤,0,1)是以1為最大元、0為最小元的有界偏序集，若(2,2)型代數(shù)(M,(?,→))滿足以下條件：?a,b,c∈M，

(F1B1)a→(b→c)=b→(a→c)；

(F1B2) (b→c)→((a→b)→(a→c))=1；

(F1B3) (a→0)→0=a；

(F1B4) 1→a=a；

(F1B5)a≤b當且僅當a→b=1；

(F1B6) ?:M×M→M是M上的弱t-模。

則M是正則FBR0-代數(shù)。

證明 在M中定義⊕:M×M→M如下：

?a,b∈M,a⊕b=((a→0)?(b→0))→0

(1)由已知條件可知，定義4中(FB3)、(FB4)、(FB6)和(FB8)成立。

(2)?a,b∈M，若a→b=1,b→a=1，結合(F1B5)可知：a≤b,b≤a，由M是偏序集可知：a=b，即(FB7)成立。

(3)由(F1B5)，定義6(T4)及(F1B3)可得：

a⊕0=((a→0)?(0→0))→0=((a→0)?1)→0=(a→0)→0=a

所以，(FB1)成立。

(4)由定義6(T1)可知：

a⊕b=((a→0)?(b→0))→0=((b→0)?(a→0))→0=b⊕a

所以，(FB2)成立。

(5)由(F1B1)、定義6(T4)、(T3)及(F1B1)、1是最大元知：

a→(a⊕b)=

a→(((a→0)?(b→0))→0)=

((a→0)?(b→0))→(a→0)=

((a→0)?(b→0))→((a→0)?1)=1

綜上所述，M是正則FBR0-代數(shù)。

□

定理2 設(M,(→,0,1))是一個(2,0,0)型代數(shù)，滿足條件：?a,b,c∈M，

(F1B1)a→(b→c)=b→(a→c)；

(F1B2) (b→c)→((a→b)→(a→c))=1；

(F1B3) (a→0)→0=a；

(F1B4) 1→a=a；

(F1B5)a→1=1；

(F1B6) ≤是M上的偏序關系且滿足a→b=1當且僅當a≤b。

則M是正則FBR0-代數(shù)的充分必要條件是在M上存在弱t-模?。

證明 (?)設M是正則FBR0-代數(shù)，在M上定義二元運算?如下：

?:M×M→M,?a,b∈M,a?b=(a→(b→0))→0

由命題2、引理1可知：?是M上的弱t-模，且(F1B1)～(F1B6)成立。

(?)由引理4直接可得。

□

6 結束語

本文通過對FBR0-代數(shù)更細致的研究，提出了正則FBR0-代數(shù)，并研究了FBR0-代數(shù)和RBR0-代數(shù)之間的關系，以及正則FBR0-代數(shù)的弱t-模性質和弱t-模表示。本文的結果將有助于對FBR0-代數(shù)性質及其和其它邏輯代數(shù)的關系進行進一步的研究。

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NIU Chao-hui,born in 1988,MS candidate,her research interests include topology on lattices, and non-classical mathematical logic.

吳洪博(1959-),男,陜西咸陽人，博士，教授，CCF會員(E2000062345),研究方向為格上拓撲與非經(jīng)典數(shù)理邏輯。E-mail:wuhb@snnu.edu.cn

WU Hong-bo,born in 1959,PhD,professor，CCF member(E2000062345),his research interests include topology on lattices, and non-classical mathematical logic.

Weak t-norm of regular FBR0-algebras and its application

NIU Chao-hui,WU Hong-bo

(College of Mathematics and Information Science,Shaanxi Normal University,Xi’an 710062,China)

FBR0-algebras (fuzzy BR0-algebras), which are built up by weakening the conditions of WBR0-algebras, have the same algebraic structure with FI-algebras (fuzzy implication algebras) which are important and basic logic algebras proposed by professor Wu Wang-ming. FBR0-algebra is studied in detail. Firstly, it is proved that regular FBR0-algebras have the same algebraic structure with RBR0-algebras. Secondly, the basic properties of weak t-norm of regular FBR0-algebras are discussed. Finally, a representation of regular FBR0-algebras is given in the form of weak t-norm.

logic algebra;regular FBR0-algebras;RBR0-algebras;adjoint pairs;weak t-norm

1007-130X(2015)01-0099-05

2013-04-28;

2013-09-06基金項目：國家自然科學基金資助項目(11171196)

O141.1

A

10.3969/j.issn.1007-130X.2015.01.015

牛超慧(1988-),女,山西天鎮(zhèn)人，碩士生，研究方向為格上拓撲與非經(jīng)典數(shù)理邏輯。E-mail:youyachaohui@126.com

通信地址：710062 陜西省西安市陜西師范大學長安校區(qū)數(shù)學與信息科學學院

Address:College of Mathematics and Information Science,Shaanxi Normal University,Xi’an 710062,Shaanxi,P.R.China